二次函式y=ax2＋bx＋c與ax2＋bx＋c =0（a≠0）的關係
1、 一元二次方程ax2＋bx＋c =0（a≠0）的根是二次函式y=ax2＋bx＋c（a≠0）與x軸交點的橫座標，反之y=ax2＋bx＋c（a≠0）與x軸交點的橫座標是一元二次方程ax2＋bx＋c =0（a≠0）的根；
2、 一元二次方程ax2＋bx＋c =0（a≠0）根情況的判別即二次函式y=ax2＋bx＋c（a≠0）與x軸交點個數情況：①判別式②直接看方程③平移
例1：拋物線y=ax2＋bx＋c影象如下， 則
① ax2＋bx＋c =0的根有 （ ）個
②ax2＋bx＋c+3＝0的根有（ ）個
③ax2＋bx＋c－4＝0的根有（ ）個
x例2：若關於x的不等式組無解，則二次函式y=（a-2）x2-x＋與x
x 軸交點有（ ）個；
例3：一元二次方程與x軸的交點個數為（ ）個；
例4：二次函式y=ax2＋bx＋c（a≠0）的影象如圖所示，根據影象解答下列問題：
（1） 寫出方程ax2＋bx＋c =0的兩個根；
（2） 寫出不等式ax2＋bx＋c >0的解集；
（3） 寫出y隨x的增大而減小的自變數x的取值範值；
（4） 若方程ax2＋bx＋c =k有兩個不相等的實數根，求k的取什範圍
3、 韋達定理在二次函式y=ax2＋bx＋c（a≠0）中的應用（）
1 已知其中乙個交點，求另乙個交點：
例5：若拋物線與x軸的乙個交點是（－2，0）則另乙個交點是（ ）；
2 求兩交點a,b線段的長度
例6：若拋物線與x軸的交點為a，b，且ab的長度為10，求a
3 利用韋達定理求面積：
例7：拋物線與x軸的乙個交點是a(3，0），另乙個交點是b，且與y軸交於點c，
（1）求m的值；
（2）求點b的座標；
（3）該二次函式圖象上有一點d（x，y）（其中x>0，y>0），使，求點d的座標。
例5：已知如圖，二次函式與x軸於a,b兩點，若oa:ob=3:1，求m
例6：已知二次函式的影象交x軸於a(，0)、b（，0）兩點，交y軸正半軸於點c，且。
（1） 求此二次函式的解析式； （）
（2） 是否存在過點d(0，)的直線與拋物線交於點m、n,與x軸交於e點，使得m、n關於點e對稱？若存在，求直線mn的解析式；若不存在，請說明理由。
4、 拋物線ax2＋bx＋c =0與x軸交點及對稱軸之間的關係；
設拋物線與x軸的交點為a(，0)和b（，0）則對稱軸為直線，拋物線任縱座標相等的兩點關於對稱軸對稱，即若有，則則對稱軸為直線。
例10：已知二次函式的部分影象如圖所示，則關於x的一元二次方程的解是（ ）
a．①②③④ b ．②③④ c．①②④ d．①②③
解析：解：①∵二次函式y=ax2+bx+c（a＞0）經過點m（-1，2）和點n（1，-2），
∴解得b=-2． 故該選項正確．
②方法一：∵二次函式y=ax2+bx+c，a＞0
∴該二次函式圖象開口向上
∵點m（-1，2）和點n（1，-2），
∴直線mn的解析式為y=-2x，
根據拋物線的圖象的特點必然是當-1＜x＜1時，二次函式圖象在y=-2x的下方，
∴該二次函式圖象與y軸交於負半軸；
方法二：由①可得b=-2，a+c=0，即c=-a＜0，
所以二次函式圖象與y軸交於負半軸．
故該選項正確．
③根據拋物線圖象的特點，m、a、c三點不可能在同一條直線上．
故該選項錯誤．
④當a=1時，c=-1，∴該拋物線的解析式為y=x2-2x-1
當y=0時，0=x2-2x+c，利用根與係數的關係可得 x1x2=c，
即oaob=|c|，
當x=0時，y=c，即oc=|c|=1=oc2，
∴若a=1，則oaob=oc2，
故該選項正確． 總上所述①②④正確． 故選c．
7. 如圖，在平面直角座標系xoy中，一次函式y1=kx+b（k≠0）與反比例函式y2＝m/x(m＜0)交於a（-2，n）及另一點b，與兩座標軸分別交於點c、d．過a作ah⊥x軸於h，若oc=2oh，且△ach的面積為9．
（1）求一次函式與反比例函式的解析式及另一交點b的座標；
（2）根據函式圖象，直接寫出當y1＞y2時自變數x的取值範圍．
解析：（1）∵a（-2，n），
∴oh=2，
∴oc=2oh=4，
∴ch=2+4=6，
∴s△ach＝ch|ya|＝×6n＝9n=3，（2分）
∴a（-2，3），c（4，0），
∵一次函式圖象過點a（-2，3），c（4，0），
∴∴y1＝x+2．（4分）
∵3＝，
∴m=-6
∴y2＝，
∴b（6，-1）；（8分）
（2）x＜-2或0＜x＜6（10分）
(1)因為△＝a＊2-4(a-2)=(a-2)＊2+4＞0，（即y=0時，方程x^2+ax+a-2＝0有兩個不同的實數根），故y=x^2+ax+a-2與x軸有兩個不同交點。
（2）令交點座標為（x1,0)、(x2,0),且：x2＞x1，故：交點距離＝x2-x1
又x1、x2可以看作是方程x^2+ax+a-2＝0的兩個不同實數根，故：
x1+x2=-a
x1x2=a-2
故：（x2-x1）^2＝（x1+x2）^2－4x1x2＝a＊2-4(a-2)=a＊2-4a+8
故：交點距離＝√(a＊2-4a+8)
二次函式與一元二次方程
二次函式與方程1 主備上課日期 月 日 學習目標 1.會用影象法求一元二次方程的近似根，獲得用影象法求方程近似根的體驗 2 理解並掌握二次函式的影象和橫軸交點的個數與一元二次方程的根的個數之間的關係。3培養學生自主探索，合作交流，共同解決問題的良好品質。學習過程 一 情境匯入 自主學習節頭引例 小球...
二次函式與一元二次方程學案
學習目標 1 體會二次函式與一元二次方程之間的聯絡 2 理解二次函式的圖象與x軸交點的個數與一元二次方程的根的個數之間的關係。學習重點 把握二次函式圖象與x軸 或y h 交點的個數與一元二次方程的根的關係。學習難點 應用一元二次方程根的判別式 求根公式對二次函式及其圖象進行進一步的理解，並結合二次函...
22 2 1 二次函式與一元二次方程
22.2二次函式與一元二次方程 一 班級姓名 一 單元匯入明確目標 1.理解二次函式與方程之間的聯絡。2.掌握二次函式圖象與x軸交點的個數與一元二次方程的根的個數之間的關係，3.會用二次函式的圖象求一元二次方程的近似根.知識鏈結 1.直線與軸交於點 與軸交於點 2.一元二次方程，當 時，方程有兩個不...