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講義：正方形的性質與判定（二）
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教學步驟及教學內容包括的環節：
一、作業檢查。
檢查學生的作業，及時指點。
2、課前熱身：回顧特殊平行四邊形的性質與判定及它們之間的轉化關係
知識點一：矩形、菱形的綜合應用
例1．如圖，在abcd中，e、f分別為邊ab、cd的中點，bd是對角線，ag∥db交cb的延長線於g．
（1）求證：△ade≌△cbf；
（2）若四邊形bedf是菱形，則四邊形agbd是什麼特殊四邊形？並證明你的結論．
【解析】（1）∵四邊形abcd是平行四邊形
∴∠1=∠c，ad=cb，ab=cd．
∵點e、f分別是ab、cd的中點，
∴ae=ab，cf=cd．
∴ae=cf．
∴△ade≌△cbf．
（2）當四邊形bedf是菱形時，四邊形agbd是矩形．
∵四邊形abcd是平行四邊形，
∴ad∥bc．
∵ag∥bd，
∴四邊形agbd是平行四邊形．
∵四邊形bedf是菱形，
∴de=be．
∵ae=be，
∴ae=be=de．
∴∠1=∠2，∠3=∠4．
∵∠1+∠2+∠3+∠4=180°，
∴2∠2+2∠3=180°．
∴∠2+∠3=90°．
即∠adb=90°，
∴四邊形agbd是矩形．
例2、順次連線矩形四邊中點所得的四邊形一定是（ ）
a． 正方形 b． 矩形 c． 菱形 d． 等腰梯形
【答案】c。
【考點】矩形的性質，三角形中位線定理，菱形的判定。
【分析】如圖，連線ac．bd，
在△abd中，∵ah=hd，ae=eb，∴eh=bd。
同理fg=bd，hg=ac，ef=ac。
又∵在矩形abcd中，ac=bd，∴eh=hg=gf=fe。
∴四邊形efgh為菱形。故選c。
例3、如圖，在矩形abcd中，m、n分別是ad．bc的中點，p、q分別是bm、dn的中點．
（1）求證：△mba≌△ndc；
（2）四邊形mpnq是什麼樣的特殊四邊形？請說明理由．
解：（1）證明：∵四邊形abcd是矩形，∵ab=cd，ad=bc，∠a=∠c=90°。
∵在矩形abcd中，m、n分別是ad．bc的中點，∴am=ad，cn=bc。
∴am=cn。
在△mab和△ndc中，∵ab=cd，∠a=∠c=90°，am=cn
∴△mab≌△ndc（sas）。
（2）四邊形mpnq是菱形，理由如下：
連線an，易證：△abn≌△bam，
∴an=bm。
∵△mab≌△ndc，∴bm=dn。
∵p、q分別是bm、dn的中點，∴pm=nq。
∵dm=bn，dq=bp，∠mdq=∠nbp，∴△mqd≌△npb（sas）。∴mq=pn。x kb1.
∴四邊形mpnq是平行四邊形。
∵m是ab中點，q是dn中點，∴mq=an，∴mq=bm。
又∵mp=bm，∴mp=mq。∴四邊形mqnp是菱形。
【考點】矩形的性質，全等三角形的判定和性質，直角三角形斜邊上的中線性質，菱形的判定。
【分析】（1）根據矩形的性質和中點的定義，利用sas判定△mba≌△ndc。
（2）四邊形mpnq是菱形，連線an，由（1）可得到bm=cn，再有中點得到pm=nq，再通過證明△mqd≌△npb得到mq=pn，從而證明四邊形mpnq是平行四邊形，利用三角形中位線的性質可得：mp=mq，從而證明四邊形mqnp是菱形。
變式訓練
1. 如圖，矩形abcd的對角線相交於點o，pd∥ac，pc∥bd，pd、pc相交於點p，四邊形pcod是菱形嗎?試說明理由。
2、如圖，m、n分別是平行四邊形abcd的對邊ad、bc的中點，且ad = 2ab．求證：四邊形pmqn為矩形．
3、 如圖，矩形abcd的對角線ac、bd相交於點o，ce∥bd，de∥ac.若ac=4，則四邊形code的周長是（ ）
a.4b.6c.8d. 10
知識點二：菱形與勾股定理的應用
例1、如圖，已知菱形abcd的對角線ac．bd的長分別為6cm、8cm，ae⊥bc於點e，則ae的長是（ ）
ab． cd．
【答案】d。
【考點】菱形的性質，勾股定理。
【分析】∵四邊形abcd是菱形，∴co=ac=3，bo=bd=，ao⊥bo，
∴。∴。
又∵，∴bc·ae=24，即。故選d。
例2、如圖，菱形abcd的兩條對角線相交於o，若ac = 6，bd = 4，則菱形的周長是（ ）
a、24 b、16c、 d、
【答案】c。
【考點】菱形的性質，勾股定理。
【分析】∵四邊形abcd是菱形，ac=6，bd=4，∴ac⊥bd，oa=ac=3，ob=bd=2，ab=bc=cd=ad。
∴在rt△aob中，。
∴菱形的周長是：4ab=4。故選c。
例3、在菱形abcd中，對角線ac、bd相交於點o，ab=5，ac=6，過點d作ac的平行線交bc的延長線於點e，則△bde的面積為（ ）
a、22b、24c、48d、44
【答案】b。
【考點】菱形的性質，平行四邊形的判定和性質，勾股定理和逆定理。
【分析】∵ad∥be，ac∥de，∴四邊形aced是平行四邊形。∴ac=de=6。
在rt△bco中，，∴bd=8。
又∵be=bc+ce=bc+ad=10，∴。
∴△bde是直角三角形。∴。故選b。
變式訓練
1、如圖，菱形abcd中，ac＝8，bd＝6，則菱形的周長為（ ）
a.20b.24c.28d.40
2、菱形的兩條對角線的長分別為6和8，則這個菱形的周長為
3、菱形abcd中，若對角線長ac＝8cm，bd=6cm，則邊長abcm。
4、如圖，在菱形abcd中，對角線ac=6，bd=8，則這個菱形的邊長為
5、如圖，菱形abcd的周長為20cm，且tan∠abd=，則菱形abcd的面積為 cm2．
知識點三：正方形、勾股定理及三角形的綜合應用
例1、如圖，在邊長為2的正方形abcd中，m為邊ad的中點，延長md至點e，使me=mc，以de為邊作正方形defg，點g在邊cd上，則dg的長為（ ）
（abcd）
【答案】d。
【考點】正方形的性質，勾股定理。
【分析】利用勾股定理求出cm的長，即me的長，有dm=de，所以可以求出de，從而得到dg的長：∵四邊形abcd是正方形，m為邊ad的中點，∴dm=dc=1。
平行四邊形 矩形 菱形正方形練習題
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