2013 年自主招生專題第三講：函式與方程（學生）
第一部分概述
函式是自主招生的乙個非常重要內容！
就近幾年來，本人作了乙個統計，復旦和交大自主招生中有關函式的內容大約佔20%—30%。
其中，熱點問題是：方程的根的問題、函式的最值問題（
值域）、函式的性質（如週期、有界性等）、函式的迭代、
簡單的函式方程、方程的不動點問題、 函式的影象及解析式等。而其中特別提醒同學們注意的是，方程的根的問題是考得最多的乙個問題。
第二部分：知識補充：
一．函式零點的定義：
對於函式y=f(x),我們把使f(x)=0的實數x叫做函式y=f(x)的零點。
結論：如果函式y=f(x)在區間[a,b]上的圖象是連續
不斷的一條曲線，並且有f(a)·f(b)<0，那麼，函
數y=f(x)在區間(a,b) 內有零點，即存在c∈(a,b)，使得f(c)=0，這個c也就是方程f(x)=0的根。
函式y=f(x)零點的判斷方法：
1、方程法：解方程f(x)=0，得函式y=f(x)的零點。
2、圖象法：畫出函式y=f(x)的圖象，其圖象與x軸交點的橫座標就是y=f(x)的零點。
3、定理法：函式在區間[a,b]上圖象是一條連續不斷的曲線，並且有f(a) ·f(b)<0。
例1： 若函式f(x)=x2+(k-2)x+2k-1的兩個零點中，乙個在0和1之間，另乙個在1和2之間，求k的取值範圍。
二．反函式的反解：y=f(x+1)的反函式
三． 函式的對稱性
定理1：如果函式y= f（x）（x∈r）滿足f（a+x）= f（b－x），那麼y= f（x）的影象關於直線的對稱。
定理2.若函式y=f (x) 定義域為r，則函式y=f (a+x) 與y=f (b－x)兩函式的圖象關於直線x=對稱。
定理3.函式 y = f (x)的影象關於點a (a ,b)對稱的充要條件是
f (x) + f (2a－x) = 2b
四． 函式的週期性
抽象函式週期————「六部曲」
**一. t=a（周一）
定義：設函式y=f(x)的定義域為d，若存在常數a≠0，使得對一切x∈d，且x+a∈d時都有f(x+a)=f(x)，則稱y=f(x)為d上的週期函式，非零常數a叫這個函式的週期。
**二. t=2a（周二）
若函式y=f(x)滿足或或,則的週期t=2a；（a俗稱半週期）
例。若函式y=f(x)滿足f(x+2)=－f(x),則f(x)週期為————————。t=4
**三：t=3a（週三）
若函式y=f(x)滿足，則的週期t=3a；
證明：**四: t=4a（周四）
若函式y=f(x)對任意實數,都有f(x＋a)＝,則4a是f(x)的乙個週期.
證明：**五：t=5a（周五）
若函式y=f(x)滿足f(x)+f(x+a)+ +f(x+2a)f(x+3a) +f(x+4a) =f(x)f(x+a)f(x+2a)f(x+3a)f(x+4a),則的週期t=5a；
**六：t=6a（週六）
若函式y=f(x)滿足，則的週期t=6a.
證明：五．三次方程的韋達定理
推廣到一元n次方程的韋達定理：
第三部分：典型例題
例1：定義在r上的函式滿足：為偶函式，且，則為（ ）
a．奇函式且週期函式b．奇函式且非週期函式a．偶函式且週期函式a．偶函式且非週期函式
答案：a
例2.求函式y = |x + 2 |+ |x -1| + |x| 的遞增區間
這道題，只要利用絕對值的幾何意義，畫數軸就能輕鬆得出答案
例3.求關於x的方程的實根的個數
這道題，先將原方程變形為，然後還是利用絕對值的幾何
意義，即可得出原方程根的個數為0。
例4.(2023年北京大學)設函式,求.
答案:660
例5.(2023年復旦大學)設是的三個根,則行列式= .
答案:0
例6.(2023年上海交大)已知函式,且沒有實根,試判斷是否有實根?說明理由.
答案:沒有
例7.. let n=.determine all functions n→n,such that for all and in n （note:
the answer can be in chinese.）
原題：設n=，求所有的n→n，使得對任意，均有
提示：設有，
則即，因為
易得：例8.若，則|x|-|y|的最小值是
解： 由對稱性只考慮y≥0，因為x>0，所以只須求x y的最小值。
令x y=u代入x2 4y2=4中有3y2 2uy+(4 u2)=0
∵y∈r
∴⊿≥0
∴當時，u=，故|x| |y|的最小值是
例9. 已知函式，則f(x)的最小值為 。
解：實際上，設，則g(x)≥0，g(x)在上是增函式，在上是減函式，且y=g(x)的影象關於直線對稱，則對任意，存在，使g(x2)=g(x1)。於是
，而f(x)在上是減函式，所以，即f(x)在上的最小值是。
例10．方程(x2006＋1)(1＋x2＋x4＋…＋x2004)＝2006x2005的實數解的個數為
解：(x2006＋1)(1＋x2＋x4＋…＋x2004)＝2006x2005(x＋)(1＋x2＋x4＋…＋x2004)＝2006
x＋x3＋x5＋…＋x2005＋＋＋＋…＋＝2006，故x＞0，否則左邊＜0．
2006＝x＋＋x3＋＋…＋x2005＋≥2×1003＝2006．
等號當且僅當x＝1時成立．
所以x＝1是原方程的全部解．因此原方程的實數解個數為1．
例11.若關於的方程有四個不同的實數解,則的取值範圍為( 3 )
a. b. c. d.
例12、已知的4個根組成首項為的等差數列，求.
例13, 1. （2007北大）解方程組
例14.已知函式， 。 令
（1）求數列的通項公式
（2）證明：
解：由得
（2）當時，，因此，即故
(i)先求出，猜想。用數學歸納法證明。當n = 1顯然成立；假設n = k顯然成立，即，則，得證。
(ii) 我們證明。事實上，
。我們注意到
，於是例15.設.
(1)求;
(2)設求常數,使得取得最小值;
(3)記(2)中的最小值為,證明.
15.(1);
(2)若則顯然,當取最小;
若則當取最小.
故由(1)知
所以,記則令,得
即時,取最小值.
(3)將代入式右邊,
等價於由於時,所以下面只須證明即可.
又令,則,注意到函式是單調遞增的,且
所以.得證.
第四部分：鞏固練習
1.（2023年復旦）設是定義在實數集上的週期為的週期函式，且是偶函式. 已知當時，，則當時，的解析式為
2. (2023年復旦) 函式的最值為
3.（2023年復旦）已知函式的定義域為，則函式在時的定義域為 .
4.（2002上海交大保送生）若，則 .
5. （2010華科）記函式的反函式為，已知，則 .
6.（2011華約）已知，點，切線過而切點不是，則該切線斜率為 .
7. （2002上海交大保送生）函式在上單調遞增，則實數的取值範圍是 .
8. （2023年清華保送），則 .
9. （2008上海交大）函式的最大值為 .
10. （2000上海交大保送生）設的原函式是，則 .
11. （2012北約）求函式的遞增區間 .
12.（2007北大）已知函式，求 .
13.（2004上海交大）已知，對於一切正整數，都有，且，求 .
14.（2001上海交大）已知函式，的最小值為，試寫出的解析式 .
15.（2004同濟）試求的最大值與最小值
16.（2004復旦）若存在，使任意（為函式的定義域），都有，則稱函式有界. 問函式在上是否有界
17.（2006復旦）設函式對於一切實數均滿足，且方程恰好有6個不同的實根，則這6個實根的和為
18.（2006復旦）方程的實根的個數為
19.（2008復旦）設是方程的三個根，則行列式
20.（2004復旦），則 .
21. （2002上海交大）方程，，則方程有個實數解
22.（2005復旦）定義在上的函式滿足，則 .
23.（2003復旦）解方程，得 .
24.（2000上海交大）方程的解 .
25. （2000上海交大）方程的兩根分別在區間和內，則的取值範圍 .
26. (2023年卓越聯盟)若關於的方程有四個不同的實數解，則的取值範圍為 .
27.（2011北大）過上兩點的切線互相垂直，求實數 .
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