橢圓及其標準方程（第一課時）教案
天津南開中學林秋莎
一．教材及學情分析：
本節課是《普通高中課程標準實驗教科書數學》（人民教育出版社課程教材研究所，中學數學課程教材研究開發中心編著）選修2－1第二章第二節《橢圓及其標準方程》第一課時．
用乙個平面去截乙個對頂的圓錐，當平面與圓錐的軸夾角不同時，可以得到不同的截口曲線，它們分別是圓、橢圓、拋物線、雙曲線，我們將這些曲線統稱為圓錐曲線．圓錐曲線的發現與研究始於古希臘．當時人們從純粹幾何學的觀點研究了這種與圓密切相關的曲線，它們的幾何性質是圓的幾何性質的自然推廣．17世紀初期，笛卡爾發明了座標系，人們開始在座標系的基礎上，用代數方法研究圓錐曲線．在這一章中，我們將繼續用座標法**圓錐曲線的幾何特徵，建立它們的方程，通過方程研究它們的簡單性質，並用座標法解決一些與圓錐曲線有關的簡單幾何問題和實際問題，進一步感受數形結合的基本思想．
解析幾何是數學乙個重要的分支,它溝通了數學內數與形、代數與幾何等最基本物件之間的聯絡．在必修2中學生已初步掌握了解析幾何研究問題的主要方法,並在平面直角座標系中研究了直線和圓這兩個基本的幾何圖形．在選修2中，教材利用三種圓錐曲線進一步深化如何利用代數方法研究幾何問題．由於教材以橢圓為重點交代求方程、利用方程討論幾何性質的一般方法,在雙曲線、拋物線的教學中應用和鞏固，因此「橢圓及其標準方程」起到了承上啟下的重要作用．
本節內容蘊含了許多重要的數學思想方法，如：數形結合思想、化歸思想等．因此，教學時應重視體現數學的思想方法及價值．
根據本節內容的特點，教學過程中可充分發揮資訊科技的作用，用幾何畫板的動態作圖優勢為學生的數學**與數學思維提供支援．
二．教學目標：
1．知識與技能目標：
①理解橢圓的定義
②掌握橢圓的標準方程，在化簡橢圓方程的過程中提高學生的運算能力
2．過程與方法目標：
①經歷橢圓概念的產生過程，學習從具體例項中提煉數學概念的方法，由形象到抽象，從具體到一般，掌握數學概念的數學本質，提高學生的歸納概括能力
②學會用座標化的方法求動點軌跡方程
③對學生進行數學思想方法的滲透，培養學生具有利用數學思想方法分析和解決問題的意識
3．情感態度價值觀目標：
①充分發揮學生在學習中的主體地位，引導學生活動、觀察、思考、合作、**、歸納、交流、反思，促進形成研究氛圍和合作意識
②重視知識的形成過程教學，讓學生知其然並知其所以然，通過學習新知識體會到前人探索的艱辛過程與創新的樂趣
③通過對橢圓定義的嚴密化，培養學生形成紮實嚴謹的科學作風
④通過經歷橢圓方程的化簡,增強學生戰勝困難的意志品質並體會數學的簡潔美、對稱美
⑤利用橢圓知識解決實際問題，使學生感受到數學的廣泛應用性和知識的力量，增強學習數學的興趣和信心
三．重、難點
重點：橢圓的定義、橢圓的標準方程、座標化的基本思想
難點：橢圓標準方程的推導與化簡，座標法的應用
關鍵：含有兩個根式的等式化簡
四．教法分析
新課程倡導學生自主學習，要求教師成為學生學習的引導者、組織者、合作者和促進者，使教學過程成為師生交流、積極互動、共同發展的過程．本節課採用讓學生動手實踐、自主**、合作交流及教師啟發引導的教學方法，按照「創設情境——學生活動——意義建構——數學理論——數學應用——回顧反思——鞏固提高」的程式設計教學過程，並以多**手段輔助教學，使學生經歷實踐、觀察、猜想、論證、交流、反思等理性思維的基本過程，切實改進學生的學習方式，使學生真正成為學習的主人．
五．教學過程
創設情境——提出問題,學生活動——體驗數學,
意義建構——感知數學,數學理論——建立數學,
數學應用——鞏固新知,回顧反思——歸納提煉,
課後作業——鞏固提高
（一）創設情境——提出問題
以摺紙遊戲創設問題情境
請學生將課前統一發放的圓形紙片拿出來，
並按如下步驟進行操作：
1．將圓心記作點，然後在圓內任取一定點
2．在圓周上任取10個點，分別記作，
將它們與圓心相連，得半徑
3．摺疊圓形紙片，使點與點重合，將摺痕與半徑的交點記作；然後再次摺疊圓形紙片，使點與點重合，將摺痕與半徑的交點記作；……；依此類推，最後摺疊圓形紙片，使點與點重合，將摺痕與半徑的交點記作
4．用平滑曲線順次連線點，你有何發現？
設計意圖：使學生產生學習興趣和探索慾望
（二）學生活動——體驗數學
1．學生通過動手實踐、觀察，猜想軌跡為橢圓
2．展示學生成果
3．用幾何畫板展示動點生成軌跡的全過程，印證猜想
4．展示橢圓實際應用的幻燈片
5．匯出新課：看來，大家對橢圓並不陌生，但細想想，我們對橢圓也說不上有多熟悉，除了「她」的名字和容貌，我們對「她」的品性幾乎還一無所知．數學是一門嚴謹的科學，我們不能滿足於直觀感受、淺嘗輒止，我們希望對橢圓有更深刻的認識，比如：橢圓上所有的點所具有的共同的幾何特徵是什麼？
——橢圓的定義；能否用代數方法精確地刻畫出這種共同的幾何特徵？——橢圓的標準方程．這就是我們這節課的重點內容．
設計意圖：從摺紙遊戲中匯出新課，明確研究課題
（三）意義建構——感知數學
橢圓定義的初步生成
學生每4人一組，合作**，在剛才的摺紙遊戲中，摺痕與對應半徑的交點的共同屬性，教師巡視指導．
如學生有困難，可按如下提示鋪設認知階梯：
如何用數學語言表達點與定點重合——點與定點關於摺痕軸對稱
對稱軸有什麼特點——摺痕即對稱軸是線段的垂直平分線
線段垂直平分線上的點有什麼幾何性質——到線段兩個端點距離相等，即
動點與定點之間有什麼關係——
請學生代表本小組交流**結論——與兩個定點的距離之和等於常數的點的軌跡叫做橢圓
（四）數學理論——建立數學
1．橢圓定義的完善
提出問題：要想用上面那句話作為橢圓的定義，要保證它足夠嚴密、經得起推敲．那麼，這個常數可以是任意正實數嗎？有什麼限制條件嗎？如何體現點在定圓的內部？
引導學生回答：點在定圓的內部即點到圓心的距離小於圓的半徑，也就是，從而意識到在「定義」中需要加上「常數》」的限制．
繼續深化問題：若常數=或常數<,情況會發生什麼變化？
應用平面幾何中的「三角形任意兩邊之和大於第三邊」、「兩點之間線段最短」為理論依據，得出結論：當常數=時，與兩個定點的距離之和等於常數的點的軌跡是線段；當常數《時，與兩個定點的距離之和等於常數的點的軌跡不存在．
請學生給出經過修改的橢圓定義，教師用幻燈片給出完善的橢圓定義，並介紹焦點、焦距的定義．
設計意圖：使學生經歷橢圓概念的生成和完善過程，提高其歸納概括能力，加深對橢圓本質的認識，並逐漸養成嚴謹的科學作風
2．橢圓的標準方程
(1)回顧用座標法求動點軌跡方程的一般步驟：建系設點、寫出動點滿足的幾何約束條件、座標化、化簡、證明等價性
(2)建立焦點在軸上的橢圓的標準方程
①建系設點：觀察橢圓的幾何特徵，如何建系能使方程更簡潔？——利用橢圓的對稱性特徵
以直線為軸，以線段的垂直平分線為軸，建立平面直角座標系．設焦距為，則．設為橢圓上任意一點，點與點的距離之和為．
②動點滿足的幾何約束條件:
③座標化：
④化簡：化簡橢圓方程是本節課的難點，突破難點的方法是引導學生思考如何去根號
預案一：移項後兩次平方法
鏈結到幾何畫板，分析的幾何含義，令
得到焦點在軸上的橢圓的標準方程為
橢圓及其標準方程 教案
一 教學目標 1 了解橢圓的形成過程，理解橢圓的定義 2 能根據定義求出橢圓的標準方程，使學生掌握求軌跡方程的一般方法 3 通過課件演示滲透運動變換的思想 二 重點難點 重點 橢圓的定義和標準方程 難點 橢圓標準方程的推導過程 三 教學過程 1 問題情景 問題1 杯口的直觀圖 問題2 紙筒的壓縮 問...
教案橢圓定義及其標準方程
高中數學橢圓定義及其標準方程 萬源市第三中學校王尚蓮 一 教學目標 1.使學生了解橢圓的實際背景，感受橢圓刻畫現實世界和在實際問題中的作用.2.掌握橢圓的定義 標準方程的推導及步驟 標準方程中a b c的代數意義 標準方程.3.掌握直接法求曲線方程，培養學生數形結合數學思想，提高分析問題的能力.4....
橢圓及其標準方程2 教案
教學目標 1 熟練掌握橢圓的兩個標準方程 2 能應用特定係數法求橢圓的標準方程.教學重點 橢圓標準方程的兩種形式 教學難點 兩種橢圓標準方程的區分和應用 教學方法 學導式 教具準備 幻燈片 三角板 教學過程 複習回顧 師 上一節，我們學習了橢圓的定義並推導了橢圓的標準方程，下面作簡要的回顧 略 這一...