線性代數知識點框架（一）
線性代數的學習切入點：線性方程組。換言之，可以把線性代數看作是在研究線性方程組這一物件的過程中建立起來的學科。
線性方程組的特點：方程是未知數的一次齊次式，方程組的數目s和未知數的個數n可以相同，也可以不同。
關於線性方程組的解，有三個問題值得討論：（1）、方程組是否有解，即解的存在性問題；（2）、方程組如何求解，有多少個解；（3）、方程組有不止乙個解時，這些不同的解之間有無內在聯絡，即解的結構問題。
高斯消元法，最基礎和最直接的求解線性方程組的方法，其中涉及到三種對方程的同解變換：（1）、把某個方程的k倍加到另外乙個方程上去；（2）、交換某兩個方程的位置；（3）、用某個常數k乘以某個方程。我們把這三種變換統稱為線性方程組的初等變換。
任意的線性方程組都可以通過初等變換化為階梯形方程組。
由具體例子可看出，化為階梯形方程組後，就可以依次解出每個未知數的值，從而求得方程組的解。
對方程組的解起決定性作用的是未知數的係數及其相對位置，所以可以把方程組的所有係數及常數項按原來的位置提取出來，形成一張表，通過研究這張表，就可以判斷解的情況。我們把這樣一張由若干個數按某種方式構成的表稱為矩陣。
可以用矩陣的形式來表示乙個線性方程組，這至少在書寫和表達上都更加簡潔。
係數矩陣和增廣矩陣。
高斯消元法中對線性方程組的初等變換，就對應的是矩陣的初等行變換。階梯形方程組，對應的是階梯形矩陣。換言之，任意的線性方程組，都可以通過對其增廣矩陣做初等行變換化為階梯形矩陣，求得解。
階梯形矩陣的特點：左下方的元素全為零，每一行的第乙個不為零的元素稱為該行的主元。
對不同的線性方程組的具體求解結果進行歸納總結（有唯一解、無解、有無窮多解），再經過嚴格證明，可得到關於線性方程組解的判別定理：首先是通過初等變換將方程組化為階梯形，若得到的階梯形方程組中出現0=d這一項，則方程組無解，若未出現0=d一項，則方程組有解；在方程組有解的情況下，若階梯形的非零行數目r等於未知量數目n，方程組有唯一解，若r在利用初等變換得到階梯型後，還可進一步得到最簡形，使用最簡形，最簡形的特點是主元上方的元素也全為零，這對於求解未知量的值更加方便，但代價是之前需要經過更多的初等變換。在求解過程中，選擇階梯形還是最簡形，取決於個人習慣。
常數項全為零的線性方程稱為齊次方程組，齊次方程組必有零解。
齊次方程組的方程組個數若小於未知量個數，則方程組一定有非零解。
利用高斯消元法和解的判別定理，以及能夠回答前述的基本問題（1）解的存在性問題和（2）如何求解的問題，這是以線性方程組為出發點建立起來的最基本理論。
對於n個方程n個未知數的特殊情形，我們發現可以利用係數的某種組合來表示其解，這種按特定規則表示的係數組合稱為乙個線性方程組（或矩陣）的行列式。行列式的特點：有n!
項，每項的符號由角標排列的逆序數決定，是乙個數。
通過對行列式進行研究，得到了行列式具有的一些性質（如交換某兩行其值反號、有兩行對應成比例其值為零、可按行展開等等），這些性質都有助於我們更方便的計算行列式。
用係數行列式可以判斷n個方程的n元線性方程組的解的情況，這就是克萊姆法則。
總而言之，可把行列式看作是為了研究方程數目與未知量數目相等的特殊情形時引出的一部分內容。
線性代數知識點框架（二）
在利用高斯消元法求解線性方程組的過程中，涉及到一種重要的運算，即把某一行的倍數加到另一行上，也就是說，為了研究從線性方程組的係數和常數項判斷它有沒有解，有多少解的問題，需要定義這樣的運算，這提示我們可以把問題轉為直接研究這種對n元有序陣列的數量乘法和加法運算。
數域上的n元有序陣列稱為n維向量。設向量a=(a1,a2,...,an)，稱ai是a的第i個分量。
n元有序陣列寫成一行，稱為行向量，同時它也可以寫為一列，稱為列向量。要注意的是，行向量和列向量沒有本質區別，只是元素的寫法不同。
矩陣與向量通過行向量組和列向量組相聯絡。
對給定的向量組，可以定義它的乙個線性組合。線性表出定義的是乙個向量和另外一組向量之間的相互關係。
利用矩陣的列向量組，我們可以把乙個線性方程組有沒有解的問題轉化為乙個向量能否由另外一組向量線性表出的問題。同時要注意這個結論的雙向作用。
從簡單例子（如幾何空間中的三個向量）可以看到，如果乙個向量a1能由另外兩個向量a2、a3線性表出，則這三個向量共面，反之則不共面。為了研究向量個數更多時的類似情況，我們把上述兩種對向量組的描述進行推廣，便可得到線性相關和線性無關的定義。
通過一些簡單例子體會線性相關和線性無關（零向量一定線性無關、單個非零向量線性無關、單位向量組線性無關等等）。
從多個角度（線性組合角度、線性表出角度、齊次線性方程組角度）體會線性相關和線性無關的本質。
部分組線性相關，整個向量組線性相關。向量組線性無關，延伸組線性無關。
回到線性方程組的解的問題，即乙個向量b在什麼情況下能由另乙個向量組a1,a2,...,an線性表出？如果這個向量組本身是線性無關的，可通過分析立即得到答案：
b, a1, a2, ..., an線性相關。如果這個向量組本身是線性相關的，則需進一步**。
任意乙個向量組，都可以通過依次減少這個向量組中向量的個數找到它的乙個部分組，這個部分組的特點是：本身線性無關，從向量組的其餘向量中任取乙個進去，得到的新的向量組都線性相關，我們把這種部分組稱作乙個向量組的極大線性無關組。
如果乙個向量組a中的每個向量都能被另乙個向量組b線性表出，則稱a能被b線性表出。如果a和b能互相線性表出，稱a和b等價。
乙個向量組可能又不止乙個極大線性無關組，但可以確定的是，向量組和它的極大線性無關組等價，同時由等價的傳遞性可知，任意兩個極大線性無關組等價。
注意到乙個重要事實：乙個線性無關的向量組不能被個數比它更少的向量組線性表出。這是不難理解的，例如不共面的三個向量（對應線性無關）的確不可能由平面內的兩個向量組成的向量組線性表出。
乙個向量組的任意兩個極大線性無關組所含的向量個數相等，我們將這個數目r稱為向量組的秩。
向量線性無關的充分必要條件是它的秩等於它所含向量的數目。等價的向量組有相同的秩。
有了秩的概念以後，我們可以把線性相關的向量組用它的極大線性無關組來替換掉，從而得到線性方程組的有解的充分必要條件：若係數矩陣的列向量組的秩和增廣矩陣的列向量組的秩相等，則有解，若不等，則無解。
向量組的秩是乙個自然數，由這個自然數就可以判斷向量組是線性相關還是線性無關，由此可見，秩是乙個非常深刻而重要的概念，故有必要進一步研究向量組的秩的計算方法。
線性代數知識點框架（三）
為了求向量組的秩，我們來考慮矩陣。矩陣的列向量組的秩稱為矩陣的列秩，行向量組的秩稱為行秩。
對階梯形矩陣進行考察，發現階梯形矩陣的行秩等於列秩，並且都等於階梯形的非零行的數目，並且主元所在的列構成列向量組的乙個極大線性無關組。
矩陣的初等行變換不會改變矩陣的行秩，也不會改變矩陣的列秩。
任取乙個矩陣a，通過初等行變換將其化成階梯形j，則有：a的行秩=j的行秩=j的列秩=a的列秩，即對任意乙個矩陣來說，其行秩和列秩相等，我們統稱為矩陣的秩。
通過初等行變換化矩陣為階梯形，即是一種求矩陣列向量組的極大線性無關組的方法。
考慮到a的行秩和a的轉置的列秩的等同性，則初等列變換也不會改變矩陣的秩。總而言之，初等變換不會改變矩陣的秩。因此如果只需要求矩陣a的秩，而不需要求a的列向量組的極大無關組時，可以對a既作初等行變換，又作初等列變換，這會給計算帶來方便。
矩陣的秩，同時又可定義為不為零的子式的最高端數。
滿秩矩陣的行列式不等於零。非滿秩矩陣的行列式必為零。
既然矩陣的秩和矩陣的列秩相同，則可以把線性方程組有解的充分必要條件更加簡單的表達如下：係數矩陣的秩等於增廣矩陣的秩。另外，有唯一解和有無窮多解的條件也可從秩的角度給出回答：
係數矩陣的秩r等於未知量數目n，有唯一解，r齊次線性方程組的解的結構問題，可以用基礎解系來表示。當齊次線性方程組有非零解時，基礎解系所含向量個數等於n-r，用基礎解系表示的方程組的解的集合稱為通解。
通過對具體例項進行分析，可以看到求基礎解系的方法還是在於用初等行變換化階梯形。
非齊次線性方程組的解的結構，是由對應的齊次通解加上乙個特解。
線性代數知識點框架（四）
在之前研究線性方程組的解的過程當中，注意到矩陣及其秩有著重要的地位和應用，故還有必要對矩陣及其運算進行專門**。
矩陣的加法和數乘，與向量的運算類同。
矩陣的另外乙個重要應用：線性變換（最典型例子是旋轉變換）。即可以把乙個矩陣看作是一種線性變換在數學上的表述。
矩陣的乘法，反映的是線性變換的疊加。如矩陣a對應的是旋轉乙個角度a，矩陣b對應的是旋轉乙個角度b，則矩陣ab對應的是旋轉乙個角度a+b。
矩陣乘法的特點：若c=ab，則c的第i行、第j列的元素是a的第i行與b的第j列的元素對應乘積之和；a的列數要和b的行數相同；c的行數是a的行數，列數是b的列數。需要主義的是矩陣乘法不滿足交換律，滿足結合律。
利用矩陣乘積的寫法，線性方程組可更簡單的表示為：ax=b。
對於c=ab，還可作如下分析：將左邊的矩陣a寫成列向量組的形式，即意味著c的列向量組能由a的列向量組表示，從而推知c的列秩小於等於a的列秩；將右邊的矩陣b寫成行向量組的形式，即意味著c的行向量組能由b的行向量組表示，從而推知c的行秩小於等於b的行秩，再考慮到矩陣的行秩等於列秩等於矩陣的秩，最終可得到結論，c的秩小於等於a的秩，也小於等於b的秩，即矩陣乘積的秩總不超過任乙個因子的秩。
關於矩陣乘積的另外乙個重要結論：矩陣乘積的行列式等於各因子的行列式的乘積。
一些特殊的矩陣：單位陣、對角陣、初等矩陣。尤其要注意，初等矩陣是單位陣經過一次初等變換得到的矩陣。
每乙個初等矩陣對應乙個初等變換，因為左乘的形式為pa（p為初等矩陣），將a寫成行向量組的形式，pa意味著對a做了一次初等行變換；同理，ap意味著對a做了一次初等列變換，故左乘對應行變換，右乘對應列變換。
若ab=e，則稱a為可逆矩陣，b是a的逆陣，同樣，這時的b也是可逆矩陣，注意可逆矩陣一定是方陣。
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