一、指數的性質
（一）整數指數冪
1．整數指數冪概念
2．整數指數冪的運算性質：（1） （2）
（3）其中， ．
3．的次方根的概念
一般地，如果乙個數的次方等於，那麼這個數叫做的次方根，
即： 若，則叫做的次方根，
例如：27的3次方根， 的3次方根，
32的5次方根， 的5次方根．
說明：①若是奇數，則的次方根記作； 若則，若則；
②若是偶數，且則的正的次方根記作，的負的次方根，記作：；（例如：8的平方根 16的4次方根）
③若是偶數，且則沒意義，即負數沒有偶次方根；
⑤式子叫根式，叫根指數，叫被開方數。 ∴．
．4．的次方根的性質
一般地，若是奇數，則；
若是偶數，則．
5．例題分析：
例1．求下列各式的值：
（1） （2） （3） （4）解：略。
例2．已知， 化簡：．
解：當是奇數時，原式
當是偶數時，原式
所以， ．
例3．計算：
解：例4．求值：．
解： （二）分數指數冪
1．分數指數冪：
即當根式的被開方數能被根指數整除時，根式可以寫成分數指數冪的形式；
如果冪的運算性質（2）對分數指數冪也適用，
例如：若，則，， ∴ ．
即當根式的被開方數不能被根指數整除時，根式也可以寫成分數指數冪的形式。
規定：（1）正數的正分數指數冪的意義是；
（2）正數的負分數指數冪的意義是．
2．分數指數冪的運算性質：整數指數冪的運算性質對於分數指數冪也同樣適用
即說明：（1）有理數指數冪的運算性質對無理數指數冪同樣適用；
（2）0的正分數指數冪等於0，0的負分數指數冪沒意義。
3．例題分析：
例1． 用分數指數冪的形式表示下列各式：
解： =；
=；=．例2．計算下列各式的值（式中字母都是正數）．
（12）；
解（1）
==；（2）==．
例3．計算下列各式：
（12）．
解：（1）==
（2）=．
（三）綜合應用
例1．化簡：.
解： ===.
例2．化簡：.
解： ．
評述：此題注重了分子、分母指數間的聯絡，即，由此聯想到平方差公式的特點，進而使問題得到解決。
例3．已知，求下列各式的值：（1）；（2）.
解：（1），∴，
又由得，∴，
所以.（2）（法一）
，（法二）而∴，
又由得，∴，
所以.二、指數函式
1．指數函式定義：
一般地，函式（且）叫做指數函式，其中是自變數，函式定義域是．
2．指數函式在底數及這兩種情況下的圖象和性質：
例1．求下列函式的定義域、值域：
（1） （2） （3） （4）．
解：（1） ∴ 原函式的定義域是，
令則∴得，所以，原函式的值域是．
（2） ∴ 原函式的定義域是，
令則，在是增函式 ∴，
所以，原函式的值域是．
（3）原函式的定義域是，
令則，在是增函式， ∴，
所以，原函式的值域是．
（4）原函式的定義域是，
由得，所以，原函式的值域是．
說明：求復合函式的值域通過換元可轉換為求簡單函式的值域。
例2．當時，證明函式是奇函式。
證明：由得，，
故函式定義域關於原點對稱。
∴所以，函式是奇函式。
例3．設是實數，，
（1）試證明：對於任意在為增函式；
（2）試確定的值，使為奇函式。
分析：此題雖形式較為複雜，但應嚴格按照單調性、奇偶性的定義進行證明。還應要求學生注意不同題型的解答方法。
（1）證明：設，則
，由於指數函式在上是增函式，且，所以即，
又由，得，，
所以，即．
因為此結論與取值無關，所以對於取任意實數，在為增函式。
評述：上述證明過程中，在對差式正負判斷時，利用了指數函式的值域及單調性。
（2）解：若為奇函式，則，
即變形得：，
解得：，
所以，當時,為奇函式。
三、對數的性質
1．對數定義：一般地，如果（）的次冪等於n, 就是，那麼數 b叫做a為底 n的對數，記作，a叫做對數的底數，n叫做真數。
即，說明：1．在指數式中冪n > 0，∴在對數式中，真數n > 0．（負數與零沒有對數）
2．對任意且, 都有 ∴，同樣：．
3．如果把中的寫成， 則有（對數恒等式）．
2．對數式與指數式的互換
例如例1．將下列指數式寫成對數式：
（1）； （2）； （3）； （4）．
解：（1）； （2）； （3）； （4）．
3．介紹兩種特殊的對數：
①常用對數：以10作底寫成
②自然對數：以作底為無理數， = 2.71828…… ， 寫成 ．
例2．（1）計算：，．
解：設則， , ∴；
令（2）求 x 的值
解：① ；
②但必須： ， ∴捨去 ，從而．
（3）求底數：①， ②．
解：① ∴；
②, ∴．
4．對數的運算性質：
如果 a > 0 ， a 1， m > 0 ，n > 0， 那麼
（1）；
（2）；
（3）．
例3．計算：
（1）lg1421g； （2）； （3）．
解：（1）解法一：
；解法二：
=；（2）；
（3）=．
5．換底公式： ( a > 0 , a 1 ；)
證明：設，則，
兩邊取以為底的對數得：，∴，
從而得說明：兩個較為常用的推論：
（1）； （2）（、且均不為1）．
證明：（1）；
（2）．
例4．計算：（12）．
解：（1）原式 =；
（2） 原式 =．
例5．已知，，求（用 a, b 表示）．解∴，
又∵，∴，∴．例6．設，求證：．
證明：∵，
∴， ∴．
例7．若，，求．
解：∵，
∴， 又∵，
∴，∴．
四、對數函式
1．對數函式的定義：函式叫做對數函式。
2．對數函式的性質：
（1）定義域、值域：對數函式的定義域為，值域為．
（2）圖象：由於對數函式是指數函式的反函式，所以對數函式的圖象只須由相應的指數函式圖象作關於的對稱圖形，即可獲得。
同樣：也分與兩種情況歸納，以（圖1）與（圖2）為例。
（3）對數函式性質列表：
例1．求下列函式的定義域：
（1）； （2）； （3）．
分析：此題主要利用對數函式的定義域求解。
解：（1）由》0得，
∴函式的定義域是；
（2）由得，
∴函式的定義域是；
（3）由9-得-3，
∴函式的定義域是．
例2．比較下列各組數中兩個值的大小：
（1），； （2），； （3），.
解：（1）對數函式在上是增函式，
於是；（2）對數函式在上是減函式，
於是；（3）當時，對數函式在上是增函式，
於是， 當時，對數函式在上是減函式，
於是．例3．比較下列比較下列各組數中兩個值的大小：
（12），；
（34），，．
解：（1）∵，
，∴；（2）∵，
，∴．（3）∵，，，
∴． （4）∵，
例4．已知，比較，的大小。
解：∵， ∴，
當，時，得，
∴， ∴．
當，時，得，
∴， ∴．
當，時，得，，
∴，， ∴．
綜上所述，，的大小關係為或或．
例5．求下列函式的值域：
（1）；（2）；（3）（且）．
解：（1）令，則，
∵， ∴，即函式值域為．
（2）令，則，
∴， 即函式值域為．
（3）令，
當時，， 即值域為，
當時，， 即值域為．
例6．判斷函式的奇偶性。
解：∵恆成立，故的定義域為，
，所以，為奇函式。
例7．求函式的單調區間。
解：令在上遞增，在上遞減，
又∵， ∴或，
故在上遞增，在上遞減， 又∵為減函式，
所以，函式在上遞增，在上遞減。
例8．若函式在區間上是增函式，的取值範圍。
解：令，
∵函式為減函式，
∴在區間上遞減，且滿足，
∴，解得，
所以，的取值範圍為．
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