型別一：週期
1. 求下列函式的週期：
（1）；（2）
思路點撥：先轉化為或的形式的三角函式，再求週期.
解析：（1）， ∴週期為；
（2）函式的週期， ∴週期為.
總結昇華：
① 求三角函式式的最小正週期時，要盡可能地化為只含乙個三角函式，且三角函式的次數為1的形式：
或，否則很容易出現錯誤。
② 二者的共同點是，
如：的週期是，的週期是.
舉一反三：
【變式】求函式的最小正週期．
（1）； （2）； （3）
【答案】
（1），∴週期為；
（2） ，∴週期為；
（3），∴週期為；
型別二：定義域
2．求函式的定義域。
思路點撥：找出使函式有意義的不等式組，並解答即可.
解析：將上面的每個不等式的範圍在數軸上表示出來，然後取公共部分，
由於x∈[-5,5]，故下面的不等式的範圍只取落入[-5，5]之內的值，
即：∴因此函式的定義域為：。
總結昇華：
①sinx中的自變數x的單位是「弧度」，x∈r，不是角度。求定義域時，若需先把式子化簡，一定要注
意變形時x的取值範圍不能發生變化。
②求三角函式的定義域，要解三角不等式，常用的方法有二：一是圖象，二是三角函式線.
舉一反三：
【變式1】求函式的定義域：
（1）； （2）.
【答案】
（1）要使得函式有意義，需滿足，
解得或，
∴定義域為：.
（2）要使得函式有意義，需滿足
解得∴定義域為：
【變式2】已知的定義域為，求的定義域.
【答案】∵中，∴中，
解得，∴的定義域為：.
型別三：三角函式的圖象
3．已知函式
（1）用五點法作出它的圖象；
（2）指出這個函式的振幅、週期、頻率、初相和單調區間；
（3）說明該函式的圖象可由的圖象經過怎樣的變換而得到？
解析：（1）.
列表描點繪圖如下:
（2）如圖可知，此函式的振幅是2，週期為，頻率為，初相為.
單調增區間為 k∈z ，
單調減區間為k∈z.
（3）總結昇華：
①五點法作(, )的簡圖時，五點取法是設，由取0、、
、、來求相應的值及對應的值，再描點作圖；
②由的圖象變換出的圖象一般先平移後伸縮，但先伸縮後平移也經常出
現，無論哪種變形，請切記每乙個變換總是對字母而言，即圖象變換要看「變數」起多大變化，而
不是「角變化」多少；
③此處的難點是函式圖象的平移，可以選擇畫出圖象後觀察；也可以直接由函式式子利用特殊位置點
（如：首點、波峰、波谷等）的座標判定，但其前提是兩個函式的名稱以及的係數是相同的.
舉一反三：
【變式1】由的圖象得到的圖象需要向平移________個單位.
【答案】左，；
∵，∴由的圖象得到的圖象需要向左平移個單位.
【變式2】試述如何由的圖象得到的圖象.
【答案】
方法一：
.方法二：
.【變式3】畫出函式在區間上的圖象.
【答案】
由知道：
故函式在區間上的圖象：
4. 下圖是函式（，）的圖象．則、的值是（ ）
a．， b．，
c．， d．，
解析：由圖象可得：
∵，由得，
由 ，得
∴ （）
由，得．滿足時，或．
由此得到，．注意到，即，
因此，這樣就排除了．
∴，總結昇華：因為函式是週期函式，所以僅靠影象上的三個點，不能完全確定a、ω、φ的值．本題雖然給出了，的條件，但是僅靠(0，1 )、兩點，不能完全確定ω、φ的值．在確定ω的過程中，比較隱蔽的條件（）起了重要作用．
舉一反三：
【變式1】將函式的圖象按向量平移，平移後的圖象如圖所示，則平移後的圖象所對應函式的解析式是（ ）
a． b． c． d．
【答案】c；把點代入選項即得。
【變式2】寫出下列函式圖象的解析式
（1）將函式的圖象上所有點向左平移個單位，再把所得圖象上各點的橫座標擴大為原來的2倍，得到所求函式的圖象。
（2）將函式的圖象上所有點橫座標縮為原來的一半，縱座標保持不變，然後把圖象向左平移個單位，得到所求函式的圖象。
【答案】
（1）；
按圖象變換的順序，自變數的改變量依次是：，倍。
圖象的解析式依次為： → → .
（2）；
按圖象變換的順序，自變數的改變量依次是：2倍，。
圖象的解析式依次為： → → 即.
型別四：單調性與最值、值域
5．已知函式，
(1)求函式的最小值以及相應的的取值的集合；
(2)寫出函式在上的單調遞增區間。
思路點撥：先將化簡為,然後將看作乙個整體,數形結合求最小值；利用復合函式的單調性進行討論.
解析：，（1）當即（）時，的最小值為-2，
故當時，.
（2）該函式是和的復合函式，
∵為增函式，要求的遞增區間，只須求的遞增區間
∵的遞增區間為：()
∴由得：()
∵，∴時，時，
故該函式的單增區間是或.
總結昇華：
1．把三角函式式化簡為（）是解決週期、最值、單調區間、對稱性等問題
的常用方法.
2．三角函式的最值都是在給定區間上取得的，因而特別要注意題設中所給出的區間
（1）求三角函式最值時，一般要進行一些代數變換和三角變換，要注意函式有意義的條件及弦函式
的有界。
（2）含引數函式的最值問題，要注意引數的作用和影響.
舉一反三：
【變式1】求下列函式的單調遞增區間.
（1），（2），（3），（4）.
【答案】
（1）∵，∴遞增區間為：()；
（2）∵，∴遞增區間為()；
（3）畫出的圖象：
可知增區間為()；
（4）函式在區間()上是增函式.
【變式2】利用單調性比較下列各組的大小：
（1），，；
（2），．
【答案】
（1）∵，，且
∴（2）∵，，∴.
【變式3】已知函式．求函式在區間上的最小值和最大值．
【答案】，
∵當，∴，
∴當，即時；
當，即時.
6．求下列函式的值域.
（1）；（2）；（3）
思路點撥：三角式確定的函式求解值域.一般可從兩個途徑入手.
一是將三角式化為乙個三角函式的形式，從而利用三角函式性質求解值域，二是將三角式化為相同形，通過換元轉化為代數函式求解值域.
解析：（1），
由正弦函式圖象可知：
當即時，；當即時，.
所以函式值域為.
（2）由去分母得：,
移項整理，
由輔助角公式得：（）
∴,即. 平方整理得:, 解出：，
所以函式值域為.
（3）由得
∴令，則∴,當時，， 當時，.
所以函式值域為.
舉一反三：
【變式1】求下列函式的值域：
（1）； （2）； （3）.
【答案】
（1）∴當時，有最大值；
當時，有最小值－４.
∴值域為
（2）∵,∴，
即，解得，
∴值域為.
（3）∵，
∴值域為.
【變式2】設關於的函式的最小值為，試確定滿足的的值，並對此時的值求的最大值。
【答案】令，，
則，開口向上，對稱軸，
當，即時，函式在上遞增，；
當，即時，函式在上遞減，，得與矛
盾；當，即時，，解得或（舍），
∴，此時.
【變式3】已知函式的定義域為，值域為，求常數、的值．
【答案】
（1）若，不符合題意.
（2）若，有時，；時，
（3）若，有時，；時，
故，或，.
型別五：奇偶性與對稱性
7．已知函式
（1）判斷函式的奇偶性；（2）判斷函式的對稱性。
思路點撥：先求定義域並判斷在數軸上關於原點對稱，再結合函式的圖象判斷其奇偶性和對稱性。
解析：（1）的定義域關於原點對稱，
∵且，∴函式不是奇函式也不是偶函式.
（2）∵令,則的圖象的對稱軸是，對稱中心（），
∴函式的圖象的對稱軸是即（）
由得（），
∴函式的圖象的對稱中心是（）.
總結昇華：
①經過等值變形盡量轉化為乙個角的乙個三角函式式（），再判斷其奇偶
性。函式的奇偶性與函式的對稱性既有聯絡又有區別，用定義法，換元法。
②對於（）來說，對稱中心與零點（平衡位置）相聯絡，對稱軸與最值點（極
值點）聯絡.
舉一反三：
【變式1】判斷下列函式的奇偶性
（1）； （2）.
【答案】
（1）定義域關於原點對稱，
又∴ 函式為奇函式。
（2）∵從分母可以得出（），∴定義域在數軸上關於原點不對稱。
∴ 函式為非奇非偶函式
【變式2】設函式的圖象的一條對稱軸是直線，則______；
【答案】∵是的影象的對稱軸，
∴即（）
又，∴【變式3】已知函式.
（1）當取何值時，取得最大值並求最大值；
（2）求函式的單調遞增區間；
（3）求函式的圖象的對稱中心，對稱軸；要使函式成為偶函式，向左平移最少單位是多少；
（4）求函式在上的圖象與的圍成的封閉圖形的面積；
【答案】
（1）當，即時，.
（2）由得,即，
∴單調增區間是.
（3）函式的圖象的對稱中心，是圖象與平衡位置所在直線的交點；
函式的圖象的對稱軸，是經過圖象上表示最大、最小值的點且與軸垂直的直線.
如圖:令,則,∴即，
∴對稱中心座標為，
當取得最大，最小值時， ∴，即，
∴對稱軸方程為.
當時，是軸右側且離軸最近的對稱軸，
所以將原函式圖象向左平移最少為時，圖象滿足關於軸對稱，成為偶函式.
（4）方法一：定積分法
所求面積為:
方法二：如上圖，是矩形的乙個對稱中心，
所以點與點間的圖象將矩形的面積平分，
同理，、間的圖象將矩形的面積平分，
故函式在上圖象與圍成封閉圖形面積是矩形面積的，
所求面積為.
型別六：其他
8．已知方程.
（1）若方程在上有實根，求實數m的取值範圍；
（2）若方程在上有兩個相異實根，求實數m的取值範圍.
思路點撥：求解三角方程是個較困難的問題，但僅考察三角方程在所給區間上解的個數，就可以聯絡函式的圖象求解，或者把變數單獨放在一邊，考察另一邊的取值範圍。
解析：（1）由題意得即，
若要方程在上有實根，等價於以為定義域而求解函式值的取值範圍.
當即時，；當，即時，.
∴.（2）由，若在上有兩個相異實根，
即函式在上與直線有兩個不同的交點，如圖.
故當時，方程有兩個相異實根.
總結昇華：
①本題是通過函式圖象交點個數判斷方程實數解的方法，應重視這種數形結合的方法。
②把變數分離，單獨放在一邊也是處理變數的乙個技巧。
舉一反三：
【變式1】已知方程有解，求實數的取值範圍。
【答案】由原方程得到，
令，則有最大最小值，
只要在這個範圍內，原方程就有解，
故時，原方程有解。
【變式2】已知，求使成立的實數的取值範圍。
【答案】原式變形為：
當即時，不論取何值，原式成立，即.
當即時，，∴原式等價於
令，則要使成立，只要即可。
又∵ 在即時取最小值3，
∴，即，
所以當時，m取任意實數，原式都成立，
當時 ，原式都成立。
三角函式影象習題
1 函式的影象與影象間的關係 函式的影象縱座標不變，橫座標向左 0 或向右 0 平移個單位得的影象 函式影象的縱座標不變，橫座標變為原來的，得到函式的影象 函式影象的橫座標不變，縱座標變為原來的a倍，得到函式的影象 要特別注意，若由得到的影象，則向左或向右平移應平移個單位。2 函式y sinx的圖象...
三角函式影象變換小結
相位變換 將影象沿軸向左平移個單位 將影象沿軸向右平移個單位 週期變換 將影象上所有點的縱座標不變，橫座標伸長為原來的倍 將影象上所有點的縱座標不變，橫座標縮短為原來的倍 振幅變換 將影象上所有點的橫座標不變，縱座標縮短為原來的倍 將影象上所有點的橫座標不變，縱座標伸長為原來的倍 特別提醒 由y s...
三角函式的影象變換
一 選擇題 1.把函式的圖象上所有的點向左平移，得到的圖象所表示的函式是 ab cd 2 為得到函式的圖象，只需將函式的影象 a 向左平移 b 向右平移 c 向左平移 d 向右平移 3.為了得到函式的影象，只需把函式的影象 a 向左平移 b 向右平移 c 向左平移 d 向右平移 4 設,函式影象向右...