解題教學中學生聯想能力培養

數學教育家波利亞指出:「中學數學教學的首要任務就是加強解題訓練。」通過解題訓練來培養解題能力,提高數學素養。

學習數學離不開解題,而解題與聯想是緊密相連的,成功有效的解題過程中必然伴隨著一系列的探索和聯想,這些由此及彼、由表及裡、由淺入深的聯想,溝通了問題中的已知條件和待求的結論,從而引導我們克服困難,直達勝利彼岸。

一、培養學生聯想能力的幾個切入點

(一)相似聯想

不少數學知識在內容和形式上都有相似之處,當面對乙個較為複雜的數學題時,就該題型的內容、結構特點去聯想乙個可模擬的簡單問題,從中受到啟發。激發思維,往往能收到很好的效果。

此題可以把已知條件展開,運用配方法進行說明,但過程複雜。仔細觀察條件可以發現其形式與一元二次方程根的判別式很像,因此可以聯想運用相關知識來作答。

設關於x的方程x2+(b-c)x+(a-b)(c-a)=0

∵(b-c)2=4(a-b)(c-a)

∴(b-c)2-4(a-b)(c-a)=0

∴方程有兩個相等的實數根。

[x-(a-b)][x-(c-a)]=0

∴x1=a-b x2=c-a

∴a-b=c-a

2a=c+b

(二)數形聯想

數與形兩者本沒有不可逾越的鴻溝,著名數學家華羅庚說過:「數缺形時少直觀,形少數時難入微,數形結合百般好,隔離分開萬事非」。這說明,以形助數,可使許多抽象的概念和複雜的關係直觀化、形象化、簡單化;而用數解形,借助數量的計算和分析,可使問題的解決嚴謹化。

如能注意運用形數結合,相互補充,往往會收到事半功倍之效果。

分析:此題採用一般思路,先通分再相加,則顯然計算量大,較為繁瑣。如果聯想到一種圖形分割的特殊情形,結合圖形可以找到簡捷的解法,如圖:

例4、已知a、b、c、x、y、z、k均為正數,且a+x=b+y=c+z=k,求證ay+bz+cx觀察待證的結論,使我們聯想到矩形和正方形的面積公式,所以可嘗試通過構造圖形來獲證。如圖,構造以k為邊長的正方形,由圖可知正方形的面積大於陰影部分的面積,即ay+bz+cx