數學原理故事兩則

（一）沒有「規矩」不成「方圓」

我國考古學者曾發掘出公元2世紀漢朝的浮雕像，其中有女媧手執規，伏羲手執矩的影象。在司馬遷所寫的《史記》中，也提到夏禹治水的時候「左準繩（左手拿著準繩）」，「右規矩（右手拿著規矩）」。在甲骨文裡，就發現有規和矩這兩個字。

其中規字很像乙個人手執圓規在畫圖，矩字像兩個直角，可以說極盡象形文本之妙。

「規」，就是圓規，是用來畫圓的工具；「矩」很像現在的直角尺，是用來畫方形的工具。正如俗話所說：「不以規矩不能成方圓。」

據數學史家考證，人類最早是用樹杈來畫圓的。這種原始圓規由於半徑固定不變，只能畫一種大小的圓。因為圓有許多重要的性質，人類很早就認識了圓，使用了圓。

把車輪做成圓形的，是因為圓周上的點到圓心的距離相等，車子行駛起來平穩；還因為圓輪在滾動時摩擦力小，車子走起來省力。

把碗和盆做成圓形的，一方面是圓形物體製作起來比較容易，又沒稜沒角不易損壞；另一方面是用同樣大小的材料作碗，數圓形的碗裝東西最多。

把桶蓋和下水道蓋做成圓形的，是因為圓形的蓋子，不管你怎樣蓋法都不會掉進裡面去。而方形和橢圓形的蓋子。蓋得不合適，就會掉進去。

有的拱形門和屋頂做成半圓形的，是因為圓形拱門抗壓能力強。

（二）烏鴉喝水的秘密

我們知道，長方體的體積等於長乘以寬再乘以高，正方體的體積等於稜長的立方。可是你想過沒有，要想知道乙隻雞蛋的體積是多少，應該怎麼來求？

面對這個問題，你或許會一籌莫展，因為雞蛋的外形不規則，沒有現成的公式可用。

其實，這個問題也很簡單。《烏鴉喝水》這篇文章你一定讀過。烏鴉發現瓶子裡有水，但是瓶口太小，水面又太低，怎麼辦呢？

聰明的烏鴉發現周圍有小石子，於是銜來石子，放入瓶中。每放進一塊小石子，水面就會上公升一次；投進的石子體積越大，水面上公升得就越高。這是因為投入的石子有「體積」，要佔據一定的空間，於是，它就把與它體積相等的水「擠」上去。

也就是說，被「擠」上去的水的體積恰好等於投進石子的體積。

石頭的體積難以求出，那是因為它的形狀很不規則。如果我們能計算出被它「擠」上去的水的體積，那麼事情就好辦多了。只要我們用乙個長方體器皿，就很容易算出被「擠」出來的水的體積了。

假設這個長方體器皿底面是邊長4厘公尺的正方形，放入石頭後水面上公升了2厘公尺，那麼，石頭的體積是4×4×2＝32（立方厘公尺）。到這裡，你一定會高興地叫起來：「那我也會求雞蛋的體積了。」

烏鴉的聰明之處，在於它借助小石子，使瓶中的水面上公升，從而喝到了它想喝的水。

人類的聰明之處，在於從烏鴉喝水想出了「等量代換」的妙計。