三角函式提能拔高限時訓練(滿分:150分時間:120分鐘)
一、選擇題（本大題共12小題,每小題5分,共60分）
1.函式的圖象的兩條相鄰對稱軸間的距離為( )
abcd.π
解析:,,
故兩相鄰的對稱軸間的距離為.
答案:b
2.函式y=asin(ωx+φ)(ω＞0)(|φ|＜,x∈r)的部分圖象如圖所示,則函式表示式為( )
ab.cd.
解析:觀察題圖,將(-2,0)代入各選項中,可排除a、c,將x=0代入b、d選項中,d選項不符合要求,故選b.
答案:b
3.下列函式中最小正週期不為π的是( )
解析:a中,f(x)=sin2xt=π;b中,t=π;c中,f(x)=-cos2xt=π.故選d.
答案:d
4.要得到函式y=sin2x的圖象,可由函式y=cos2x的圖象( )
a.向左平移個單位b.向右平移個單位
c.向左平移個單位d.向右平移個單位
解析:.
答案:d
5.使為奇函式,且在區間［0,］上為減函式的φ的乙個值為( )
abcd.
解析:,要使f(x)是奇函式,必須(k∈z),因此應排除a、b.
當時,f(x)=2sin2x在［0,］上為增函式,故c不對.
當時,f(x)=-2sin2x在［0,］上為減函式.
答案:d
6.已知函式y=asin(ωx+φ)在同一週期內,當時,取得最大值,當時,取得最小值,則該函式的解析式為( )
ab.cd.
解析:由題意,知,,,易知第乙個零點為(,0),則,即.
答案:b
7.若a=sin(cosπx),b=cos(sinπx)且x∈［,-1］,則( )
解析:∵x∈［,-1］,
∴πx∈［,-π］,cosπx∈［-1,0］,sinπx∈［0,1］.
∴a≤0＜b.
答案:b
8.函式的乙個單調增區間是( )
abc.(0d.(,)
解析:∵,
令f′(x)=sinx-sin2x＞0,
得sinx(1-2cosx)＞0,
∴或由函式圖象,知答案為a.
答案:a
9.若0＜x＜,則下列命題中正確的是( )
解析:分別取、、,排除a、b、c.
答案:d
10.若函式f(x)=2sin(ωx+φ),x∈r(其中ω＞0,|φ|＜)的最小正週期是π,且,則( )
ab.,
c.ω=2d.ω=2,
解析:∵,
∴ω=2.
又∵,|φ|＜,
∴.答案:d
11.若函式f(x)=sinωx+cosωx,x∈r,又f(α)=-2,f(β)=0,且|α-β|的最小值等於,則正數ω的值為( )
abcd.
解析:由於,
又f(α)=-2,f(β)=0,
所以x=α是函式圖象的一條對稱軸,(β,0)是函式圖象的乙個對稱中心.
故|α-β|的最小值應等於,
其中t是函式的最小正週期,
於是有,
故.答案:b
12.定義新運算例如則函式的值域為( )
a.［-1b.［0c.［-1d.［,］
解析:方法一:當sinx≤cosx,即≤x≤(k∈z)時,f(x)=sinx∈［-1,］;
當sinx＞cosx,即＜x＜(k∈z)時,f(x)=cosx∈［-1,］.
∴函式f(x)的值域為［-1,］.
方法二:作出y=sinx,y=cosx的圖象觀察便知.
答案:a
二、填空題(本大題共4小題,每小題5分,共20分)
13.已知函式y=f(x)的反函式為,其中0＜θ＜,則x=2 006時,f-1(x
解析:由題意得
=logsinθsin2θ=2.
答案:2
14.給出下列5個命題:
①函式f(x)=-sin(kπ+x)(k∈z)是奇函式;
②函式f(x)=tanx的圖象關於點(,0)(k∈z)對稱;
③函式f(x)=sin|x|是最小正週期為π的週期函式;
④設θ是第二象限角,則＞,且＞;
⑤函式y=cos2x+sinx的最小值是-1.
其中正確的命題是
解析:∵y=-sin(kπ+x)
(n∈z),故f(x)是奇函式,
∴①正確;
對f(x)=tanx,(kπ,0)、(,0)都是對稱中心(前者在曲線上,後者不在),
∴②正確;
f(x)=sin|x|不是週期函式,
∴③不正確;
對④,必滿足＞,但是第三象限角時,＜,
∴④不正確;
∵y=cos2x+sinx
=1-sin2x+sinx
,當sinx=-1時,ymin=-1,
∴⑤正確.
答案:①②⑤
15.如果圓x2+y2=2k2至少覆蓋函式的乙個極大值點和乙個極小值點,則k的取值範圍是
解析:函式的極大值點和極小值點分別為(k,),(-k,),
∴k2+3≤2k2.
∴k≤或k≥.
答案16.函式y=f(x)的圖象與直線x=a、x=b及x軸所圍成圖形的面積稱為函式f(x)在［a,b］上的面積.已知函式y=sinnx在［0,］上的面積為(n∈n*),則
(1)函式y=sin3x在［0,］上的面積為
(2)函式y=sin(3x-π)+1在［,］上的面積為________.
解析:(1)令n=3,則y=sin3x在［0,］上的面積為.
又∵y=sin3x在［0,］和［,］上的面積相等,
∴y=sin3x在［0,］上的面積為.
(2)由y=sin(3x-π)+1,設3φ=3x-π,
∴y=sin3φ+1.
又∵x∈［,］,
∴3φ∈［0,3π］.
∴φ∈［0,π］.
由(1)y=sin3φ在［0,］上的面積為,y=sin3φ在［0,π］上的面積為s1+s2+s3-s4,∵,
∴y=sin(3x-π)+1在［,］上的面積為.
答案:(1) (2)
三、解答題(本大題共6小題,共70分)
17.(本小題滿分10分)已知函式.
(1)求函式f(x)的最小正週期;
(2)求函式f(x)在區間［,］上的值域.
解:(1)
.∴最小正週期為.
(2)∵x∈［,］,
∴∈［,］.
∵在區間［,］上單調遞增,在區間［,］上單調遞減,
∴當時,f(x)取得最大值1.
又∵,∴當時,f(x)取得最小值.
∴函式f(x)在［,］上的值域為［,1］.
18.(本小題滿分12分)已知＜x＜0,.
(1)求sinx-cosx的值;
(2)求的值.
解法一:(1)由,
平方得sin2x+2sinxcosx+cos2x=,
得.∵,
又∵＜x＜0,
∴sinx＜0,cosx＞0,sinx-cosx＜0.
故.(2)
=sinxcosx(2-cosx-sinx)
.解法二:(1)聯立方程
由①得,
將其代入②,整理得25cos2x-5cosx-12=0,
∴或.∵＜x＜0,∴故.
(2)=sinxcosx(2-cosx-sinx)
.19.(本小題滿分12分)已知向量a=(,-1),b=(sin2x,cos2x),函式f(x)=a·b.
(1)若f(x)=0且0＜x＜π,求x的值;
(2)求函式f(x)的單調增區間以及函式取得最大值時,向量a與b的夾角.
解:(1)∵f(x)=a·b=sin2x-cos2x,
由f(x)=0,得sin2x-cos2x=0,
即.∵0＜x＜π,
∴0＜2x＜2π.
∴或.∴或.
(2)∵
,由≤≤,k∈z,
得≤x≤,k∈z.
∴f(x)的單調增區間為［,］,k∈z.
由上可得f(x)max=2,當f(x)=2時,由a·b=|a||b|cos〈a,b〉=2,得cos〈a,b〉,
∵0≤〈a,b〉≤π,
∴〈a,b〉=0.
20.(本小題滿分12分)設0≤θ≤π,p=sin2θ+sinθ-cosθ.
(1)若t=sinθ-cosθ,用含t的式子表示p;
(2)確定t的取值範圍,並求出p的最大值和最小值.
解:(1)由t=sinθ-cosθ,有t2=1-2sinθcosθ=1-sin2θ,
∴sin2θ=1-t2.
∴p=1-t2+t=-t2+t+1.
(2).
∵0≤θ≤π,
∴≤≤.
∴≤≤1,
即t的取值範圍是-1≤t≤.
,從而p(t)在［-1,］上是增函式,在［,］上是減函式.
又p(-1)=-1,,,
∴p(-1)＜p()＜p().
∴p的最大值是,最小值是-1.
21.(本小題滿分12分)已知函式f(x)=sin2x,,直線x=t(t∈r)與函式f(x)、g(x)的圖象分別交於m、n兩點.
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