《一次函式》中的思想方法

山東陳德功

數學思想方法是數學知識的重要組成部分．我們在學習數學知識的同時，要注意領悟和掌握蘊含在其中的數學思想方法．下面我們就一起來**《一次函式》中的數學思想方法．

一、函式思想

例１　某報刊銷售亭從報社訂購晚報的**是0.7元，銷售價是每份1元，賣不掉的報紙可以以每份0.2元的**退回報社，若每月按30天計算，有20天每天可賣出100份報紙，其餘10天每天只能賣出60份，但每天報亭從報社訂購的份數必須相同，報亭每天從報社訂購多少份報紙，才能使每月所獲得的利潤最大？

分析：若報亭每天從報社訂購x份報紙，每月獲得的利潤為y，那麼y是x的一次函式，且自變數的取值範圍是，並根據函式的性質來確定訂多少份報紙．

解：根據題意可得

．　　即．

此函式是一次函式，且一次項的係數大於0，函式y隨x的增大而增大．

所以，當時，y有最大值，其最大值為（元）．

訂購方案：每天從報社訂100份報紙，這樣獲得利潤最大，最大利潤為580元．

方法總結：根據問題中提供的資訊，分析問題中兩個變數之間的關係是否適合一次函式模型，在自變數允許的取值範圍內建立一次函式模型．然後根據一次函式的性質來解答，是運用一次函式解決實際問題的關鍵．

二、數形結合思想

例2　某地長途客運公司規定旅客可以免費攜帶一定數量的行李，如果超過規定則需要購買行李票，行李票y（元）是行李重量x（kg）的一次函式，其圖象如圖1所示．

（1）求y與x的函式表示式；

（2）旅客最多可以免費攜帶多少千克的行李？

分析：觀察圖象，可知一次函式的圖象經過兩點（60，6）和（80，12），可用待定係數法確定函式表示式，免費攜帶行李即行李費，即可求出相應的行李重x．

解：（1）設，當，；當，．

分別代入，得，．

解得，．

所以，y與x的表示式是．

（2）當時，，所以旅客最多可以免費攜帶40kg行李．

方法總結：在研究問題的過程中，始終抓住「數」（y與x之間的數量關係）與「形」（圖象與圖象上的點）之間的關係，並把它們結合起來．

三、待定係數法

例3　已知一次函式的圖象如圖2所示，求這個函式的表示式．

分析：觀察圖象可知直線與兩座標軸的交點分別是（0，2）和（2，0），故可用待定係數法來求解．

解：設一次函式的表示式為，將（0，2）和（2，0），分別代入，得．

解得．將代入，得．

所以，這個一次函式的表示式為．

方法總結：上述解答過程中共有兩次代入，弄清這兩次代入，就弄清了待定係數法的內涵．其中第一次代入是「將（0，2）和（2，0）分別代入設出的」，其目的是通過代入，求得k，b的值；而第二次代入是「將代入」，其目的是得到函式表示式．