——我的反思與實踐
賽迪這學期我也教高一，用新教材。從紹興回到學校，第二天，我就上「方程的根與函式的零點」這節課。應該說，通過「紹興會議」課題組老師們的討論，我也已經對「紹興的課」有了一定的反思，是反思後的一次嘗試。
1．函式零點概念的教學
我是這樣開始的。
提出問題1：方程3456x2－3458x＋1＝0有實數根嗎？
大部分同學拿起計算器開始計算起來。有少數學生並沒有這樣做，而是看著黑板上的問題在思考，觀察係數特徵。「係數怎麼這麼大？有趣，怪怪的，也算『△』嗎？」我也沒說更多的話。
一會兒，就有學生說「有實根。」他是計算一元二次方程根的判別式△的值，通過它的符號作出判斷的。雖然數字較大，但計算器並不在乎。
「你的結論呢？」我問一位沒有用計算器計算的同學。
「有。」他肯定地說。
「你是怎麼知道的？」
「設f（x）＝3456x2－3458x＋1，然後畫個圖。」
這裡至少有兩點是可貴的：一是把方程與函式聯絡起來，通過函式來研究方程；二是想到了畫圖，數形結合！
「圖是怎麼畫的呢？」我追問。
「因為當x＝0時，f（0）＝1；而當x＝1時，f（1）＝－1，因此，方程3456x2－3458x＋1＝0在區間（0，1）上一定有乙個實數根。」
看來，他已經觀察出係數中的名堂。我應著他在黑板上畫出示意圖。
「你是怎麼想到的呢？」
「想到」是對「知道」的挖掘，教師企圖挖掘背後的思維過程。
「我們在初中就講過（學過）。」開始把當前的問題與已有的知識、經驗聯絡起來。
「初中是怎麼講的？」這一問題意在引導學生回憶、再現已有的相關知識。
學生把初中學習過的有關一元二次方程、二次函式、二次函式圖象的關係敘述了一遍，基本上重複了教科書（p87）上的內容。
教科書的編寫是從學生已有的知識出發，回憶初中已經學習過二次函式的圖象與一元二次方程的關係引入函式零點的概念，這是正確的。但是，教學中如何處理？如何呈現？
是另乙個值得研究的教學處理的問題。如果老師照本宣科，把教科書的內容平鋪直敘地複述一遍，學生不會感興趣，也感受不到老師講這些內容的必要。而由學生自己把它作為解決問題的理由敘述出來就大不一樣了。
是教師引導下學生的主動回憶，是過去所學知識、經驗的運用。也正是本節課所學概念的「生長點」。
實踐證明，「3456x2－3458x＋1＝0是否有實數解？」使得學生不至於用因式分解的方法去找方程的實數根。許多同學想到用判別式的符號進行判斷也不奇怪，這是他已有的經驗，但是，畢竟有一批學生（不是一兩個）對教師提出的問題不是簡單地去計算△，而是試圖通過其他途徑來解決，而且這個途徑是可以找到的，當然要認真思考一下（與函式聯絡、畫圖）才能找到，符合能力「最近發展區」的要求。
如果我們提出「方程x2－2x－3＝0是否有實數根？」學生一下子就可以給出結論。一是學生知道，對方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0），只要a，c異號，那麼，△＝b2－4ac就一定大於零；二是很容易把x2－2x－3分解為（x＋1）（x－3），根是什麼都知道了。
這樣與本節課的教學內容——函式零點的聯絡就不夠緊密。
在學生用初中知識，運用函式f（x）＝3456x2－3458x＋1的圖象這個工具，解釋方程3456x2－3458x＋1＝0有實數解後，教師再提出函式零點的概念，學生是很容易接受的。於是不難得到「方程f（x）＝0有實數根函式f（x）的圖象與x軸有交點＝0函式f（x）有零點」的結論。
實際上，函式的零點這個概念，就是學生初中所學習過的「一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的根就是相應的二次函式f（x）＝ax2＋bx＋c的圖象與x軸的交點的橫座標」的直接推廣。學生經歷的是特殊問題一般化的過程。他們可以用這個舊知識來同化新知識。
而且這個新知識與舊知識之間也只有一層很薄的窗戶紙，一捅就破。對於函式零點概念的理解，他們仍然可以以二次方程為載體。不必把簡單的問題搞複雜，清楚的問題搞糊塗。
函式零點的概念並不是這節課教學的重心，重心是「函式零點存在的條件」。
2．函式零點存在條件的教學
接著提問題2：函式f（x）在區間（a，b）上有f（a）f（b）＜0，那麼函式f（x）在區間（a，b）上是否一定存在零點，請舉例說明。
我特別強調「請舉例說明」。
同學們議論起來。很快就有人說「不一定。」
「請舉個例子。」我說。
「f（x）＝，在區間（－1，1）上有f（－1）f（1）＜0，但是f（x）＝0在（－1，1）上沒有實數根。」
大家都覺得這個例子很精彩。確實，舉反例常常不是件容易的事。
再提出問題3：函式f（x）在區間（a，b）上有f（a）f（b）＜0，且有零點，那麼一定只有乙個嗎？請舉例說明。
有乙個學生在黑板上畫出了圖1，還有人畫出圖2。
我故意地數了數「3個，5個，…」
圖1圖2圖3圖4
「不一定是奇數個。」乙個學生說。有學生聽出我的話外音「老師是說一定有奇數個嗎？」他到黑板上畫出圖3。
這時乙個學生未經老師同意就主動上黑板畫出了圖4。我真沒有想到學生會想出這個點子來，我被他們奇思妙想所感動，我索性說「還有嗎？」有學生又畫出間斷不連續的圖象來。
同學們認真思考，積極參與，熱情很高。這樣的教學可以達到促進學生發展的目的，特別是發展學生的思維能力！
接著，我讓學生討論問題4：函式f（x）在區間（a，b）上有f（a）f（b）＜0，還需要滿足什麼條件？就一定有且只乙個實數根。」
又進入熱烈討論。最後得到要滿足3個條件：（1）函式f（x）（的圖象）在區間[a，b]上「連續不斷」；（2）f（a）f（b）＜0；（3）函式f（x）在區間（a，b）上單調。
這就已經獲得了函式零點存在條件：函式y＝ f（x）在區間[a，b]上的圖象是連續不斷的一條曲線，並且有f（a）f（b）＜0，那麼函式y＝ f（x）在區間[a，b]上有零點。即存在c∈（a，b），使得f（c）＝0，這個c就是方程f（c）＝0的根。
接著讓學生研究：方程lnx＋2x－6＝0是否有實數根，並估計根所在區間。
大多數學生採用，在同乙個座標系中同時畫出函式y＝lnx與函式y＝6－2x的圖象（圖5），估計出它們交點的橫座標所在的區間是（1，3），這並不困難。教師再用幾何畫板畫出函式f（x）＝lnx＋2x－6的圖象，同樣判斷函式f（x）＝ lnx＋2x－6在區間（1，3）上有乙個零點。這為下一節課用「二分法」縮小區間長度尋找這個解的近似值打下伏筆圖5
3．幾點想法
（1）對於零點存在的條件，高中階段不可能也不必要加以證明。本節課的重點就是讓學生通過函式圖象，直觀感受零點存在的條件。如何讓學生尋找這個條件呢？
當然不要直接把結論拋給學生，這就需要設計乙個過程，設計「問題鏈」，「問題」會引起學生的思考，讓學生對這些問題進行討論，參與到尋找條件的過程中來。
（2）要注意高中學生的思維特點。有研究表明，人的能力發展具有年齡特徵，中學階段以抽象邏輯思維佔主導地位．初中階段主要是以經驗型為主的抽象邏輯思維，而高中階段主要是以理論型為主的抽象邏輯思維。這些結論需要我們在教學設計中引起注意，對於培養學生的理性精神是十分必要的。
既不要低估學生的能力，也不必過高地估計，正確把握學生能力的「最近發展區」提出問題是教師的基本功之一。從教學的實踐看，問題3雖然抽象，但是，同學們借助圖象是有能力研究解決的。學生力所能及的事就讓學生自己去做。
（3）數學教學是數學活動的過程，數學活動是數學的思維活動。怎樣讓學生活動起來呢，這個動力就是「問題」，有思維價值的問題。問題可以把學生帶入「憤」與「悱」的境地。
有思維價值就不會對答如流，就需要有一定的思考的時間。提出問題後，先讓學生嘗試嘗試，看能否解決它。比仿說，你提出讓學生去火車站的任務。
如果他不知道方向（在北面還是南面）可以提示一下。至於他如何走到火車站應該先讓他走一走，繞彎路也很正常。但是，也有可能他想到了教師還沒有想到方法。
實在不會走就再啟發他一下。我們不能說，拉著我的手，跟著我到火車站去，到底是他去還是你去呢？對問題引導得太細，不費力氣就解決了，對培養能力沒有好處。
思維有時需要安靜！教師提出問題後喋喋不休，講個不停，會干擾學生的思維。要培養學生主動思考的習慣，有困難時，教師加以啟發、引導，而不是讓他們首先依賴老師。
發表在《中國數學教育》2023年第4期。
函式的零點
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函式的零點說課稿
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「方程的根與函式的零點」教學反思
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