第三講矩陣
二. 矩陣方程和可逆矩陣(伴隨矩陣)
1． 兩種基本矩陣方程
在等式ab=c中,如果已知c及a,b中的乙個,求另乙個. 就提出下面兩種基本形式的矩陣方程:
這裡要求a是行列式不為0的n階矩陣,這樣可使得這兩個方程的解都是存在並且唯一的.
先討論().
設是矩陣，則也是矩陣.
如果 ,即只有一列,則()就是乙個線性方程組.由克萊姆法則知它有唯一解.此接可以用初等變換法求出:.
如果，設
則 .即
這是個線性方程組.由克萊姆法則,它們都有唯一解,從而有唯一解.
這些方程組係數矩陣都是,可同時求解:
即得()的解法:
將和並列作矩陣 ,對它作初等行變換,使得變為單位矩陣,此時變為解 .
例,.求的解
()的解法:對兩邊轉置化為()的形式:.再用解()的方法求出,轉置得..
2023年的乙個題中,求3階矩陣 , 滿足
, ,.
解:建立矩陣方程
2. 可逆矩陣
(1) 定義
用乘等式兩邊.
如果有,使得
如果有,使得
定義設是階矩陣,如果存在階矩陣,使得則稱為可逆矩陣.
此時是唯一的,稱為的逆矩陣,通常記作.
如果可逆,則在乘法中有消去律:
(左消去律)；. (右消去律)
如果可逆,則在乘法中可移動(化為逆矩陣移到等號另一邊):
. .
由此得到基本矩陣方程的逆矩陣解法:
()的解的解.
這種解法想法自然，好記憶,但是計算量比初等變換法大(多了一次矩陣乘積運算).
(2) 矩陣可逆性的判別,逆矩陣的計算
定理階矩陣可逆 .
證明 「」對兩邊取行列式,得 |,從而 . (並且)
「」定義中的是矩陣方程和的公共解.
因為,矩陣方程和都有唯一解.設
分別是它們的解,即. 於是:,從定義得到可逆.
是唯一的,因為它是解.
計算的初等變換法: 解矩陣方程 ,
.應用: 對角矩陣可逆對角線上元素都不為0.其逆矩陣也是對角矩陣,只用把每個對角線元素變為倒數.
初等矩陣都是可逆矩陣,並且
， 推論如果和都是階矩陣,則 .
即只要 (或 )中的乙個式子成立,則和都可逆並且互為逆矩陣.
2023年的考題: ,時可逆.
.例 4個階矩陣和滿足,求和.
,於是例31設都是階矩陣,滿足,則為
(a) .(b). (c). (d). (2023年數學四)
化為即與互為逆矩陣化為 , 用右乘得
如果和是兩個可逆階矩,則分塊矩陣
和都可逆，並且
(3)可逆矩陣的性質:
如果可逆,則,和都可逆,並且
已經規定的矩陣的右肩膀有3種:t,k,-1,它們兩兩可交換先後次序.
對於兩個階矩和 ,
和都可逆可逆,並且 . .
3.伴隨矩陣
若是階矩陣,記是的位元素的代數
余子式,規定的伴隨矩陣為
lr 例如對2階矩陣
基本公式: ..
於是對於可逆矩陣 ,有
. 因此可通過求來計算.這就是求逆矩陣的伴隨矩陣法.
和初等變換法比較, 伴隨矩陣法的計算量要大得多,除非n=2,一般不用它來求逆矩陣.
即意義:用逆矩陣來求伴隨矩陣.
可逆時還有
.伴隨矩陣的其它性質:
如果是可逆矩陣，則也可逆，並且.
;的證明:對兩邊求行列式,得
的證明:
例21 設是階可逆矩陣, 交換的行得到.
(1) 證明可逆.
(1)(2) 求.
例22 設是3階矩陣,將的第2行加到第1行上得,將的第1列的-1倍加到第2列上得 .記
例20 設是3階可逆矩陣,交換的1,2行得,則
(a) 交換的1,2行得到. (b) 交換的1,2列得到.
(c) 交換的1,2行得到.
(d) 交換的1,2列得到.
(2023年)
例18 設和都是n階矩陣, ,則
不妨設都可逆
2009題
設和都是2階矩陣,, .則
( 2023年的考題)
解: 先求
例16 設是n階非零實矩陣,滿足 . 證明:
如果則解：條件,即
即（1）
又因為 , 即有非零元素，
則(2) 得因為
是正整數，得
例17 設矩陣滿足 , 為3個相等的正數,則它們為
(2023年數學三)設則
又得例8 3維向量滿足
,已知,求.
解：例9設是3階矩陣,是3維列向量,使得可逆,並且.又3階矩陣滿足a=pbp-1.
(1)求.(2)求.(01一)
解：即則
例10 3階矩陣滿足,其中 ,求.(04一)
解：例11 設3階矩陣, ,求.
解：得例12 設3階矩陣, ,求.
解：例13 4階矩陣滿足,已知
求. (00一)
解：得例14
已知,,,求.解：
用解矩陣方程求
例26 設3階矩陣滿足.
(1) 證明可逆.
(2) 設,求. (91)解：令
即可逆例27 設是3階矩陣,可逆,它們滿足.
(1) 證明可逆.
(2) 設 ,求.
2002)
可逆解：即
由可逆得可逆
例28 設n階矩陣滿足.其中,證明
(1)和都可逆.
(2) 可逆可逆.
(3)解：(1)令
都可逆或者直接把和相乘
(2)(3)
例29 設都是n階對稱矩陣,可逆,證明也是對稱矩陣.
證：驗證
即要證明
例30 設都是n階矩陣使得可逆,證明
(1) 如果,則.
(2) 如果都可逆,則.
(3) 等式總成立.
(1)思路：兩側是的不同順序的，且有證明
(2) 兩邊求逆
左邊求逆
右邊求逆
例32 設都是n階矩陣,並且是可逆矩陣.證明:矩陣方程和的解相同.
的解為的解為同解即
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