第二十一講矩形菱形正方形
【基礎知識回顧】
一、 矩形：
1、定義：有乙個角是角的平行四邊形叫做矩形
2、矩形的性質：
⑴矩形的四個角都
⑵矩形的對角線
3、矩形的判定：
⑴用定義判定
⑵有三個角是直角的是矩形
⑶對角線相等的是矩形
【名師提醒：1、矩形是對稱圖形，對稱中心是 ，矩形又是對稱圖形，對稱軸有條2、矩形被它的對角線分成四個全等的三角形和兩對全等的三角形 3、矩形中常見題目是對角線相交成600或1200角時，利用直角三角形、等邊三角形等圖形的性質解決問題】
二、菱形：
1、定義：有一組鄰邊的平行四邊形叫做菱形
2、菱形的性質：⑴菱形的四條邊都
⑵菱形的對角線且每條對角線
3、菱形的判定：⑴用定義判定
⑵對角線互相垂直的是菱形
⑶四條邊都相等的是菱形
【名師提醒：1、菱形既是對稱圖形，也是對稱圖形，它有條對稱軸，分別是2、菱形被對角線分成四個全等的三角形和兩對全等的三角形 3、菱形的面積可以用平行四邊形面積公式計算，也可以用兩對角線積的來計算 4、菱形常見題目是內角為1200或600時，利用等邊三角形或直角三角形的相關知識解決的題目】
三、正方形：
1、定義：有一組鄰邊相等的是正方形，或有乙個角是直角的是正方形
2、性質：⑴正方形四個角都都是角，
⑵正方形四邊條都
⑶正方形兩對角線且每條對角線平分一組內角
3、判定：⑴先證是矩形，再證
先證是菱形，再證
【名師提醒：1、菱形、正方形具有平行四邊形的所有性質，正方形具有以上特殊四邊形的所有性質。這四者之間的關係可表示為：
2、正方形也既是對稱圖形，又是對稱圖形，有條對稱軸
3、幾種特殊四邊形的性質和判定都是從三個方面來看的，要注意它們的區別和聯絡】
【重點考點例析】
考點一：與矩形有關的摺疊問題
例1 （2013瀘州）如圖，點e是矩形abcd的邊cd上一點，把△ade沿ae對折，點d的對稱點f恰好落在bc上，已知摺痕ae=10cm，且tan∠efc=，那麼該矩形的周長為（ ）
a．72cm b．36cm c．20cm d．16cm
點評：本題考查了矩形的對邊相等，四個角都是直角的性質，銳角三角函式，勾股定理的應用，根據正切值設出未知數並表示出圖形中的各線段是解題的關鍵，也是本題的難點．
對應訓練
1．（2013湖州）如圖，已知四邊形abcd是矩形，把矩形沿直線ac摺疊，點b落在點e處，連線de．若de：ac=3：5，則的值為（ ）
a． b． c． d．
考點二：和菱形有關的對角線、周長、面積的計算問題
例2 （2013泉州）如圖，菱形abcd的周長為8，對角線ac和bd相交於點o，ac：bd=1：2，則ao：bo= 1：2
，菱形abcd的面積s= 16
．點評：本題考查了菱形性質和勾股定理，注意：菱形的對角線互相垂直平分，菱形的四條邊相等和菱形的面積為兩對角線乘積的一半．
對應訓練
2．（2013涼山州）如圖，菱形abcd中，∠b=60°，ab=4，則以ac為邊長的正方形acef的周長為（ ）
a．14 b．15 c．16 d．17
考點三：和正方形有關的證明題
例3 （2013湘潭）在數學活動課中，小輝將邊長為和3的兩個正方形放置在直線l上，如圖1，他鏈結ad、cf，經測量發現ad=cf．
（1）他將正方形odef繞o點逆時針旋轉一定的角度，如圖2，試判斷ad與cf還相等嗎？說明你的理由；
（2）他將正方形odef繞o點逆時針旋轉，使點e旋轉至直線l上，如圖3，請你求出cf的長．
點評：本題考查了正方形的性質，全等三角形的判定與性質，勾股定理的應用，（1）熟練掌握正方形的四條邊都相等，四個角都是直角，對角線相等且互相垂直平分是解題的關鍵，（2）作輔助線構造出直角三角形是解題的關鍵．
對應訓練
3．（2013三明）如圖①，在正方形abcd中，p是對角線ac上的一點，點e在bc的延長線上，且pe=pb．
（1）求證：△bcp≌△dcp；
（2）求證：∠dpe=∠abc；
（3）把正方形abcd改為菱形，其它條件不變（如圖②），若∠abc=58°，則∠dpe= 58
度．考點四：四邊形綜合性題目
例4 （2013資陽）在乙個邊長為a（單位：cm）的正方形abcd中，點e、m分別是線段ac，cd上的動點，鏈結de並延長交正方形的邊於點f，過點m作mn⊥df於h，交ad於n．
（1）如圖1，當點m與點c重合，求證：df=mn；
（2）如圖2，假設點m從點c出發，以1cm/s的速度沿cd向點d運動，點e同時從點a出發，以cm/s速度沿ac向點c運動，運動時間為t（t＞0）；
①判斷命題「當點f是邊ab中點時，則點m是邊cd的三等分點」的真假，並說明理由．
②鏈結fm、fn，△mnf能否為等腰三角形？若能，請寫出a，t之間的關係；若不能，請說明理由．
點評：本題是運動型幾何綜合題，考查了相似三角形、全等三角形、正方形、等腰三角形、命題證明等知識點．解題要點是：（1）明確動點的運動過程；（2）明確運動過程中，各組成線段、三角形之間的關係；（3）運用分類討論的數學思想，避免漏解．
對應訓練
4．（2013營口）如圖1，△abc為等腰直角三角形，∠acb=90°，f是ac邊上的乙個動點（點f與a、c不重合），以cf為一邊在等腰直角三角形外作正方形cdef，連線bf、ad．
（1）①猜想圖1中線段bf、ad的數量關係及所在直線的位置關係，直接寫出結論；
②將圖1中的正方形cdef，繞著點c按順時針（或逆時針）方向旋轉任意角度α，得到如圖2、圖3的情形．圖2中bf交ac於點h，交ad於點o，請你判斷①中得到的結論是否仍然成立，並選取圖2證明你的判斷．
（2）將原題中的等腰直角三角形abc改為直角三角形abc，∠acb=90°，正方形cdef改為矩形cdef，如圖4，且ac=4，bc=3，cd=，cf=1，bf交ac於點h，交ad於點o，連線bd、af，求bd2+af2的值．
【聚焦中考】
1．（2013威海）如圖，在△abc中，∠acb=90°，bc的垂直平分線ef交bc於點d，交ab於點e，且be=bf，新增乙個條件，仍不能證明四邊形becf為正方形的是（ ）
a．bc=ac b．cf⊥bf c．bd=df d．ac=bf
1題圖2題圖3題圖
2．（2013棗莊）如圖，在邊長為2的正方形abcd中，m為邊ad的中點，延長md至點e，使me=mc，以de為邊作正方形defg，點g在邊cd上，則dg的長為（ ）
a． -1 b．3- c． +1 d． -1
3．（2013臨沂）如圖，菱形abcd中，ab=4，∠b=60°，ae⊥bc，af⊥cd，垂足分別為e，f，連線ef，則△aef的面積是
4．（2013煙台）如圖，正方形abcd的邊長為4，點e在bc上，四邊形efgb也是正方形，以b為圓心，ba長為半徑畫，鏈結af，cf，則圖中陰影部分面積為4π
．源:學科網]
5．（2013濟南）如圖，在正方形abcd中，邊長為2的等邊三角形aef的頂點e、f分別在bc和cd上，下列結論：
①ce=cf；②∠aeb=75°；③be+df=ef；④s正方形abcd=2+．
其中正確的序號是
（把你認為正確的都填上）．
6．（2013濟寧）如圖1，在正方形abcd中，e、f分別是邊ad、dc上的點，且af⊥be．
（1）求證：af=be；
（2）如圖2，在正方形abcd中，m、n、p、q分別是邊ab、bc、cd、da上的點，且mp⊥nq．mp與nq是否相等？並說明理由．
7．（2013青島）已知：如圖，在矩形abcd中，m，n分別是邊ad、bc的中點，e，f分別是線段bm，cm的中點．
（1）求證：△abm≌△dcm；
（2）判斷四邊形menf是什麼特殊四邊形，並證明你的結論；
（3）當ad：ab= 2：1
時，四邊形menf是正方形（只寫結論，不需證明）
8．（2013淄博）矩形紙片abcd中，ab=5，ad=4．
（1）如圖1，四邊形mnef是在矩形紙片abcd中裁剪出的乙個正方形．你能否在該矩形中裁剪出乙個面積最大的正方形，最大面積是多少？說明理由；
（2）請用矩形紙片abcd剪拼成乙個面積最大的正方形．要求：在圖2的矩形abcd中畫出裁剪線，並在網格中畫出用裁剪出的紙片拼成的正方形示意圖（使正方形的頂點都在網格的格點上）．
9．（2013濟南）（1）如圖1，已知△abc，以ab、ac為邊向△abc外作等邊△abd和等邊△ace，連線be，cd，請你完成圖形，並證明：be=cd；（尺規作圖，不寫做法，保留作圖痕跡）；
（2）如圖2，已知△abc，以ab、ac為邊向外作正方形abfd和正方形acge，連線be，cd，be與cd有什麼數量關係？簡單說明理由；
（3）運用（1）、（2）解答中所積累的經驗和知識，完成下題：
如圖3，要測量池塘兩岸相對的兩點b，e的距離，已經測得∠abc=45°，∠cae=90°，ab=bc=100公尺，ac=ae，求be的長．
9 4矩形 菱形 正方形
9.4 矩形 菱形 正方形 1 教學目標 1 理解矩形的概念.2.掌握矩形的軸對稱性和性質.3 經歷探索矩形的概念與性質的過程，在直觀操作活動和簡單的說理過程中發展學生的合情推理能力，主觀探索習慣，逐步掌握說理的基本方法.教學重難點 矩形的性質的理解和掌握，矩形的性質的綜合應用.教學過程 操作 已知...
菱形正方形
菱形1 若菱形兩條對角線長分別為6 cm和8 cm，則它的周長是 面積是 2 菱形的乙個內角為120 平分這個內角的一條對角線長為12 cm，則菱形的周長為 3 已只菱形周長是24cm，乙個內角為60 則面積為 cm 4 若菱形兩鄰角的比為1 2，周長為24 cm，則較短對角線的長為 5 若從菱形的...
芝罘區數學菱形矩形正方形證明題
1 已知 如圖，在中，ae是bc邊上的高，將沿方向平移，使點e與點c重合，得 1 求證 2 若，當ab與bc滿足什麼數量關係時，四邊形是菱形？證明你的結論 2 如圖，在正方形中，若，求的長 3 如圖，在 abc中，ab ac，d是bc的中點，鏈結ad，在ad的延長線上取一點e，鏈結be，ce.1 求...