方程作為一種重要的數學思想方法 ，它對豐富學生解決問題的策略，提高解決問題的能力，發展數學素養有著非常重要的意義；同時，方程作為一種重要的計算工具，也是學生進一步學習數學和進行其他學科學習的基礎。在課程標準中對義務教育階段的不同時期關於方程的教學提出了不同的要求，但是由於受傳統教學經驗的影響，使相當一部分的一線教師對方程教學的目標還停留在解方程上，對方程思想存在著根本上的誤解，在實踐方向上還有一定的偏差。那麼作為小學教師，如何根據學生的身心發展特點，把握好學生對方程內容的學習與探索的深度呢?
筆者認為主要應該從以下幾方面進行**：
一、流失了引入未知數的「需求」意識
引入未知數的想法應當是在算術方法感到黔驢技窮的情形下去萌發、催生.算術思維強調從已知數出發,對已知資訊進行思維直接加工獲得算式答案.在列式時,學生往往以抽象思維的形式進行,啟發思維的工具最多是靠線段或面積分析圖,遇難一點問題時,甚至要發揮「超級想象」才能獲得正確的算式。
由於算術方法缺乏對問題很好展開、表述和分析的「言傳」工具,只能靠抽象的「意會」行事.這種幾乎依賴記憶與想象,對已知數量分析、加工處理的方法,雖有時閃現奇思妙想異彩,但最終因承負資訊容量有限和轉化問題手段的侷限,用之不寬和活而不泛而窮途末路。
誠然,小學階段已接觸到方程解決問題的方法,卻是將它與算術方法置於平行的位置上進行,既考慮到算術方法對培養數感和壘實數學基礎的價值,又放眼於未來發展之需，培養學生適應於用方程解決問題的代數思維。小學時,提出的問題一般較為簡單,通常兩種方法都可以解決,體會用兩種不同的思維方式解決問題,但真正讓他們領略方程的代數思維超越算術思維,應當還是在初中。可是，無論是我自身上課還是在聽課中都發現:
教師往往先講問題的算術解法,然後再匯入方程解決問題的方法,給學生印象：方程作為代數的新思維是與算術思維等效的,只不過是換乙個「玩法」的新玩意。我認為:
只有在挑戰新問題時,讓算術思維顯出窘迫,學生才能領略:未知數的引入會帶來數學思維語言的發展,它便於我們對數學思維延續、拓展和表述,有了它,數學思維便有了「唱歌起舞」的愉悅感.。
二、流失了「有用的未知數」意識
不少學生在列方程解決實際問題時,設出未知數後,不會列出方程,或列出的方程總是「殘廢」.究其因,這些學生還沒有真正掌握:如何活用含未知數的代數語言去思維和表達問題.
回顧一些課堂教學,我覺醒於乙個重要的教學環節：教師往往不注重訓練學生,如何用乙個關鍵的所設未知數x,窮盡題中的數量關係,更多地去表達問題中其他的隱性未知量.教師僅有選擇地關注：
哪些對列出方程有用的隱性未知量才去用含未知數x的代數式表示,這種只認「娘舅」而不識「姑嫂」的「認親」方式,制約了學生代數思維語言的能力發展.聯絡與轉化這一重要的數學思想,應盡可能體現在：用乙個「不知道」去表達更多的「不知道」,這恰恰是代數語言優勢所在.。
正確地引導學生發現什麼是最關鍵的「不知道」,這是方程應用教學的乙個重要環節.它不僅體現對各種數量關係梳理的審題意識,而且是對出現問題中各種未知量有乙個地位、價值的思辨過程,找到了關鍵、核心的未知量,就奠定了方程建模的基石.不同的未知量,在問題中發揮代數思維的「作戰半徑」不一樣.
方程建模的「建」,就是數量關係的構造與展示,選擇設關鍵的「不知道」為未知數,就是找到方程建模最合適的「建材」.我們經常發現,學生只要問題問什麼就設什麼,可能造成無法列出方程的被動,這正是對有用的「未知數」價值甄別的意識缺失。
三、實際教學的過程中，還是產生了許多的問題：
1、作為方程的初步認識，在五年級教材中安排的全是一步方程，用來解決一步計算的實際問題，這樣的安排忽視了學生對學習內容的主觀需求。因為雖然用算術方法需要一定的逆向思考，但是比起列方程解決問題那麼繁雜的書寫步驟與計算中錯誤機會的增加，學生更喜歡用算術方法來解決這樣的問題，如果讓學生自己選擇，列方程在這兒絕對不會成為首選方法。可見這部分內容的編排缺乏對學生學習需求的客觀認識，不能讓學生充分體會方程的價值。
2、綜觀國標版數學教材的內容安排，五年級教學方程的初步認識有點「繞彎子走回頭路」的傾向。如前所述，教材十分關注方程在解決逆向思維問題時的獨特優勢，然而由於這些反敘述問題對培養學生逆向思維能力有著十分重要的作用，從低年級開始，結合計算教材就十分關注對逆向思維問題的教學，如一年級下學期我們就曾經將「求原來是多少」、「比什麼多（少）多少」的問題作為重點內容單獨進行教學；四年級又結合倍數和因數的教學，重點研究了「是什麼的幾倍」的實際問題；五年級時作為解決問題的重要策略，利用乙個單元來介紹逆推法；等等。總之，為了讓學生理解這些逆向思維問題的基本思路及數量關係，教師可謂煞費苦心，使之逐步成為學生解決問題的一種基本思想方法。
而正因為學生的印象如此深刻，在教學方程的過程中，當教師有意識地讓學生尋找適當的數量關係來列方程的時候，又要把本來已經初步形成的逆向思維，硬扭回來轉為順向，這成為一項重大工程，花費了許多時間，大多數學生還說不清楚。最後教師只能生硬地告訴學生未知的那個條件不能單獨放在方程的一邊，一般情況下要與其他條件一起放在方程左邊，學生才能找到一些小竅門，高興之餘不免要埋怨這樣的「繞彎子」方法。
3、有些配套練習題的編寫沒有充分領會教材的精神，有時會忽略對題目型別的把握，許多順向思考的問題也讓學生來列方程，反而增加了學生思考的難度，使學生對方程價值的認識產生了混淆。
可見，在這裡方程作為一種重要數學方法的價值沒有得到很好的體現，失卻了其本身在數學中的重要地位。
四、小學數學解方程教學的思考
1、對新舊教材解方程方法不同的比較思考
在《數學課程標準》中對於方程有著這樣的要求:「能夠根據具體問題中的數量關係,列出方程。體會方程是刻畫現實世界的乙個有效的數學模型。
」在建立實際問題的數與代數模型時,字母(表示數)符號是基本的數學語言。用x表示實際問題中的未知量,通過分析問題中已知量與未知量的相等關係,「翻譯」成表示未知數和已知數之間相等關係的方程,即得到刻畫實際問題的相等關係的數學模型。
長期以來,在小學階段教學簡易方程,方程變形的依據總是根據運算之間的關係,這實際是用算術的思路求未知數。而在新課程標準指導下的解方程,則要求學生探索、理解等式的基本性質,再應用等式的基本性質解方程。新教材利用「天平原理」為處理方程提供了乙個強有力的智力影象:
方程類似於一組天平,方程的等號表示處於平衡狀態,用天平平衡的道理,形象直觀地幫助學生深化對「相等關係」的理解,讓學生明白:在等式的兩邊同時進行相同的運算,那麼平衡就得到維持,即為等式的基本性質:方程兩邊同時加上或減去相同的數,左右兩邊仍然相等;方程兩邊同時乘或除以相同的數(0除外),左右兩邊仍然相等。
舊解法中學生須牢記加、減、乘、除四種運算中的數量關係等式,而數量關係等式的總數達10個,即:①加數+加數=和;②乙個加數=和-另乙個加數;③被減數-減數=差;④被減數=減數+差;⑤減數=被減數-差;⑥因數×因數=積;⑦乙個因數=積÷另乙個因數;⑧被除數÷除數=商;⑨被除數=商×除數;⑩除數=被除數÷商。記住四種運算中各部分的名稱與數量關係等式,對學生來說絕非易事,根據教者以往經驗,許多小學生直至畢業仍為數量關係等式犯糊塗,解方程時演算法經常是錯誤百出。
而新教材中的解法只需記住「同加、同減、同乘、同除」幾個字,比舊教材根據逆運算關係解方程,思路更統一,方法更簡單。學生理解得特別好,掌握的程度很高。利用等式的基本性質解方程的優越性還體現在有利於中小學數學教學的銜接,較為徹底地避免舊教法中同一內容兩種思路、兩種算理解釋的現象。
但現實中也有不少的老師還不認同這種新教法,固守陳規,新教材、老教法,仍抱住用算術的思路求未知數。殊不知到中學時學生又要另起爐灶,其小學的思路及其演算法掌握得越牢固,對中學代數起步教學的負遷移就越明顯。對**而言,在解決實際問題特別是稍複雜的問題時,往往選用的就是方程解法,而算術解法往往從方程解法推導而出,這就體現出列方程解決問題時常常可以化逆向思維為順向思維的優勢。
從長遠來看,我們教師需要端正思想,提高認識,從學生的可持續發展出發,讓學生在數學思想方法認識上有乙個新的飛躍。
2、對形如a-x=b和a÷x=b的方程思考
在《簡易方程》中,學生最先接觸到的是形如x+a=b、x-a=b、ax=b、x÷a=b四種基本型,對於方程a-x=b、a÷x=b則加以迴避。但在教學實際中,學生對於列出此類方程則無法避免。如人教版教材第59頁1題,學生除列出x+1.
2=4和3x=8.4外,還列出4-x=1.2、8.
4÷x=3。對於出現α-x=b、α÷x=b型別方程時,我是這樣處理的。
首先,學生頭腦中須牢固建立「天平原理」即「等式的基本性質」,要求人人都會解答形如x+a=b、x-a=b、ax=b、x÷a=b的方程。出示一組方程:①3.
2+x=4.6 ;②x-1.8=4;③1.
6x=6.4;④x÷7=0.3。
讓學生解答,並說出每一步的解答過程。接著再出示:⑤17-x=15;⑥6÷x=2。
師:同學們找一找這兩個方程與剛才的4個方程有相同的嗎?
生:未知數在運算符號的後面,與方程①、③相似。
師:那同學們看方程①和方程③還可變成什麼形式?
生2:方程①還可變成x+3.2=4.6,方程③可變成x×1.6=6.4。
運用加法交換律和乘法交換律,將方程①與③變形。學生發現方程⑤、⑥和方程①、③不同,不能從未知數的位置來進行判斷。
師:那方程⑤與方程②,方程⑥與方程④分別又有什麼聯絡呢?
學生很快發現每組方程運算符號分別相同;方程②的未知數是被減數,方程⑤的未知數是減數;方程④的未知數是被除數,方程⑥的未知數是除數。
通過上述觀察對比,讓學生牢記了不相同的另兩種型別:a-x=b、a÷x=b。然後統一演算法,提示學生運用天平原理來解題。
學生知道17-x=15要在方程兩邊同時加乙個數。有的提出要同時加17,師生演算發現,方程17-x=15變成了34-x=32,沒有讓方程的一邊只剩下x。馬上又有學生提出來要同時加x,於是順利得到下列解法:
17-x=15
解:17-x+x=15+x
17=15+x
15+x=17
15+x-15=17-15
x=2按此思路,又順利地遷移到6÷x=2的解法:
6÷x=2
解:6÷x×x=2×x
6=2x
2x=6
2x÷2=6÷2
x=3最後小結:x-a=b與a-x=b的演算法相同,方程兩邊同時加乙個數;x÷a=b與a÷x=b方程兩邊同時乘乙個數。這個數可以是具體數值(已知數),也可以是字母(未知數)。
基於學生的「已經會什麼?還想學什麼?」找準學生學習知識的「最近發展區」,讓學生通過親歷數學模型的建構,照樣學得輕鬆,學得著迷;教師不必完全拘泥於《教師用書》的要求,對a-x=b和a÷x=b的型別刻意加以迴避。
3、對形如ax±b=c型別方程的應用題的思考
對於稍複雜的方程,如人教版教科書第65頁例1:足球上的白色皮共有20塊,比黑色皮的2倍少4塊,共有多少塊黑色皮?教材上列出的數量關係等式是:
①黑色皮的塊數×2-白色皮的塊數=4,列出的方程是2x-20=4。
在這裡,應讓學生展開思維的翅膀,列出不同的數量關係等式。除去教材中所列的數量關係等式,學生還能列出:②黑色皮×2-4=白色皮塊數;③白色皮塊數+4=黑色皮×2。
而哪乙個數量關係等式最能體現方程順向思維的優越性呢?將題目中的文字「白色皮比黑色皮的2倍少4塊」稍加整理為「黑色皮的2倍少4塊是白色皮」,學生就都優化選擇了第②個數量關係等式,很快地列出了方程:2x-4=20。
而對書上的解法只要求稍作了解。
因為像這類列出方程ax±b=c的應用題的順向思維就是求比乙個數的幾倍多(或少)幾的數是多少。讓學生見到所求未知數的幾倍就是x乘幾,多幾就加幾,少幾就減幾,與以前學的求比乙個數的幾倍多(或少)的數是多少的演算法做到相統一。這讓學生進一步體會到列方程解決問題的優越性,使學生在掌握新的解決問題思考方法的過程中開闊了思路,根據問題特點靈活選擇比較簡便的演算法,有助於在培養學生解決實際問題能力的同時,培養學生思維的準確性與靈活性。
方程教學中仍有不少珍藏著的數學意識亟待挖掘，數學意識是形成數學思想方法的先導，我們應去鑽探方程知識平實表層下深藏著的數學意識，去開採、提煉，滋養學生的數學思想。
《方程的意義》教學反思
2 要體會方程是一種數學模型。含有未知數的等式 描述了方程的外部特徵，並不是本質特徵。方程用等式表示數量關係，它由已知數和未知數共同組成，表達的相等關係是現象 事件中最主要的數量關係。要讓學生體會方程的本質特徵。在教學過程中，通過觀察天平的相等關係 如左盤中是100克的杯子和x克水右盤中是250克砝...
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生 5 判斷 師 請你判斷一下它們是方程嗎？為什麼?出示 3 x 10 17 8 9 6 2x 8x 0 7 x 3 z y 2 師 通過這幾道題的練習，你對方程有了哪些新的認識？生 未知數不一定用x表示。未知數不一定只有乙個。師 乙個方程，必須具備哪些條件？生 6 比較辨析 師 含有未知數的等式叫...
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