第一章行列式
第一節：二階與三階行列式
把表示式稱為所確定的二階行列式，並記作，
即結果為乙個數。（課本p1）
同理，把表示式稱為由數表所確定的三階行列式，記作。
即=二三階行列式的計算：對角線法則（課本p2，p3）
注意：對角線法則只適用於二階及三階行列式的計算。
利用行列式計算二元方程組和三元方程組：
對二元方程組
設則，（課本p2）
對三元方程組，
設，，，，
則，，。（課本上沒有）
注意：以上規律還能推廣到n元線性方程組的求解上。
第二節：全排列及其逆序數
全排列：把個不同的元素排成一列，叫做這個元素的全排列（或排列）。
n個不同的元素的所有排列的總數，通常用pn (或an)表示。（課本p5）
逆序及逆序數：在乙個排列中，如果兩個數的前後位置與大小順序相反，即前面的數大於後面的數，那麼稱它們構成乙個逆序，乙個排列中，逆序的總數稱為這個排列的逆序數。
排列的奇偶性：逆序數為奇數的排列稱為奇排列；逆序數為偶數的排列稱為偶排列。（課本p5）
計算排列逆序數的方法：
方法一：分別計算出排在前面比它大的數碼之和即分別算出這n個元素的逆序數，這個元素的逆序數的總和即為所求排列的逆序數。
方法二：分別計算出排列中每個元素前面比它大的數碼個數之和，即算出排列中每個元素的逆序數，這每個元素的逆序數之總和即為所求排列的逆序數。（課本上沒有）
第三節：n階行列式的定義
定義：n階行列式等於所有取自不同行、不同列的n個元素的乘積
的代數和，其中p1 p2 … pn是1， 2， … ，n的乙個排列，每一項的符號由其逆序數決定。也可簡記為，其中為行列式d的（i，j元）。（課本p6）
根據定義，有
說明：1、行列式是一種特定的算式，它是根據求解方程個數和未知量個數相同的一次方程組的需要而定義的;
2、n階行列式是項的代數和;
3、n階行列式的每項都是位於不同行、不同列n個元素的乘積;
4、的符號為，t的符號等於排列的逆序數
5、一階行列式不要與絕對值記號相混淆。
推論1：上，下三角行列式的值均等於其主對角線上各元素的乘積 。
即推論2：主對角行列式的值等於其對角線上各元的乘積，副對角行列式的值等於乘以其副對角線上各元的乘積。
即，（上述二推論證明課本p7例6）
第四節：對換
定義：在排列中，將任意兩個元素對調，其餘元素不動，這種作出新排列的手續叫做對換。將相鄰兩個元素對調，叫做相鄰對換。（課本p8）
定理1 乙個排列中的任意兩個元素對換，排列改變奇偶性。
推論奇排列調成標準排列的對換次數為奇數，偶排列調成標準排列的對換次數為偶數。 （上述二定理證明課本p8）
定理2 n階行列式的項可以寫為，其中q1q2…qn是行標排列，p1p2 …pn是列標排列 。（證明課本p9）
推論設有n階行列式，則或或（行列式三種不同表示方法）
推論在全部階排列中，奇偶排列各佔一半。
證明設在全部階排列中有個奇排列，個偶排列，現來證。
將個奇排列的前兩個數對換，則這個奇排列全變成偶排列，並且它們彼此不同，所以。
若將t個偶排列的前兩個數對換，則這個偶排列，全變成奇排列，並且它們彼此不同，於是有。綜上有s=t。
第五節：行列式的性質
定義記，，行列式稱為行列式的轉置行列式。
性質1 行列式與它的轉置行列式相等。（證明課本p9）
說明行列式中行與列具有同等地位，因此凡是對行成立的行列式的性質的對列也成立。
性質2 互換行列式的兩行或列，行列式變號。（證明課本p10）
推論如果行列式有兩行（列）完全相同，則此行列式為零。
性質3 行列式的某一行（列）中所有的元素都乘以同一數，等於用數乘此行列式；
推論1 的某一行（列）中所有元素的公因子可以提到的外面;
推論2 中某一行（列）所有元素為零，則。
性質4 行列式中如果有兩行（列）元素成比例，則此行列式為零．（證明課本p10）
性質5 若行列式的某一列（行）的元素都是兩數之和，則
性質6 把行列式的某一列（行）的各元素乘以同一數然後加到另一列(行)對應的元素上去，行列式的值不變。（課本p11）
計算行列式常用方法：①利用定義；②利用運算把行列式化為上三角形行列式，從而算得行列式的值。
說明行列式中行與列具有同等的地位，行列式的6個性質凡是對行成立的對列也同樣成立。
第六節行列式按行（列）展開
余子式在階行列式中，把元素所在的第行和第列劃去後，留下來的階行列式叫做元素的余子式，記作。
代數余子式 ，叫做元素的代數余子式。（課本p16）
引理乙個階行列式，如果其中第行所有元素除（i，j）元外都為零，那麼這行列式等於與它的代數余子式的乘積，即。（證明課本p16）
定理階行列式等於它的任意一行（列）的各元素與其對應的代數余子式的乘積之和，即，，。（證明課本p17）
擴充套件範德蒙德(vandermonde)行列式的證明見課本p18
展開定理推論階行列式的任意一行（列）的各元素與另一行（列）對應的代數余子式的乘積之和為零，即（證明課本p19）
第七節克拉默法則
如果線性方程組的係數行列式不等於零，
即，那麼該方程組有唯一解其中di是用非齊次項代替d中第i列元素後所得的行列式。（證明課本p53，第二章）
注意克拉默法則只適用於方程個數與未知量個數相等的情形。
定理4 如果線性方程組(1)的係數行列式d≠0，則(1)一定有解，且解是唯一的。
逆否定理如果線性方程組(1)無解或有兩個不同的解，則它的係數行列式必為零。
定理5 若齊次線性方程組的係數行列式，則其次線性方程組沒有非零解。（即解唯一，只有零解）
逆否定理如齊次方程組有非零解，則它的係數行列式d必為零。（課本p25）
第二章矩陣
第一節矩陣
定義由個數排成的行列的數表稱為m行n列矩陣。簡稱矩陣，記作，簡記為，。
說明元素是實數的矩陣稱為實矩陣，元素是複數的矩陣稱為復矩陣。
擴充套件幾種特殊的矩陣：
方陣 ：行數與列數都等於n的矩陣a。 記作：an。
行(列)矩陣：只有一行(列)的矩陣。也稱行(列)向量。
同型矩陣：兩矩陣的行數相等，列數也相等。
相等矩陣：ab同型,且對應元素相等。記作：a＝b
零矩陣：元素都是零的矩陣（不同型的零矩陣不同）
對角陣：不在主對角線上的元素都是零。
單位陣：主對角線上元素都是1，其它元素都是0，記作：en(不引起混淆時，也可表示為e )（課本p29—p31）
注意矩陣與行列式有本質的區別，行列式是乙個算式，乙個數字行列式經過計算可求得其值，而矩陣僅僅是乙個數表，它的行數和列數可以不同。
第二節矩陣的運算
矩陣的加法設有兩個矩陣，那麼矩陣與的和記作，規定為
說明只有當兩個矩陣是同型矩陣時，才能進行加法運算。（課本p33）
矩陣加法的運算規律
；，稱為矩陣的
。（課本p33）
數與矩陣相乘
數乘矩陣的運算規律（設為矩陣，為數）；；
。（課本p33）
矩陣相加與數乘矩陣統稱為矩陣的線性運算。
矩陣與矩陣相乘設是乙個矩陣，是乙個矩陣，那麼規定矩陣a與矩陣b的乘積是乙個矩陣，其中，，並把此乘積記作
注意1。a與b能相乘的條件是：a的列數＝b的行數。
2。矩陣的乘法不滿足交換律，即在一般情況下，，而且兩個非零矩陣的乘積可能是零矩陣。
3。對於n階方陣a和b，若ab=ba，則稱a與b是可交換的。
矩陣乘法的運算規律；，
若a是n階方陣，則稱 ak為a的k次冪，即，並且，。規定：a0＝e
注意矩陣不滿足交換律，即，（但也有例外）（課本p36）
純量陣矩陣稱為純量陣，作用是將圖形放大倍。且有，a為n階方陣時，有，表明純量陣與任何同階方陣都是可交換的。（課本p36）
轉置矩陣把矩陣的行換成同序數的列得到的新矩陣，叫做的轉置矩陣，記作，如，。
轉置矩陣的運算性質；；
；。（課本p39）
方陣的行列式由階方陣的元素所構成的行列式，叫做方陣的行列式，記作或（記住這個符號）
注意矩陣與行列式是兩個不同的概念，n階矩陣是n2個數按一定方式排成的數表，而n階行列式則是這些數按一定的運算法則所確定的乙個數。
運算性質；；
（課本p40）
對稱陣設a為n階方陣，如果滿足a=at，即那麼a稱為對稱陣。
說明對稱陣的元素以主對角線為對稱軸對應相等，如果則稱矩陣為反對稱的。即反對稱矩陣a=（aij）中的元素滿足aij＝－aji，i，j=1，2，…n
伴隨矩陣行列式的各個元素的代數余子式所構成的如下矩陣稱為矩陣a的伴隨矩陣。
性質 （易忘知識點）（課本p41）
共軛矩陣 （略）（課本p42）
總結（1）只有當兩個矩陣是同型矩陣時，才能進行加法運算。
（2）只有當第乙個矩陣的列數等於第二個矩陣的行數時，兩個矩陣才能相乘,且矩陣相乘不滿足交換律。
（3）矩陣的數乘運算與行列式的數乘運算不同。
第三節逆矩陣
定義對於n階矩陣a，如果有乙個n階矩陣b,使得ab＝ba＝e則說矩陣a是可逆的，並把矩陣b稱為a的逆矩陣。，。
說明1 a ，b互為逆陣， a = b-1
2 只對方陣定義逆陣。
3.若a是可逆矩陣，則a的逆矩陣是唯一的。
定理1 矩陣a可逆的充分必要條件是，並且當a可逆時，有（重要）（證明見課本p43）
奇異矩陣與非奇異矩陣當時，稱為奇異矩陣，當時，稱為非奇異矩陣。即。
推論若，則（證明見課本p43）
求逆矩陣方法
逆矩陣的運算性質
。。（以上證明見課本p43）。。
方陣的多項式設為的次多項式，a為n階矩陣，記稱為矩陣a的次多項式。（課本p46）
注意矩陣a的任意兩個多項式j(a)與f(a)可交換，即，矩陣a多項式可以像x的多項式一樣相乘或因式分解。
矩陣多項式的計算
，則（重要）
總結逆矩陣的計算方法
；；第四節矩陣分塊法
矩陣分塊將矩陣a用若干條縱線和橫線分成許多個小矩陣，每乙個小矩陣稱為a的子塊，以子塊為元素的形式上的矩陣稱為分塊矩陣。分塊的目的是為了簡化運算。
分塊矩陣的運算規則
加法 a與b同型，且a、b的分塊方法相同，則a與b的和定義為對應子塊相加。
數乘 。
轉置 。
乘法首先ab有意義，其次a的列的分法與b的行的分法相同。，，。
結論分塊矩陣之間與一般矩陣之間的運算性質類似。
分塊對角陣（準對角矩陣）
設a為n階矩陣，若a的分塊矩陣只有在主對角線上有非零子塊，其餘子塊都為零矩陣，且非零子塊都是方陣，即，，則有：
。，（diag（a）表示對角陣a）（課本p50）
有用的結論
線性代數知識點總結
第一章行列式 二三階行列式 n階行列式 行列式中所有不同行 不同列的n個元素的乘積的和 奇偶 排列 逆序數 對換 行列式的性質 行列式行列互換，其值不變。置行列式 行列式中某兩行 列 互換，行列式變號。推論 若行列式中某兩行 列 對應元素相等，則行列式等於零。常數k乘以行列式的某一行 列 等於k乘以...
線性代數知識點總結
一 行列式 1 n階行列式中元素 aij 的第乙個下標 i 為行指標 橫行 第二個下標 j 為列指標 豎列 即 aij 位於行列式的第 i 行第 j 列。2 在乙個排列中，若數較大的數碼排在較小的數碼之前則稱這兩個數組成此排列的乙個逆序。乙個排列中所有逆序的總數稱為此排列的逆序數。記為 每個元素的逆...
線性代數主要知識點
第一部分行列式 概念 1 n階行列式展開式的特點 共有n 項，正負各半 每項有n個元素相乘，且覆蓋所有的行與列 每一項的符號為 2 元素的余子式以及代數余子式 3 行列式的性質 計算方法 1 對角線法則 2 行列式的按行 列 展開 另有異乘變零定理 第二部分矩陣 1 矩陣的乘積 注意 不滿足交換率 ...