24.4 相似三角形的判定
學習目標：
1．經歷兩個三角形相似的探索過程，進一步發展學生的**、交流能力．
2．掌握「兩角對應相等，兩個三角形相似」的判定方法．
3．能夠運用三角形相似的條件解決簡單的問題．
重點、難點：
1．重點：三角形相似的判定方法3——「兩角對應相等，兩個三角形相似」
2．難點：三角形相似的判定方法3的運用．
3．難點的突破方法
（1）在兩個三角形中，只要滿足兩個對應角相等，那麼這兩個三角形相似，這是三角形相似中最常用的乙個判定方法．
（2）公共角、對頂角、同角的餘角（或補角）、同弧上的圓周角都是相等的，是判別兩個三角形相似的重要依據．
（3）如果兩個三角形是直角三角形， 則只要再找到一對銳角相等即可說明這兩個三角形相似．
主要概念：
三角形相似：如果乙個三角形的兩角分別與另乙個三角形的兩角對應相等，那麼這兩個三角形相似。
簡單地說：兩角對應相等，兩三角形相似。
用數學語言把定理表示出來：
在△abc和△a＇b＇c＇中：
∵ ∠a=∠a＇∠b=∠b＇（∠c=∠c＇）
∴ △abc∽△a＇b＇c＇
相似三角形的判定定理:
(1)平行於三角形一邊的直線和其他兩邊相交，所構成的三角形與原三角形相似。(簡敘為兩角對應相等兩三角形相似).
(2)如果乙個三角形的兩條邊和另乙個三角形的兩條邊對應成比例,並且夾角相等,那麼這兩個三角形相似(簡敘為:兩邊對應成比例且夾角相等,兩個三角形相似.)
(3)如果乙個三角形的三條邊與另乙個三角形的三條邊對應成比例,那麼這兩個三角形相似(簡敘為:三邊對應成比例,兩個三角形相似.)
(4)如果兩個三角形的兩個角分別對應相等（或三個角分別對應相等），則有兩個三角形相似
直角三角形相似的判定定理:
(1)直角三角形被斜邊上的高分成兩個直角三角形和原三角形相似.
(2)如果乙個直角三角形的斜邊和一條直角邊與另乙個直角三角形的斜邊和一條直角邊對應成比例,那麼這兩個直角三角形相似.
相似三角形的性質:
(1)相似三角形的對應角相等.
(2)相似三角形的對應邊成比例.
(3)相似三角形的對應高線的比,對應中線的比和對應角平分線的比都等於相似比.
(4)相似三角形的周長比等於相似比.
(5)相似三角形的面積比等於相似比的平方.
相似三角形的傳遞性：
如果△abc∽△a1b1c1,△a1b1c1∽△a2b2c2,那麼△abc∽a2b2c2
絕對相似三角形：
1.兩個全等的三角形一定相似。
2.兩個等腰直角三角形一定相似。（兩個等腰三角形，如果頂角或底角相等那麼這兩個等腰三角形相似。）
3.兩個等邊三角形一定相似。
三角形相似的判定定理推論：
推論一：頂角或底角相等的兩個等腰三角形相似。
推論二：腰和底對應成比例的兩個等腰三角形相似。
推論三：有乙個銳角相等的兩個直角三角形相似。
推論四：直角三角形被斜邊上的高分成的兩個直角三角形和原三角形都相似。
推論五：如果乙個三角形的兩邊和其中一邊上的中線與另乙個三角形的對應部分成比例，那麼這兩個三角形相似。
推論六：如果乙個三角形的兩邊和第三邊上的中線與另乙個三角形的對應部分成比例，那麼這兩個三角形相似。
經典例題：
【例1】兩個直角三角形△abc和△a′b′c′中，∠c＝∠c′＝90°，
∠a＝∠a′，判斷這兩個三角形是否相似。
【例2】在△abc與△a′b′c′中,∠a＝∠a′＝50°，∠b＝70°，
∠b′＝60°，這兩個三角形相似嗎?
【例3】如圖，△abc中，de∥bc，ef∥ab，試說明△ade∽△efc。
【例4】已知：矩形abcd中，e為bc上一點，df⊥ae於f，若ab=4，ad=5，ae=6，求df的長．
分析：要求的是線段df的長，觀察圖形，我們發現ab、ad、ae和df這四條線段分別在△abe和△afd中，因此只要證明這兩個三角形相似，再由相似三角形的性質可以得到這四條線段對應成比例，從而求得df的長．由於這兩個三角形都是直角三角形，故有一對直角相等，再找出另一對角對應相等，即可用「兩角對應相等，兩個三角形相似」的判定方法來證明這兩個三角形相似．
解：略（df=）．
【例5】將兩塊完全相同的等腰直角三角形擺成如圖的樣子，假設圖形中所有點、線都在同一平面內，回答下列問題：
(1)圖中共有多少個三角形？把它們一一寫出來；
(2)圖中有相似(不包括全等)三角形嗎？如果有，就把它們一一寫出來．
【例6】如圖，△abc中，點d、e分別在邊ab、ac上，連線並延長de交bc的延長線於點f，連線dc、be，若∠bde＋∠bce＝180°。⑴寫出圖中3對相似三角形（注意：不得新增字母和線）⑵請在你所找出的相似三角形中選取1對，說明它們相似的理由。
【例7】如圖，在正方形網格上有6個三角形其中②-⑥中與①相似的是
【例8】在大小為4×4的正方形方格中，△abc的頂點a、b、c在單位正方形的頂點上，請在圖中畫出乙個△a1b1c1，使得△a1b1c1∽△abc(相似比不為1)，且點a1、b1、c1都在單位正方形的頂點上．
（12）
【例9】(1)如圖，o是△abc內任一點，d、e、f分別是oa、ob、oc的中點，求證：△def∽△abc；
(2)如圖，正方形abcd中，e是bc的中點，df=3cf，寫出圖中所有相似三角形，並證明．
【例10】如圖，在△abc中，df經過△abc的重心g，且df∥ab，de∥ac，連線ef，如果bc=5，ac=ab.求證:△def∽△abc
【例11】如圖，△abc中，∠bac=90°，ad⊥bc於d，de為ac的中線，延長線交ab的延長於f，求證：ab·af=ac·df。
【例12】已知：如圖，在△abc中，∠acb=90°，cd⊥ab於d，e是ac上一點，cf⊥be於f。求證：eb·df=ae·db
【例13】如圖，cd是rt△abc斜邊ab上的中線，過點d垂直於ab的直線交bc於e，交ac延長線於f．
求證：(1)△adf∽△edb；(2)cd2=de·df．
【例14】如圖，ad是△abc的角平分線，be⊥ad於e，cf⊥ad於f．
求證：．
【例15】如圖，在正方形abcd中，m、n分別是ab、bc上的點，bm=bn，bp⊥mc於點p．
求證： pn⊥pd．
【例16】如圖從 abcd頂點c向ab和ad的延長線引垂線ce和cf，垂足分別為e、f，求證：。（作垂線）
【例17】如圖，rtabc中，cd為斜邊ab上的高，e為cd的中點，ae的延長線交bc於f，fgab於g，求證：fg=cfbf（作延長線）
【例18】 如圖，中，ab⊥ac，ae⊥bc於e，d在ac邊上，若bd=dc=ec=1，求ac。（作中線）
【課堂練習】
【1】中，，ac=bc，p是ab上一點，q是pc上一點（不是中點），mn過q且mn⊥cp，交ac、bc於m、n，求證：。
【2】理由？
【3】如圖1，在中，，於點，點是邊上一點，連線交於，交邊於點．
（1）求證：；
（2）當為邊中點，時，如圖2，求的值；
（3）當為邊中點，時，請直接寫出的值．
【4】如圖，在△abc中，點d、e分別在ab、ac邊上，de∥bc，若ad∶ab=3∶4，ae=6，則ac等於( )
a．3b．4c．6d． 8答案】d
【5】如圖，在△abc中，點d、e分別是ab、ac的中點，則下列結論：①bc=2de；②△ade∽△abc；③.其中正確的有
(a)3個 (b)2個
(c)1個 （d）0個答案】a
【6】如圖2，△abc中，點d在邊ab上，滿足∠acd =∠abc，若ac = 2，ad = 1，則db
acd abc ac/ab=ad/ac 【答案】db=3
【7】如圖，在中，d是ab邊上一點，連線cd，要使與
相似，應新增的條件是
（只需寫出乙個條件即可）
【答案】∠acd=∠b（∠adc=∠acb或）
【8】如圖，在平行四邊形abcd中，過點a作ae⊥bc，垂足為e，連線de，f為線段de上一點，且∠afe＝∠b.
(1) 求證：△adf∽△dec （2）若ab＝4,ad＝3,ae＝3,求af的長.
【答案】（1）證明：∵四邊形abcd是平行四邊形
ad∥bc ab∥cd
adf=∠ced ∠b+∠c=180°
afe+∠afd=180 ∠afe=∠b
afd=∠c
adf∽△dec
(2)解：∵四邊形abcd是平行四邊形
∴ad∥bc cd=ab=4
又∵ae⊥bcae⊥ad
在rt△ade中，de=
∵△adf∽△dec
af=【9】在圖15-1至圖15-3中，直線mn與線段ab相交
於點o，∠1=∠2=45°．
（1）如圖15-1，若ao=ob，請寫出ao與bd 的數量關係和位置關係；
（2）將圖15-1中的mn繞點o順時針旋轉得到圖15-2，其中ao=ob．求證：ac=bd，ac⊥bd；
（3）將圖15-2中的ob拉長為ao的k倍得到圖15-3，求的值．
【答案】
解：（1）ao=bd，ao⊥bd；
（2）證明：如圖4，過點b作be∥ca交do於e，∴∠aco=∠beo．
又∵ao=ob，∠aoc= ∠boe，
∴△aoc≌△boe．∴ac=be．
又∵∠1=45°， ∴∠aco=∠beo=135°．
∴∠deb=45°．
∵∠2=45°，∴be=bd，∠ebd=90°．
∴ac=bd． 延長ac交db的延長線於f，如圖4．∵be∥ac，∴∠afd=90°． ∴ac⊥bd．
九年級數學相似三角形教案
初三數學複習教案 課題 相似三角形 2 教學目的 綜合運用相似三角形的性質，判定定理 一些以相似為背景的綜合性考題。教學重點 注意數形結合 分類討論以及轉化的思考方法。教學過程 例題分析 例1 如圖，將兩塊完全相同的等腰直角三角形擺放成如圖所示的樣子，假設圖形中的所有點 線都在同一平面內，回答下列問...
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相似三角形
一 選擇題 1 2012涼山州 已知 則的值是 a b c d 考點 比例的性質 分析 先設出b 5k，得出a 13k，再把a，b的值代入即可求出答案 解答 解 令a，b分別等於13和5，a 13，故選d 點評 此題考查了比例的性質 此題比較簡單，解題的關鍵是注意掌握比例的性質與比例變形 2 201...