第五講導數與積分
第一部分相關知識
一．函式導數
1.1．函式導數的意義：①幾何意義：函式在點處的導數為曲線在點處的切線斜率；②物理意義：在處的導數為質點在時刻處的瞬時速度，即；在處的導數為質點在時刻處的瞬時加速度，即.
1.2．導數與函式的性質
已知函式，，
(1)→在上單調遞增，→在上單調遞減，→是常數函式.
(2)在上單調遞增→，在上單調遞減→.
1.3．導數與極值
(1)極值的必要條件：函式在處可導，且在處取得極值，則，反之不一定成立.
(2)極值的第一充分條件：函式在的領域內可導，①當時，當時，則在處取得極小值；②當時，當時，則在處取得極大值.
極值的第二充分條件：函式在的領域內一階可導，在處二階可導，且，，則在處取得極值；①若，則在處取得極小值；②若，則在處取得極大值.
1.4．曲線的凸性的充分條件
(1)函式凸性的定義：在上有意義，對任意的(…，)，都存在(…，)且，使：①成立，則稱在上是嚴格上凸的；②成立，則稱在上是嚴格下凸的；
(2)在開區間上二階可導，若，則曲線在上時下凸的；若，則曲線在上時上凸的；通常稱上凸函式為凸函式，下凸函式為凹函式.
(3)三次函式滿足，則點是其對稱點（這個結論解答題中不能直接使用）.
1.5．roll定理
函式在區間上連續，在上可導，若，則必存在，使成立.
1.6．lagrange中值定理
函式在區間上連續，在上可導，則必存在，使成立.
二．定積分
第二部分相關習題
1.(2011復旦)設為正數，若函式在區間上大於0，則的取值範圍是( )
abcd.
2.(2006武大)若定義在上的函式()的單調遞增區間為，則實數、、的大小關係為( )
abcd.
3.(2001上海交大)已知在處可導，則
4.(2011卓越聯盟)(1)已知函式，求；
(2)設，求常數使得的最小值；
(3)設(2)中的最小值為，證明：.
5.(2012清華保送)已知，，.
(1)求證：恆成立；
(2)求的單調區間；
(3)證明：數列為遞減數列，且.
6.(2011華約)已知，過點的直線與該函式的影象相切，且點不是切點，求該直線的方程.
7.(2010武大)已知是定義在區間上的可導函式，滿足，且.
(1)討論函式的單調性；
(2)設，比較函式與的大小.
8.(2010五校聯考)已知函式，過點作與軸平行的直線與函式的影象交於點，過作的切線交軸於點，求的面積的最小值.
9.(2007武大)已知函式.
(1)若函式的導函式在上時增函式，求實數的最大值；
(2)求證：…，.
10.已知函式.
(1)求函式的最小值；
(2)若，求證：.
11.已知函式，.
(1)若函式在其定義域內為單調函式，求的取值範圍；
(2)若函式的影象在處的切線斜率為0，且，已知，求證：；
(3)在(2)的條件下，試比較與的大小，並說明理由.
12.已知二次函式，直線：為常數），：，若直線、與函式的影象以及、軸與函式的影象所圍成的封閉圖形如陰影所示.
(1)求、、的值；
(2)求陰影部分面積關於的函式的解析式；
(3)若，問是否存在實數，使得的影象與的影象有且只有兩個不同的交點？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由.
13.設三次函式在處取得極值，且影象在處的切線斜率為.
(1)求證：；
(2)若函式在區間上單調遞增，求的取值範圍；
(3)是否存在實數（是與、、、無關的常數），當時，恆有恆成立？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由.
14. 已知函式．
（1）若在上恆成立，求取值範圍；
（2）證明：（）．
15.已知函式，正項數列的第一項，以後各項按如下方式取定：曲線在點處的切線與經過點和點兩點的直線平行.求證：當時，
(1)；
(2) .
16.已知函式．
(1)若曲線在點處的切線與直線垂直，求的值；
(2)若在區間單調遞增，求的取值範圍；
(3)若，證明：對任意,都有成立.
17. 已知函式，.
(1)若對任意的，都有成立，求實數的取值範圍；
(2)若對任意的、，都有成立，求實數的取值範圍；
(3)若對任意的，存在，使成立，求實數的取值範圍；
(4)若對任意的，存在，使成立，求實數的取值範圍.
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