正方形的性質及判定
知識歸納
1．正方形的定義：有一組鄰邊相等，並且有乙個角是直角的平行四邊形叫做正方形．
2．正方形的性質
正方形是特殊的平行四邊形、矩形、菱形．它具有前三者的所有性質：
① 邊的性質：對邊平行，四條邊都相等．
② 角的性質：四個角都是直角．
③ 對角線性質：兩條對角線互相垂直平分且相等，每條對角線平分一組對角．
④ 對稱性：正方形是中心對稱圖形，也是軸對稱圖形．
平行四邊形、矩形、菱形和正方形的關係：（如圖）
3．正方形的判定
判定①：有一組鄰邊相等的矩形是正方形．
判定②：有乙個角是直角的菱形是正方形．
4．重點：知曉正方形的性質和正方形的判定方法。
難點：正方形知識的靈活應用
例題講解
一、正方形的性質
例1：如圖，已知正方形的面積為，點在上，點在的延長線上，且，則的長為
變式1：如圖，在正方形中，為邊的中點，，分別為，邊上的點，若，，，則的長為 ．
變式2：將個邊長都為的正方形按如圖所示擺放，點分別是正方形的中心，則個正方形重疊形成的重疊部分的面積和為
例2：如圖，是正方形對角線上的一點，求證：．
變式1：如圖，為正方形對角線上一點，於，於.求證：.
例3：如圖，已知是正方形內的一點，且為等邊三角形，那麼
變式1：如圖，已知、分別是正方形的邊、上的點，、分別與對角線相交於、，若，
則變式2：如圖，四邊形為正方形，以為邊向正方形外作正方形，與相交於點，則
例4：如圖，正方形的邊在正方形的邊上，連線，求證：.
變式1：如圖，在正方形中，為邊上的一點，為延長線上的一點，，，求的度數.
變式2：已知：如圖，在正方形中，是上一點，延長到，使，連線並延長交於．
（1）求證：；
（2）將繞點順時針旋轉得到，判斷四邊形是什麼特殊四邊形？並說明理由．
例5：若正方形的邊長為，為邊上一點，，為線段上一點，射線交正方形的一邊於點，且，則的長為
變式1：如圖1，在正方形中，、、、分別為邊、、、上的點，，連線、，交點為．
⑴ 如圖2，連線，試判斷四邊形的形狀，並證明你的結論；
⑵ 將正方形沿線段、剪開，再把得到的四個四邊形按圖3的方式拼接成乙個
四邊形．若正方形的邊長為，，則圖3中陰影部分的面積為
變式2：如圖，正方形對角線相交於點，點、分別是、上的點，，求證：（1）；（2）.
例6：如圖，正方形中，是邊上兩點，且於，求證：
變式1：如圖，點分別在正方形的邊上，已知的周長等於正方形周長的一半，求的度數
變式2：如圖，設正方形的對角線，在延長線上取一點，使，與交於，求證：正方形的邊長．
例7：把正方形繞著點，按順時針方向旋轉得到正方形，邊與交於點（如圖）．試問線段與線段相等嗎？請先觀察猜想，然後再證明你的猜想．
變式1：如圖所示，在直角梯形中，，，是的垂直平分線，交於點，以腰為邊作正方形，作於點，求證.
二、正方形的判定
例1：四邊形的四個內角的平分線兩兩相交又形成乙個四邊形，求證：
⑴四邊形對角互補；
⑵若四邊形為平行四邊形，則四邊形為矩形．
⑶四邊形為長方形，則四邊形為正方形．
變式1：如圖，已知平行四邊形中，對角線、交於點，是延長線上的點，且是等邊三角形．
⑴ 求證：四邊形是菱形；
⑵ 若，求證：四邊形是正方形．
變式2：已知：如圖，在中，，，垂足為點，是外角的平分線，，垂足為點．
⑴ 求證：四邊形為矩形；
⑵ 當滿足什麼條件時，四邊形是乙個正方形？並給出證明．
例2：如圖，是邊長為的正方形，是內接於的正方形，，若則
例3：如圖，若在平行四邊形各邊上向平行四邊形的外側作正方形，求證：以四個正方形中心為頂點組成乙個正方形．
附加題：
1. 如圖，**段上，和都是正方形，面積分別為和，則的面積為
2. 如圖，在正方形中，、分別是、的中點，求證：．
3. 如圖，正方形中，是對角線的交點，過點作，分別交於，若，則
4. 如圖所示，是正方形，為上的一點，四邊形恰好是乙個菱形，則______.
正方形經典能力題
幾種特殊的平行四邊形之正方形測試練習題 姓名 班級 考號 分數 一 耐心填一填！1 正方形的對稱軸有 條，它的對稱中心是 2 正方形的邊長為4cm，則周長為 面積為 3 正方形的對角線與一邊的夾角為 4 已知 如圖所示，e為正方形abcd外一點，ae ad，ade 75 則 aeb 5 菱形的周長為...
正方形反思
正方形的判定 教學反思 正方形的判定是八年級數學下冊十九章的內容，前邊已經學習了平行四邊形 矩形 菱形的判定方法，正方形的判定是平行四邊形 矩形 菱形的判定的綜合。可以通過本節的學習總結 歸納前面所學內容，澄清學習中存在的一些模糊概念。正方形的有關知識在日常生活中的應用也非常廣泛，是近年中考命題的熱...
正方形複習
一，1 有一組 相等並且有乙個角是 的平行四邊形叫做正方形。有乙個角是 的菱形叫做正方形 一組 相等的矩形叫做正方形。2 正方形既是 又是 所以它具有 和 的性質 1 正方形的四個角都是 四條邊都 2 正方形的對角線 且每條對角線平分 3 正方形是 圖形的交點是它的對稱中心 4 正方形是 圖形，兩條...