學習目標加深理解橢圓的定義及其標準方程，能熟練求解與橢圓有關的軌跡問題．
知識點一推導橢圓標準方程的過程
思考1 在求解橢圓方程時，建立直角座標系應遵循的原則是什麼？
答案第一，充分利用圖形的對稱性，以座標軸為對稱軸，對稱中心為原點．
第二，一般地，使已知的點盡可能多的落在座標軸上．
思考2 推導橢圓標準方程的步驟是怎樣的？
答案 →→→
知識點二求橢圓方程的方法
型別一直接法求軌跡方程
例1 如圖，設點a，b的座標分別為(－5,0)，(5,0)．直線am，bm相交於點m，且它們的斜率之積是－，求點m的軌跡方程．
解設點m的座標為(x，y)，因為點a的座標是(－5,0)，
所以，直線am的斜率kam＝ (x≠－5)；
同理，直線bm的斜率kbm＝ (x≠5)．
由已知有×＝－ (x≠±5)，
化簡，得點m的軌跡方程為＋＝1(x≠±5)．
**延伸若將例1中的－改為a(a<0)，曲線形狀如何？
解設點m(x，y)，則·＝a(x≠±5)．
化簡得，＋＝1(x≠±5)．
(1)當a＝－1時，曲線表示圓x2＋y2＝25(x≠±5)，去掉兩點(±5,0)．
(2)當a≠－1時，曲線表示橢圓，去掉兩點(±5,0)．
當－1當a<－1時，橢圓焦點在y軸上．
反思與感悟通過本例的學習，體會橢圓的另一種生成方法：乙個動點到兩個定點連線的斜率之積是乙個負常數(不等於－1)，軌跡即為橢圓，但要注意除去不符合題意的點．
跟蹤訓練1 已知m(4,0)，n(1,0)，若動點p滿足·＝6||.求動點p的軌跡c的方程．
解設動點p(x，y)，
則＝(x－4，y)，＝(－3,0)，＝(1－x，－y)，
由已知得－3(x－4)＝6，
化簡得3x2＋4y2＝12，
即＋＝1.
∴點p的軌跡c的方程是橢圓：＋＝1.
型別二定義法求軌跡方程
例2 如圖，p為圓b：(x＋2)2＋y2＝36上一動點，點a座標為(2,0)，線段ap的垂直平分線交直線bp於點q，求點q的軌跡方程．
解 ∵直線ap的垂直平分線交直線bp於點q，
∴|aq|＝|pq|，
∴|aq|＋|bq|＝|pq|＋|bq|＝6＞|ab|＝4，
∴點q的軌跡為以a、b為焦點的橢圓，
且2a＝6,2c＝4，
∴a＝3，c＝2，即b2＝a2－c2＝5，
∴點q的軌跡方程為＋＝1.
反思與感悟用定義法求橢圓的方程，首先要利用平面幾何知識將題目條件轉化為到兩定點的距離之和為定值，然後判斷橢圓的中心是否在原點、對稱軸是否為座標軸，最後由定義產生橢圓的基本量a，b，c.
跟蹤訓練2 已知圓m：(x＋1)2＋y2＝1，圓n：(x－1)2＋y2＝9，動圓p與圓m外切並且與圓n內切，圓心p的軌跡為曲線c.求c的方程．
解由已知得圓m的圓心為m(－1,0)，半徑r1＝1；圓n的圓心為n(1,0)，半徑r2＝3.
設圓p的圓心為p(x，y)，半徑為r.動圓p與圓m外切並且與圓n內切，
所以|pm|＋|pn|＝(r＋r1)＋(r2－r)＝r1＋r2＝4.
由橢圓定義可知，曲線c是以m，n為左，右焦點，長半軸長為2，短半軸長為的橢圓(左頂點除外)，其方程為＋＝1(x≠－2)．
型別三相關點法求軌跡方程
例3 如圖，在圓x2＋y2＝4上任取一點p，過點p作x軸的垂線段pd，d為垂足．當點p在圓上運動時，線段pd的中點m的軌跡是什麼？為什麼？
解設點m的座標為(x，y)，點p的座標為(x0，y0)，
則x＝x0，y＝.因為點p(x0，y0)在圓x2＋y2＝4上，
所以x＋y＝4.①
把x0＝x，y0＝2y代入方程①，
得x2＋4y2＝4，即＋y2＝1.
所以點m的軌跡是乙個橢圓．
**延伸從本例中，你能發現橢圓與圓之間的關係嗎？
解圓按某乙個方向作伸縮變換可以得到橢圓．
反思與感悟當題目中所求動點和已知動點存在明顯關係時，一般利用相關點的方法求解．用相關點法求軌跡方程的基本步驟為
(1)設點：設所求軌跡上動點座標為p(x，y)，已知曲線上動點座標為q(x1，y1)．
(2)求關係式：用點p的座標表示出點q的座標，即得關係式
(3)代換：將上述關係式代入已知曲線方程得到所求動點軌跡的方程，並把所得方程化簡即可．
跟蹤訓練3 如圖，設p是圓x2＋y2＝25上的動點，點d是p在x軸上的投影，m為pd上一點，且|md|＝|pd|.當p在圓上運動時，求點m的軌跡c的方程，並判斷此曲線的型別．
解設m點的座標為(x，y)，p點的座標為(xp，yp)，
由已知易得∵p在圓上，∴x2＋2＝25，
即軌跡c的方程為＋＝1.該曲線表示橢圓．
1．已知橢圓＋＝1上的一點p到橢圓乙個焦點的距離為3，到另一焦點的距離為7，則m等於( )
a．10 b．5 c．15 d．25
答案 d
解析由橢圓定義知|pf1|＋|pf2|＝2a＝10，∴a＝5，
∴a2＝25，即m＝25.
2．若△abc的兩個頂點座標a(－6,0)，b(6,0)，△abc的周長為32，則頂點c的軌跡方程為( )
a. ＋＝1
b. ＋＝1(y≠0)
c. ＋＝1(y≠0)
d. ＋＝1(y≠0)
答案 d
解析由題意知|ca|＋|cb|＋|ab|＝32，又|ab|＝12，
∴|ca|＋|cb|＝20>|ab|，
由橢圓定義知，頂點c的軌跡是以a，b為焦點的橢圓，
其方程為＋＝1(y≠0)．
3．設△abc的三個頂點a、b、c對應三邊分別為a、b、c，且a、b、c(a>b>c)成等差數列，a、c兩點的座標分別是(－1,0)、(1,0)，則頂點b的軌跡方程為
答案 ＋＝1(－2解析設點b的座標為(x，y)，
∵a、b、c成等差數列，
∴a＋c＝2b，即|bc|＋|ba|＝2|ac|，
∴|bc|＋|ba|＝4.
根據橢圓的定義易知，點b的軌跡方程為＋＝1.
又∵a>b>c，∴a>c，即|bc|>|ab|，
∴(x－1)2＋y2>(x＋1)2＋y2，∴x<0，
∴點b的軌跡是橢圓的一半，方程為＋＝1(x<0)．
又當x＝－2時，點b、a、c在同一直線上，不能構成△abc，∴x≠－2.
∴頂點b的軌跡方程為＋＝1(－24．已知圓x2＋y2＝9，從這個圓上任意一點p向x軸作垂線段pp′，垂足為p′，點m在pp′上，並且＝2，求點m的軌跡．
解設點m的座標為(x，y)，
點p的座標為(x0，y0)，則x0＝x，y0＝3y.
∵p(x0，y0)在圓x2＋y2＝9上，
∴x＋y＝9.
將x0＝x，y0＝3y代入得x2＋9y2＝9，即＋y2＝1.
∴點m的軌跡是焦點在x軸上的橢圓＋y2＝1.
1．解答與橢圓有關的軌跡問題的一般思路是：
2．注意題目要求中求軌跡和求軌跡方程的區別．
一、選擇題
1．設f1，f2為定點，|f1f2|＝10，動點m滿足|mf1|＋|mf2|＝8，則動點m的軌跡是( )
a．橢圓 b．不存在 c．圓 d．線段
答案 b
解析由於動點m到兩定點的距離之和等於8<|f1f2|, 所以動點m的軌跡不存在．
2．橢圓＋y2＝1的兩個焦點為f1、f2，過f1作垂直於x軸的直線與橢圓相交，乙個交點為p，則|pf2|等於( )
a. b. c. d．4
答案 c
解析不妨設f1的座標為(，0)，p點座標為(x0，y0)，
∵pf1與x軸垂直，∴x0＝.
把x0＝代入橢圓方程＋y2＝1，得y＝.
∴|pf1|＝.∴|pf2|＝4－|pf1|＝.
3．已知橢圓＋＝1(a>b>0)，m為橢圓上一動點，f1為橢圓的左焦點，則線段mf1的中點p的軌跡是( )
a．圓 b．橢圓 c．線段 d．直線
答案 b
解析設右焦點為f2，由題意知|po|＝|mf2|，|pf1|＝|mf1|，又|mf1|＋|mf2|＝2a，所以|po|＋|pf1|＝a>|f1o|＝c，故由橢圓的定義知p點的軌跡是橢圓．
4．已知橢圓的焦點是f1，f2，p是橢圓上的一動點，如果延長f1p到q，使得|pq|＝|pf2|，那麼動點q的軌跡是( )
a．圓 b．橢圓 c．線段 d．不存在
答案 a
解析如圖，依題意：|pf1|＋|pf2|＝2a(a>0是常數)．
又∵|pq|＝|pf2|，
∴|pf1|＋|pq|＝2a，
即|qf1|＝2a.
∴動點q的軌跡是以f1為圓心，2a為半徑的圓，故選a.
5．已知橢圓e：＋＝1(a＞b＞0)的右焦點f(3,0)，過點f的直線交e於a，b兩點，若ab的中點座標為(1，－1)，則e的方程為( )
a. ＋＝1 b. ＋＝1
c. ＋＝1 d. ＋＝1
答案 d
解析由橢圓＋＝1，得b2x2＋a2y2＝a2b2，
因為過點f的直線與橢圓＋＝1(a＞b＞0)交於a，b兩點，設a(x1，y1)，b(x2，y2)，則＝1，＝－1，又b2x＋a2y＝a2b2①，
b2x＋a2y＝a2b2②，
由①－②得b2(x－x)＋a2(y－y)＝0，化簡得b2(x1－x2)(x1＋x2)＋a2(y1－y2)(y1＋y2)＝0.
2b2(x1－x2)－2a2(y1－y2)＝0，＝，
又直線的斜率為k＝＝，即＝，因為b2＝a2－c2＝a2－9，所以＝，
解得a2＝18，b2＝9，故橢圓方程為＋＝1.
6．直線y＝x＋2與橢圓＋＝1有兩個公共點，則m的取值範圍是( )
a．(1b．(1,3)∪(3，＋∞)
c．(3d．(0,3)∪(3，＋∞)
答案 b
解析由得(3＋m)x2＋4mx＋m＝0.若直線與橢圓有兩個公共點，δ＝(4m)2－4m(3＋m)＞0，求得m＜0或m＞1.由＋＝1表示橢圓，知m＞0且m≠3.
綜合可得m的取值範圍是(1,3)∪(3，＋∞)．
橢圓及其標準方程 教案
一 教學目標 1 了解橢圓的形成過程，理解橢圓的定義 2 能根據定義求出橢圓的標準方程，使學生掌握求軌跡方程的一般方法 3 通過課件演示滲透運動變換的思想 二 重點難點 重點 橢圓的定義和標準方程 難點 橢圓標準方程的推導過程 三 教學過程 1 問題情景 問題1 杯口的直觀圖 問題2 紙筒的壓縮 問...
教案橢圓定義及其標準方程
高中數學橢圓定義及其標準方程 萬源市第三中學校王尚蓮 一 教學目標 1.使學生了解橢圓的實際背景，感受橢圓刻畫現實世界和在實際問題中的作用.2.掌握橢圓的定義 標準方程的推導及步驟 標準方程中a b c的代數意義 標準方程.3.掌握直接法求曲線方程，培養學生數形結合數學思想，提高分析問題的能力.4....
橢圓及其標準方程2 教案
教學目標 1 熟練掌握橢圓的兩個標準方程 2 能應用特定係數法求橢圓的標準方程.教學重點 橢圓標準方程的兩種形式 教學難點 兩種橢圓標準方程的區分和應用 教學方法 學導式 教具準備 幻燈片 三角板 教學過程 複習回顧 師 上一節，我們學習了橢圓的定義並推導了橢圓的標準方程，下面作簡要的回顧 略 這一...