命題與證明
【直擊中考】
一、選擇題
1、（2011北京四中模擬7）有下面命題：(1)直角三角形的兩個銳角互餘；(2)鈍角三角形的兩個內角互補；(3)正方形的兩條對角線相等；(4)菱形的兩條對角線互相垂直。其中，正確的命題有（ ）
a. 1個b. 2個 c. 3個d. 4個
4. （2023年北京四中中考全真模擬16）下列命題中正確的是( )
a、因為2的平方是4，所以4的平方根是2;
b、因為-4的平方是16，所以16的負的平方根是-4;
c、因為任何數的平方都是正數，所以任何數的平方根都是正數.
d、任何數的算術平方根都是正數.
5. （2023年江蘇鹽城）下列命題中，錯誤的是
a.三角形兩邊之差小於第三邊
b.四邊形的外角和是360
c.正五邊形既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形
d.連線對角線互相垂直的四邊形各邊中點所得到的四邊形是矩形
6.(2011浙江杭州模擬14)下列命題中的真命題是( ).
a. 對角線互相垂直的四邊形是菱形 b. 中心對稱圖形都是軸對稱圖形
c. 兩條對角線相等的梯形是等腰梯形 d. 等腰梯形是中心對稱圖形
7.(2011浙江杭州模擬16)下列命題正確的有 ( )個
①400角為內角的兩個等腰三角形必相似
②若等腰三角形一腰上的高等於腰長的一半，則這個等腰三角形的底角為750
③一組對邊平行，另一組對邊相等的四邊形是平行四邊形
④乙個等腰直角三角形的三邊是a、b、c，（a>b=c），那麼a2∶b2∶c2=2∶1∶1
⑤若△abc的三邊a、b、c滿足a2+b2+c2+338=10a+24b+26c，則此△為等腰直角三角形。
a、1個 b、2個c、3個d、4個
8．（ 2023年杭州三月月考）已知下列命題：①若，則；②若，則；③直角三角形斜邊上的中線等於斜邊的一半。④菱形的對角線互相垂直．其中原命題與逆命題均為真命題的個數是（ ）
(a)4個 (b)3個 (c)2個 (d)1個
9．（2023年杭州市上城區一模）已知下列命題：①若，則；②若，則；③角平分線上的點到這個角的兩邊距離相等；④平行四邊形的對角線互相平分；⑤直角三角形斜邊上的中線等於斜邊的一半.其中原命題與逆命題均為真命題的是（ ）
abcd
三、解答題
1．（2023年上海市盧灣區初中畢業數學模擬試題） 已知：如圖，梯形中，∥，是的中點，，聯結、相交於點，.
（1）求證：；
（2）求證：四邊形是菱形.
2.（2011浙江杭州育才初中模擬）請寫出「全等三角形的對應角相等」的逆命題，判斷此逆命題的真假性，並給出證明.（原創）
3.（2011浙江慈吉模擬）已知命題：「如圖, 點a、d、b、e在同一條直線上, 且ad=be, ac∥df, 則⊿abc≌⊿def.
」這個命題是真命題還是假命題? 如果是真命題, 請給出證明; 如果是假命題, 請新增乙個適當的條件, 使它成為真命題, 並加以證明.
說明：本題除了上述新增方法外還可在以下情況任選一種：
c=∠f ②∠cba=∠e ③bc∥ef
4. （2011杭州上城區一模）已知四邊形abcd，e是cd上的一點，連線ae、be.
（1）給出四個條件: ① ae平分∠bad,② be平分∠abc, ③ ae⊥eb,④ ab=ad+bc.
請你以其中三個作為命題的條件,寫出乙個能推出ad∥bc的正確命題,並加以證明；
（2）請你判斷命題「ae平分∠bad,be平分∠abc,e是cd的中點,則ad∥bc」是否正確,並說明理由.
5．（2023年深圳二模） 如圖所示，矩形abcd中，點e在cb的延長線上，使ce＝ac，鏈結ae，點f是ae的中點，鏈結bf、df，求證：bf⊥df
6．（2023年深圳二模）在△abc中，ac＝bc，∠acb＝90°，d、e是直線ab上兩點．∠dce＝45°
（１）當ce⊥ab時，點d與點a重合，顯然de＝ad＋be（不必證明）
（２）如圖，當點d不與點a重合時，求證：de＝ad＋be
（３）當點d在ba的延長線上時，（２）中的結論是否成立？畫出圖形，說明理由．
7.（2011深圳市三模）（本小題滿分10分）
如圖，已知△abc，∠acb=90，ac=bc，點e、f在ab上，∠ecf=45，
（1）求證：△acf∽△bec（5分）
（2）設△abc的面積為s，求證：af·be=2s（3）
8、如圖1，在△abc中，∠abc的平分線bf與∠acb的平分線cf相交於點f，過點f作de∥bc，交直線ab於點d，交直線ac於點e，求證：bd＋ce＝de．
(2)如圖2，△abc的外角平分線bf、cf相交於點f，過點f作de∥bc，交直線ab於點d，交直線ac於點e，那麼bd、ce、de之間存在什麼關係?
(3)如圖3，∠abc的平分線bf與∠acb的外角平分線cf相交於點f，過點f作de∥bc，交直線ab於點d，交直線ac於點e，那麼bd、ce、df之間又存在什麼關係?根據(1)，(2)寫出你的猜想，並證明你的結論．
平行四邊形
【知識梳理】
一． 四邊形的相關概念和性質
（1）在同一平面內，由不在同一直線上的四條線段首尾順次相接組成的圖形叫做四邊形．四邊形用表示它的各頂點的字母來表示．
注意：表示四邊形必須按頂點的順序書寫，可按照順時針或逆時針的順序．如圖讀作「四邊形」 ．
（2）在四邊形中，鏈結不相鄰兩個頂點的線段叫做四邊形的對角線．
注意：①四邊形共有兩條對角線．
②鏈結四邊形的對角線也是一種常用的輔助線作法．
（3）四邊形的不穩定性：
三角形的三邊如果確定後，它的形狀、大小就確定了，這是三角形的穩定性．但是，四邊形四邊長確定後，它的形狀不能確定．這就是四邊形具有不穩定性，它在生產、生活方面有很多的應用。
（4）四邊形的內角和等於．
（5）四邊形的外角和等於．
注意：1、四邊形內角中最多有三個鈍角，四個直角，三個銳角；
2、四邊形外角中最多有三個鈍角、四個直角、三個銳角，最少沒有鈍角，沒有直角，沒有銳角；
3、四邊形內角與同乙個頂點的乙個外角互為鄰補角．
二．多邊形的概念和性質：
（1）邊形的內角和等於．
（2）任意多邊形的外角和等於。
（3）邊形共有條對角線．
（4）在平面內，內角都相等且邊都相等的多邊形叫做正多邊形。
（5）正多邊形的每個內角等於
三、平行四邊形
1．平行四邊形的性質
(1)平行四邊形的鄰角互補，對角相等．
(2)平行四邊形的對邊平行且相等．
(3)夾在兩條平行線間的平行線段相等．
(4)平行四邊形的對角線互相平分．
（5）中心對稱圖形，對稱中心是對角線的交點。
(6)若一直線過平行四邊形兩對角線的交點，則這直線被一組對邊截下的線段以對角線的交點為中點，且這條直線二等分四邊形的面積．
2．平行四邊形的判定
(1)定義：兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形．
(2)定理1：兩組對角分別相等的四邊形是平行四邊形．
(3)定理2：兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形．
(4)定理3：對角線互相平分的四邊形是平行四邊形．
(5)定理4：一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形．
3．兩條平行線的距離
兩條平行線中，一條直線上的任意一點到另一條直線的距離，叫做這兩條平行線的距離．平行線間的距離處處相等．
注意：(1)距離是指垂線段的長度，是正值．
(2)兩條平行線的位置確定後，它們的距離是定值，不隨垂線段位置改變．
(3)平行線間的距離處處相等，因此在作平行四邊形的高時，可根據需要靈活選擇位置．
4．平行四邊形的面積
（1）、如圖1，．
也就是底邊長×高(是平行四邊形任何一邊長，必須是邊與其對邊的距離)．
注意：這裡的底是相對高而言的，也就是高所在的邊，平行四邊形任一邊都可作底，底確定後，高也就確定了．
（2）、同底(等底)同高(等高)的平行四邊形面積相等。
如圖2，。
四．矩形
1．矩形的定義
2．矩形的性質：
(1)對邊平行且相等。
(2)矩形的四個角都是直角．
(3)矩形的對角線相等．
(4)矩形是軸對稱、中心對稱圖形．
(5) 矩形面積＝長×寬
(6) 矩形的周長
注：①利用矩形的性質可以證明線段相等或倍分、直線平行、角相等等．
3．矩形的判定
(1)定義：有乙個角是直角的平行四邊形是矩形．
(2)定理1：有三個角是直角的四邊形是矩形．
(3)定理2：對角線相等的平行四邊形是矩形．
注意：①用定義判定乙個四邊形是矩形必須同時滿足兩個條件：一是有乙個角是直角；二是平行四邊形．也就是說有一角是直角的四邊形，不一定是矩形，必須加上平行四邊形這個條件，它才是矩形．
②用定理2證明乙個四邊形是矩形，也必須滿足兩個條件：一是對角線相等；二是平行四邊形．也就說明：兩條對角線相等的四邊形不一定是矩形，必須加上平行四邊形這個條件，它才是矩形．
五．菱形
1．定義：有一組鄰邊相等的平行四邊形叫做菱形．
注意：菱形必須滿足兩個條件：一是平行四邊形；二是一組鄰邊相等．
2．菱形的性質
(1)具有平行四邊形的一切性質．
(2)菱形的四條邊都相等．
(3)菱形的對角線互相垂直，並且每一條對角線平分一組對角．
(4)菱形是軸對稱、中心對稱圖形．
(5) 菱形面積＝底×高＝對角線乘積的一半．
(6)菱形的周長
(7) 菱形的計算轉化為三角形
3．菱形的判定
(1)定義：有一組鄰邊相等的平行四邊形叫做菱形．
(2)定理1：四邊都相等的四邊形是菱形．
(3)定理2：對角線互相垂直的平行四邊形是菱形．
注意：①對角線互相垂直的四邊形不一定是菱形，必須加上平行四邊形這個條件它才是菱形．
②利用菱形的性質及判定可以證明線段相等及倍分、角相等及倍分、直線平行、垂直，以及證明乙個四邊形是菱形和有關計算．
平行四邊形 證明
一 選擇題 1.2012 四川省廣元市 若以a 0.5，0 b 2，0 c 0，1 三點為頂點要畫平行四邊形，則第四個頂點不可能在 a.第一象限 b.第二象限 c.第三象限 d.第四象限 2.2012 四川省巴中市 不能判定乙個四邊形是平行四邊形的條件是 a.兩組對邊分別平行 b.一組對邊平行，另一...
平行四邊形與特殊的平行四邊形
平行四邊形的性質與判定 一 總結平行四邊形的性質與判定原理 問題1 我們學習平行四邊形的性質是從哪幾個方面來研究的？從 邊 角 線 三個方面，其中 線 指的是對角線。問題2 判定乙個四邊形是平行四邊形必須有幾個條件？必須具備兩個條件 注意判定原理5 對角線互相平分 也是兩個等量。二 總結與平行四邊形...
平行四邊形及特殊平行四邊形
一 平行四邊形 知識梳理 1 掌握平行四邊形的概念和性質 2 四邊形的不穩定性 3 掌握平行四邊形有關性質和四邊形是平行四邊形的條件 4 能用平行四邊形的相關性質和判定進行簡單的邏輯推理證明 例題精講 例題1.下列命題中錯誤的是 a 兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形 b 對角線相等的平行四邊形是...