一、直線與圓的位置關係
設的半徑為，圓心到直線的距離為，則直線和圓的位置關係如下表：
二、切線的性質及判定
1. 切線的性質
（1） 定理：圓的切線垂直於過切點的半徑．
推論1：經過圓心且垂直於切線的直線必經過切點．
推論2：經過切點且垂直於切線的直線必經過圓心．
（2） 注意：這個定理共有三個條件，即一條直線滿足：①垂直於切線②過切點③過圓心
①過圓心，過切點垂直於切線．過圓心，過切點，則．
②過圓心，垂直於切線過切點．過圓心，，則過切點．
③過切點，垂直於切線過圓心．，過切點，則過圓心．
2. 切線的判定
（1） 定義法：和圓只有乙個公共點的直線是圓的切線；
（2） 距離法：和圓心距離等於半徑的直線是圓的切線；
（3） 定理：經過半徑的外端並且垂直於這條半徑的直線是圓的切線．
注意：定理的題設是①「經過半徑外端」，②「垂直於半徑」，兩個條件缺一不可；定理的結論是「直線是圓的切線」．因此，證明一條直線是圓的切線有兩個思路：①連線半徑，證直線與此半徑垂直；②作垂直，證垂直在圓上．
3. 切線長和切線長定理
（1） 切線長：在經過圓外一點的圓的切線上，這點和切點之間的線段的長，叫做這點到圓的切線長．
（2） 切線長定理：從圓外一點引圓的兩條切線，它們的切線長相等，圓心和這一點的連線平分兩條切線的夾角．
三、三角形的內切圓
1. 三角形的內切圓：和三角形各邊都相切的圓叫做三角形的內切圓，內切圓的圓心叫做三角形的內心，這個三角形叫做圓的外切三角形．
2. 多邊形的內切圓：和多邊形的各邊都相切的圓叫做多邊形的內切圓，這個多邊形叫做圓的外切多邊形．
3. 直角三角形內切圓的半徑與三邊的關係
設、、分別為中、、的對邊，面積為，則內切圓半徑為，其中．若，則．
一、直線與圓位置關係的確定
【例1】 如圖，已知⊙是以數軸的原點為圓心，半徑為1的圓，，點在數軸上運動，若過點且與平行的直線與⊙有公共點，設，則的取值範圍是
ab．≤≤
c．－1≤≤1d．＞
【例2】 中，，，，給出下列三個結論： ①以點為圓心，3 cm長為半徑的圓與相離；②以點為圓心，4cm長為半徑的圓與相切；③以點為圓心，5cm長為半徑的圓與相交．上述結論中正確的個數是（ ）
a．0個 b．l個 c．2個 d．3個
【鞏固】在中，，，，以點為圓心，為半徑的圓和有怎樣的位置關係？為什麼？
1 ；⑵；⑶．
【例3】 如下左圖，在直角梯形中，，，且，是的直徑，則直線與的位置關係為( )
a．相離 b．相切c．相交 d．無法確定
【鞏固】如圖，是半圓的直徑，點是半圓上的一點，過點作的切線，，，，那麼直線與以點為圓心，為半徑的圓的位置關係是
二、切線的性質及判定
【例4】 已知：為平分線上一點，於，以為圓心．以為半徑作圓．求證：與相切．
【鞏固】如圖，為等腰三角形，，是底邊的中點，與腰相切於點，求證與相切．
【例5】 已知：如圖，內接於，是過的一條射線，且．求證：是的切線．
【鞏固】已知：如圖，是的直徑，為上一點，過點，於，平分．求證：為的切線．
【例6】 如下圖所示，以的直角邊為直徑作半圓，交斜邊於，交於，⑴ 求證：是的切線；
【鞏固】如下圖所示，以的直角邊為直徑作半圓，交斜邊於，交於，求證：是的切線．
【例7】 如圖，已知是的半徑，是中點，，是延長線上一點，且．求證：是的切線．
【鞏固】如圖，是的直徑，點在圓上，於．在延長線上，且．求證：是的切線．
【例8】 如圖，已知ab為⊙o的弦，c為⊙o上一點，∠c=∠bad，且bd⊥ab於b．
（1）求證：ad是⊙o的切線．
（2）若⊙o的半徑為3，ab=4，求ad的長．
【例9】 如圖，以等腰中的腰為直徑作，交於點．過點作，垂足為．
（1）求證：為的切線；
（2）若的半徑為5，，求的長．
【例10】 如圖，是的外接圓，，點是圓外一點，切於點，且．
（1）求證：是的切線．
（2）已知，求的半徑．
【例11】 如圖，為的直徑，是的中點，交的延長線於，的切線交的延長線於點．
（1）求證：是的切線；
（2）若，的半徑為，求的長．
【例12】 已知，如圖在矩形中，點在對角線上，以長為半徑的圓與分別交於點，．
（1）判斷直線與的位置關係，並證明你的結論；
（2）若，求的半徑．
【鞏固】如圖，已知是正方形對角線上一點，以為圓心、長為半徑的與相切於，與、分別相交於、．
（1）求證：與相切．
（2）若正方形的邊長為，求的半徑．
【例13】 已知：在中，是直徑，是弦，於點，過點作直線，使，交的延長線於點．
（1）求證：是的切線；
（2）設與相交於點，若，求半徑的長；
（3）在（2）的條件下，當時，求圖中陰影部分的面積．
【例14】 如圖，，以為直徑的交於點，過作，垂足為．
（1）求證：是的切線；
（2）作交於，垂足為，若，求弦的長．
【鞏固】如圖，在中，，以為直徑的與交於點，過作，交的延長線於，垂足為．
（1）求證：直線是的切線；
（2）當時，求的值．
【例15】 如圖，中，，以為直徑作交邊於點，是邊的中點，連線．
（1）求證：直線是的切線；
（2）連線交於點，若，求的值．
【鞏固】如圖，為的直徑，是外一點，交於點，過點作的切線，交於點，，作於點，交於點．
（1）求證：是的切線；
（2）．
【鞏固】如圖，是的的直徑，於點，連線交於點，弦，弦於點．
（1）求證：點是的中點；
（2）求證：是的切線；
（3）若，的半徑為，求的長．
【例16】 如圖，是的直徑，，是上一點，過作的垂線交於點，交的延長線於點，直線交於點，且．
（1）證明是的切線；
（2）設的半徑為，且，求的長．
【鞏固】如圖，是以為直徑的上一點，於點，過點作的切線，與的延長線相交於點是的中點，鏈結並延長與相交於點，延長與的延長線相交於點．
（1）求證：；
（2）求證：是的切線；
（3）若，且的半徑長為，求和的長度．
1. 已知，點在的平分線上，，以為圓心3cm為半徑作圓，則與的位置關係是________．
2. 如圖，半徑為的切直線於，，則的度數是 ．
3. 如圖所示在中，，的平分線交於，為上一點，，以為圓心，以的長為半徑畫圓．求證：（1）是的切線；（2）．
4. 已知：如圖，為上一點，交於，鏈結，且．求證：（1）為的切線；（2）．
5. 如圖，四邊形內接於，是的直徑，，垂足為，平分．
（1）求證：是的切線；
（2）若，求的長．
6. 如圖，等腰三角形中，，．以為直徑作交於點，交於點，，垂足為，交的延長線於點．
（1）求證：直線是的切線；
（2）求的值．
7. 如圖，在以為圓心的兩個同心圓中，經過圓心，且與小圓相交於點、與大圓相交於點．小圓的切線與大圓相交於點，且平分．
⑴ 試判斷所在直線與小圓的位置關係，並說明理由；
⑵ 試判斷線段之間的數量關係，並說明理由；
⑶ 若，求大圓與小圓圍成的圓環的面積．
直線與圓的位置關係
20.2.2 直線和圓的位置關係 1 一 選擇題 1 o的半徑為r，直線l1 l2 l3分別與 o相切 相交 相離，它們到圓心o的距離分別為d1 d2 d3，則有 a d1 r d2 d3 b d1 rd2 d3 2 在矩形abcd中，ac 8cm，acb 30 以b為圓心，4cm為半徑作 b，則 ...
直線與圓的位置關係
在解決與圓有關的問題時，常常需要新增輔助線.1 已知直線是圓的切點線時，通常需要連線圓心和切點，這條半徑垂直於切線.2 要證明一條直線是圓的切線 如果直線經過圓上某一點，則需要連線這點和圓心得到輔助線半徑，在證明所作半徑垂直於這條直線，已知公共點，連半徑證垂直 如果條件中直線與圓的公共點沒有確定，那...
方法技巧1直線與圓的位置關係
考情快遞 直線與圓的問題以直線與圓的交匯問題為主，其中直線與圓的位置關係是乙個主要命題方向 方法1 代數法 例1 2012 北京四中月考 已知圓m x cos 2 y sin 2 1，直線l y kx，下面四個命題中的真命題為 a 對任意實數k與 直線l和圓m相切 b 對任意實數k與 直線l和圓m都...