解直角三角形的方法技巧

解直角三角形與直角三角形的概念、性質、判定和作圖有著密切的聯絡，是在深入研究幾何圖形性質的基礎上，根據已知條件，計算直角三角形未知的邊長、角的大小和面積等。首先要明確解直角三角形的依據和思路：在直角三角形中，我們是用三條邊的比來表述銳角三角函式的定義。

因此，銳角三角函式的定義本質上揭示了直角三角形中邊角之間的關係，它是解直角三角形的基礎。每個邊角關係式都可看作方程，解直角三角形的思路，實際上就是根據已知條件，正確地選擇直角三角形中邊角間的關係式，通過解方程來求解。

例1.如圖1，若圖中所有的三角形都是直角三角形，且，求ab的長。

圖1思路1：所求ab是的斜邊，但在中只知乙個銳角a等於，暫不可解。而在中，已知一直角邊及一銳角是可解的，所以就從解入手。

解法1：在中，因，且，ae＝1

故在中，由，得

在中，由，得

思路2：觀察圖形可知，cd、de分別是和斜邊上的高，具備應用射影定理的條件，可以利用射影定理求解。

解法2：同解法1得

在中，由，得

點拔：本題是由幾個直角三角形組合而成的圖形，這樣的問題，可先解出已經具備條件的直角三角形，從而逐步創造條件，使得要求解的直角三角形最終可解。值得注意的是，由於射影定理揭示了直角三角形中有關線段的數量關係，因而在解直角三角形時經常要用到。

例2.如圖2，在中，，ad是bc邊上的中線。

（1）若，，求ad的長。

（2）若，求證：

圖2分析：（1）由ad是bc邊上的中線，只知dc一條邊長，僅此無法直接在中求解ad。而在中，由已知bc邊和可以先求出ac，從而使可解。

（2）和分別為和中的銳角，且都以直角邊ac為對邊，抓住圖形的這個特徵，根據銳角三角函式可以證明

解：（1）在中，，

在中，（2）證明：在中，由，，得

在中，由，

得故，又因bc＝2dc，故

點拔：在解直角三角形的問題中，經常會遇到這樣的圖形，如圖2，它是含有兩個直角三角形的圖形。隨著d點在bc邊上位置的變化，會引起直角三角形中有關圖形數量相應的變化，從而呈現出許多不同的解直角三角形問題。

例3.如圖3，在中，，ad是的平分線。

（1）若，求

（2）在（1）的條件下，若bd＝4，求

圖3分析：在（1）中已知ad是的平分線，又知ab、bd這兩條線段的比為，應用三角形內角平分線的性質定理，就能把已知條件集中轉化到中，先求出即可求得。

解：（1）由ad是的平分線，得，即

在中，由，得

，（2）由，得

由，得。又

點撥：解直角三角形時，要注意三角形中主要線段的性質，利用平面幾何的有關定理，往往能夠建立已知與未知的聯絡，從而找到解決問題的突破口。

例4.如圖4，在中，，d為bc上一點，，，bd＝1，求ab。

圖4分析：已知的角告訴我們，和都是特殊的直角三角形，抓住這個特點設未知數，根據線段間的數量關係，可以列出一元一次方程求解

解：在中，設，由，可知，得，

在中，由，bd＝1，，得

得點撥：解直角三角形時，要注意發掘圖形的幾何性質，利用線段和差的等量關係布列方程，還要熟練地掌握特殊銳角的三角函式值，以使解答過程的表述簡便。

訓練題：

如圖5，在中，d、f分別在ac、bc上，且，，，求ac。

圖5（提示：是直角三角形，af為斜邊上的高線，cf是直角邊ac在斜邊上的射影，ac又為所求，已知的另外兩邊都在中，且，即是等腰三角形，因此，可以過d作，從而找到解題思路。由於de、af同垂直於bc，可以利用比例線段的性質，逐步等價轉化求得ac）