學生科目： 數學教師： 譚前富
知識框架
【知識點撥】
1、直線與圓的位置關係
2、圓與圓的位置關係
3、弦切角（弦切角就是切線與弦所夾的角）的性質
（1）弦切角定理：弦切角的度數等於它所夾的弧的（圓心角的）度數的一半。
（2）弦切角定理的推論：若兩弦切角所夾的弧相等，則這兩個弦切角也相等。
（3）弦切角的度數定理：弦切角等於它所夾的弧所對的圓周角。
4、切線長定理：從圓外一點引圓的兩條切線，它們的切線長相等，圓心和這一點的連線，平分兩條切線的夾角。
5、兩圓公切線的性質
（1）兩圓的外公切線長（或內公切線長）相等；
（2）兩圓的外公切線與連心線或者相交於一點或者平行。
6、公切線的作法及長度計算
本節的兩種位置關係和性質是研究直線與圓、圓與圓的基礎。要求會用運動變化的方法去考慮兩種位置關係，能了解它們之間的區別與聯絡。
在處理有關相切（或相交）的幾何問題時，其基本思路是由位置關係確定線段或角的數量關係，反之由數量關係確定相關的位置關係。在解決解決這樣的問題過程中，經常轉化為直角三角形、相似三角形，利用勾股定理，以及相似三角形的若干性質來解決問題。
【知識點撥】
三角形的求解方法要點：
1．直角三角形中各元素間的關係：
如圖，在△abc中，c＝90°，ab＝c，ac＝b，bc＝a。
（1）三邊之間的關係：a2＋b2＝c2。（勾股定理）
（2）銳角之間的關係：a＋b＝90°；
（3）邊角之間的關係：（銳角三角函式定義）
sina＝cosb＝，cosa＝sinb＝，tana＝。
2．斜三角形中各元素間的關係：
如圖6-29，在△abc中，a、b、c為其內角，a、b、c分別表示a、b、c的對邊。
（1）三角形內角和：a＋b＋c＝π。
（2）正弦定理：在乙個三角形中，各邊和它所對角的正弦的比相等
。（r為外接圓半徑）
（3）餘弦定理：三角形任何一邊的平方等於其他兩邊平方的和減去這兩邊與它們夾角的余弦的積的兩倍
a2＝b2＋c2－2bccosa；b2＝c2＋a2－2cacosb；c2＝a2＋b2－2abcosc。
3．三角形的面積公式：
（1）△＝aha＝bhb＝chc（ha、hb、hc分別表示a、b、c上的高）；
（2）△＝absinc＝bcsina＝acsinb；
（3）△＝＝＝；
（4）△＝2r2sinasinbsinc。（r為外接圓半徑）
（5）△＝；
（6）△＝；；
（7）△＝r·s。
4．解三角形：由三角形的六個元素（即三條邊和三個內角）中的三個元素（其中至少有乙個是邊）求其他未知元素的問題叫做解三角形．廣義地，這裡所說的元素還可以包括三角形的高、中線、角平分線以及內切圓半徑、外接圓半徑、面積等等．解三角形的問題一般可分為下面兩種情形：若給出的三角形是直角三角形，則稱為解直角三角形；若給出的三角形是斜三角形，則稱為解斜三角形
解斜三角形的主要依據是：
設△abc的三邊為a、b、c，對應的三個角為a、b、c。
（1）角與角關係：a+b+c = π；
（2）邊與邊關係：a + b > c，b + c > a，c + a > b，a－b < c，b－c < a，c－a > b；
（3）邊與角關係：
正弦定理 （r為外接圓半徑）；
餘弦定理 c2 = a2+b2－2bccosc，b2 = a2+c2－2accosb，a2 = b2+c2－2bccosa；
它們的變形形式有：a = 2r sina，，。
5．三角形中的三角變換（不要求）
三角形中的三角變換，除了應用上述公式和上述變換方法外，還要注意三角形自身的特點。
（1）角的變換
因為在△abc中，a+b+c=π，所以sin(a+b)=sinc；cos(a+b)=－cosc；tan(a+b)=－tanc。；
（2）三角形邊、角關係定理及面積公式，正弦定理，餘弦定理。
r為三角形內切圓半徑，p為周長之半。
（3）在△abc中，熟記並會證明：∠a，∠b，∠c成等差數列的充分必要條件是∠b=60°；△abc是正三角形的充分必要條件是∠a，∠b，∠c成等差數列且a，b，c成等比數列。
【例題精講】
【例題精選】
一．圓中位置關係：
例1、ab為半圓o的直徑，ap⊥ab，c為半圓o上一點，cd⊥ab於d，e是cd的中點，be交ap於p。
求證：pc是半圓o的切線。
【說明】證明切線的方法一般有：（1）直線與圓有唯一的公共點；（2）圓心到直線的距離等於半徑；（3）過半徑外端的直線和半徑垂直；（4）垂直半徑的直線過半徑外端。
本例採用的是（3）。
例2、過p作⊙o的切線pa、pb，a、b為切點，又pc滿足ab·pb－ab·pc－ac·pb，且ap⊥pc，∠pab＝2∠bpc。
求∠acb。
【說明】方程的思想在幾何中的計算問題中是相當有用的。
例3、pa切⊙o於a，pef交⊙o於f、e，ac平分∠eaf，交pe於c，pb∠平分ape交ae、af分別於b、d。
求證：abcd為菱形。
【說明】（1）要判斷乙個圖形的形狀不僅要對判定方法熟悉，還要能結合題中條件選擇較易的方法證明之。
（2）本例可以推廣為：如圖，pe、ph分別是圓的割線且與圓分別交於f、e、g、h。∠hpe的平分線交qf、qe於d、b，∠fqe的平分線交ph、pe於a、c。
求證：abcd為菱形。
例4、ab是半⊙o的直徑，ac⊥ab，ac＝ab，在半圓上任取一點d，作de⊥cd交ab於e，bf⊥ab交線段ad的延長線於點f。
（1）設弧ad是x0的弧，若要使點e**段ba的延長線上，求x的聚會範圍。
（2）不論點d取在半圓的什麼位置，圖中除ab＝ac外，還有兩條線段一定相等，指出它們，並加以證明。
【說明】（1）要學會用運動變化的觀點和極端原理考慮問題；（2）在圓中要探尋線段相等，要充分利用相似三角形。
例5、已知兩圓的半徑分別是r、r，圓心距為3，且r、r、r＋r恰為方程x3-6x2+11x-6=0的三根，問這兩個圓的位置關係如何？
【說明】判斷兩圓位置除了本例的方法，還用到公切線的條數。但要注意，不能僅由內公切線或外公切線的條數來判定，還要新增其他附加條件；同樣也不能用兩個圓的交點的個數來判定。
例6、兩圓內切於點p，大圓的弦ad與小圓相離，pa、pd與小圓交於點e、f，直線ef交大圓於b、c。
求證：∠apb＝∠cpd。
【說明】（1）要能針對直線和圓、圓和圓的各種位置關係靈活地添上常用而且是適用的輔助線。如本例是新增的過兩圓的切點的公切線。（2）本例還可以變形為：
變題1：如圖，⊙o1與⊙o2外離，一直線與⊙o1交於a、d，與⊙o2交於b、c，o1o2分別交⊙o1、⊙o2於e、f，ae、bf的延長線交於p，de、cf的延長線交於q。
求證：∠apb＋∠cqd＝1800。
變題2、⊙o1內含⊙o2，⊙o1的弦ab切⊙o2於點c，o1o2分別交⊙o1、⊙o2於e、f，ae、be與fc分別交於p、q。
求證：∠apc與∠bqc相等或互補。
例7、⊙o1與⊙o2外切於p，射線ap分別交兩圓於n、m，ab、ac分別切⊙o1與⊙o2於b，且。
求證：（1）ap平分∠bac；（2）ap2＝am·an。
【說明】本例中的相切條件不變，（1）若ap平分∠o1ao2，則；
（2）能否由ap2＝am*an證明ap平分∠oao？讀者自己考慮。
例8、在等邊△abc所在的平面內，問有多少點p使△pab、△pbc、△pca為等腰三角形。
【針對訓練】
二． 圓的計算題：
例1、如圖，七根圓形筷子的橫截面的圓半徑均不r，則捆紮這七根筷子一周的繩子的長度為多少？
【說明】計算曲線段的長度（包括封閉的和不封閉的）時，先要研究曲線的形狀與特徵，看其是否對稱、規則，對稱、規則時，有沒有現在的公式可求，如果規則或規則但無現成的公式可求時，可用割補的思想方法來分析研究。
例2、ad、am、ae分別是△abc的高、中線、角平分線，且∠1＝∠2。
求∠bac的度數。
【說明】本例是一道傳統幾何題的逆命題，也可變成∠1＝∠2←→∠bac＝90°。
例3、在平行四邊形abcd中，∠b＝60°，ab＝4，bc＝6，以b為圓心、ba為半徑畫弧交bc於e，再以點d為圓心、da為半徑畫弧交dc的延長線於點f。
求陰影部分的面積s。
【說明】對於求曲線長、面積、體積的問題通常採用割補的方法，但對於較難用此法的圖形可以考慮使用集合的思想（或圖形覆蓋的方法）來處理，在運用圖形覆蓋時，要注意圖形中哪些部分重複覆蓋，哪些部分沒有被覆蓋，哪些部分覆蓋到有關圖形之外，各部分之間的大小關係如何。
例4、大、中、小三圓兩兩相切，它們又都與直線l相切，若大、中兩圓的半徑分別是r、r，求小圓的半徑。
例5、已知⊙o與⊙o外切與點p，外色切線ab與連心線⊙ooo相交於c，a、b是切點，d是延長線上的點，滿足，求（1）cosd；（2）s⊙o1；（3）s⊙o2
【說明】在初中階段，求三角函式值，都是建立在直角三角形的基礎上的，因此，證∠apb＝90°是解決本題的關鍵；（2）幾何計算常建立在幾何證明的基礎上，通過證明，知道有關圖形的位置關係和數量關係，從而使問題獲得解決。
例6、已知△abc中，bc＝21，ac＝28，aab＝35，從中挖去兩個最大的等圓，則它們的半徑是多少？
例7、銳角△abc的bc邊上有兩點e、f，滿足∠bae＝∠caf，作fm⊥ab於m，作fn⊥ac於n，延長ae交△abc的外接圓於點d。
圓與圓的位置關係
教學目標 1 探索並了解圓和圓的位置關係.2 探索圓與圓的位置關係中兩圓圓心距與兩圓半徑的數量關係.3 能夠利用圓與圓的位置關係和數量關係解題.教學重點 探索並了解圓與圓的不同位置關係.教學難點 探索圓與圓的位置關係中兩圓的半徑與圓心距的數量關係.教學過程 一 溫故知新 1.點與圓位置關係有種，如何...
圓與圓的位置關係
要點梳理 1 圓與圓之間共有種位置關係，分別是 2 如果兩圓的半徑分別為r r，圓心距為d，那麼 d r r兩圓d r r兩圓 r r d r r兩圓d r r兩圓 d r r兩圓 問題 例1 兩圓相切 如圖，o的半徑為5，點p為 o外一點，op 8 以p為圓心，作 p與 o相切，則 p的半徑r為多...
圓與圓的位置關係
o1半徑為3 cm，o2半徑為1 cm，則ac的長為 6 如圖所示，o1與 o2內切於點a，並且 o1的半徑是 o2的直徑，o1b為 o1的半徑，交 o2於點c，ad是公切線，o1ac 50 則 bad 7 2010安徽蕪湖 若兩圓相切，圓心距是7，其中一圓的半徑為10，則另乙個圓的半徑為 8 20...