讓函式零點的錯誤不再現
函式的零點是函式圖象的乙個重要的特徵，同時也溝通了函式、方程、不等式以及演算法等內容，在分析解題思路、探求解題方法中起著重要的作用，因此要重視對函式零點的學習．下面就函式的零點判定中的幾個誤區進行剖析，希望對大家有所幫助．
1． 因＂望文生義＂而致誤
例１．函式的零點是 （ ）
錯解：ｃ
錯解剖析：錯誤的原因是沒有理解零點的概念，＂望文生義＂，認為零點就是乙個點．而函式的零點是乙個實數，即使成立的實數，也是函式的圖象與軸交點的橫座標．
正解：由得，＝１和２，所以選ｄ．
點撥：求函式的零點有兩個方法，⑴代數法：求方程的實數根，⑵幾何法：由公式不能直接求得，可以將它與函式的圖象聯絡起來，函式的圖象與軸交點的橫座標．
即使所求．
2． 因函式的圖象不連續而致誤
例２．函式的零點個數為 （ ）
錯解：因為，，所以，函式有乙個零點，選ｂ．
錯解剖析：分析函式的有關問題首先考慮定義域，其次考慮函式的圖象是不是連續的，這裡的函式影象是不連續的，所以不能用零點判定定理．
正解：函式的定義域為，當時，，當時，所以函式沒有零點．也可由得方程無實數解．
點撥：對函式零點個數的判定，可以利用零點存在性定理來判定，涉及多個零點的往往借助於函式的單調性．若函式在區間上的圖象是連續曲線，並且在區間端點的函式值符號相反，即,則在區間內，函式至少有乙個零點，即相應的方程在區間至少有乙個實數解．然而對於函式的，若滿足，則在區間內不一定有零點；反之，在區間內有零點也不一定有．前者是因為圖象不連續，後者是因為方程有重根．如下圖所示：
3． 因函式值同號而致誤
例３．判定函式在區間內是否有零點．
錯解：因為，所以，函式在區間內沒有零點．
錯解剖析：上述做法錯誤地用了函式零點判定定理，因為函式在區間上的函式影象是連續曲線，且，也可能在內有零點．如函式在區間上有，但在內有零點．
正解：當時，，函式在上的圖象與軸沒有交點，即函式在區間內沒有零點．
法二：由得，故函式在區間內沒有零點．
點撥：對有些函式，即使它的圖象是連續不斷的，當它通過零點時，函式值也不一定變號．如函式有零點１，（如上圖）但函式值沒變號．對函式零點的判定一定要抓住兩點：①函式在區間上的圖象是連續曲線，②在區間端點的函式值符號相反，即．
4． 因忽略區間端點而致誤
例４．已知二次函式在上有且只有乙個零點，求實數的取值範圍．
錯解：由函式的零點的性質得，即，解得．
所以實數的取值範圍為．
錯解剖析：錯解的原因是只注意到函式零點的應用，而忽略問題的其它形式：①在上有二重根；②終點的函式值可能為０．
正解：⑴當方程在上有兩個相等實根時， 且，此時無解．
⑵當方程有兩個不相等的實根時，
1 有且只有一根在上時，有，即，解得②當時，＝０，，解得，合題意．
③當時，，方程可化為，解得合題意．
綜上所述，實數的取值範圍為．
點撥：在求引數時，要注意將函式零點的特殊性質與函式的有關性質相結合，進行分類討論使複雜的問題簡單化．
本文已在《學苑新報》上發表
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