一、 行列式
1、 n階行列式中元素 aij 的第乙個下標 i 為行指標（橫行），第二個下標 j 為列指標（豎列）。即 aij 位於行列式的第 i 行第 j 列。
2、 在乙個排列中，若數較大的數碼排在較小的數碼之前則稱這兩個數組成此排列的乙個逆序。乙個排列中所有逆序的總數稱為此排列的逆序數。記為 (每個元素的逆序數之總和即為所求排列的逆序數)逆序數為奇數的為奇排列，偶數為偶排列。
3、 上/下三角行列式主對角線以下/上元素都是0，上/下三角行列式的值為主對角線上所有元素乘積。（詳見課本p4）
4、 （1）行列式與它的轉置行列式相等既d=dt。(把d的各行換成同序號的列的運算就是行列式的轉置行列式)
（2）行列式中行與列具有同等的地位,因此行列式的性質凡是對行成立的對列也同樣成立。
（3）互換行列式的兩行（列）,行列式變號。推論：如果行列式有兩行（列）完全相同，則此行列式為零。
（4）行列式的某一行（列）中所有的元素都乘以同一數k等於用數k乘此行列式。因此行列式的某一行（列）中所有元素的公因子可以提到行列式符號的外面。
（5）行列式中如果有兩行（列）元素成比例，則此行列式為零。
（6）若行列式的某一列（行）的元素都是兩數之和那麼可以把改行列式表達成兩個行列式之和。（詳見課本p8）
（7）把行列式的某一列（行）的各元素乘以同一數k然後加到另一列(行)對應的元素上去，行列式的值不變。
（8）計算行列式常用方法：(1)利用定義（詳見課本p3）;(2)利用性質把行列式化為上三角形行列式，從而算得行列式的值．
5、在n階行列式中，把元素aij所在的第i行和第j列劃去後，留下來的n-1階行列式叫做元素aij的余子式，記作mij
叫做元素aij的代數余子式
=-mij
6、行列式等於它的任一行（列）的各元素與其對應的代數余子式乘積之和，即
7、行列式任一行（列）的元素與另一行（列）的對應元素的代數余子式乘積之和等於零既
8、乙個n階行列式，如果其中第i行所有元素除aij外都為零，那末這行列式等於aij與它的代數余子式的乘積既d=aijaij
二、矩陣及其運算
主對角線全為1其餘的位置全是0的矩陣稱為單位陣
（1） 兩個矩陣的行數相等,列數相等時,稱為同型矩陣。
（2） 兩個矩陣為同型矩陣,並且對應元素相等則稱兩矩陣相等。
（3） 兩個m*n的矩陣相加既對應項相加（減法相同）；只有當兩個矩陣是同型矩陣時，才能進行加/減法運算（加法滿足交換律和結合律既a+b=b+a；（a+b）=a+(b+c);
（4） 數λ與矩陣相乘等於λ和a的每個元素相乘記作λa或aλ；
（5） 設a 和b是m*n的矩陣λμ為數則有
（6）只有當第乙個矩陣a的列數等於第二個矩陣b的行數時，兩個矩陣才能相乘
（7）矩陣a和矩陣b相乘a的第i行和b的第j列的對應元素相乘之和就是c的aij （詳見課本p34）
（8）矩陣不滿足交換律既
（9）矩陣乘法不滿足消去律既ab=ac不能推出b=c;
(10) 把矩陣a 的行換成同序數的列得到的新矩陣，叫做a的轉置矩陣，記作at ;
(11)轉置矩陣的運算性質
(12)若n階方陣a滿足a=at我們就稱a為對稱陣，若-a=at就稱反對稱陣。（對稱陣的元素以主對角線為對稱軸對應相等.）
（13）由n階方陣a的元素所構成的行列式，叫做方陣a的行列式，記作|a|
運算性質
|a*| =|a|-1；|a-1|=1/|a| ；aa*=e；
(14)方陣的冪運算滿足下列運算規律：設a為n階方陣，k、l為正整數，則
(15)
是m次多項式，a為n階方陣，記
其中e為n階單位矩陣，則稱為矩陣多項式;
設ab為復矩陣,λ為複數,且運算都是可行的
(16)下面三種變換稱為矩陣的初等行變換（1）對調兩行（對調ij記作ri rj ；（2）以數k不等於0乘以某一行（列）全部元素。（3）把某一行所有元素的k倍加到另一行的對應元素上；如果矩陣a有限次初等變經換變成矩陣b就稱ab等價
（17）設a是m*n矩陣，對a施行一次初等行變換，相當於在a的左邊乘以相應的m階初等方陣；對a施行一次初等列變換，相當於在a的右邊乘以相應的n階初等方陣.
(18)矩陣經初等變換而秩不變. 因此，我們可以用初等變換把矩陣中的許多元素變為0，從而直接看出矩陣的秩。只用初等行
變換即可把矩陣變為一種稱為行階梯形矩陣，其中非零行的行數即是矩陣的秩。例如
求的秩；
由階梯形矩陣有三個非零行可知:r(a)=3
階梯型行列式既第一行第乙個不為0的數下面這列全是0，第2行第1個不為0的數這列全是0，（詳見課本p43）
(19)對於n階方陣a如果存在n階方陣b使ab=ba=e則稱a可逆，b為a的逆矩陣。
注：若a可逆，它的逆矩陣唯一；單位矩陣可逆，既e-1=e；
（20）伴隨矩陣：設有n階方陣a，由行列式|a|的各元素aij（i,j=123…n）的代數余子式aij所構成的n階方陣就是a的伴隨矩陣記作a*（詳見p45）
（21）矩陣可逆的充要條件是|a|≠0且當a可逆是有
|a|≠0稱為非奇異矩陣，|a|=0稱為奇異矩陣。a是可逆矩陣的充要條件是a為非奇異矩陣
(22)若a可逆則a-1亦可逆且（a-1）-1=a;若a可逆數λ≠0則λa可逆且若ab為同階方陣，則ab可逆且有 （ab）-1=b-1a-1;若a可逆則at亦可逆且有（at）-1=（a-1）t
(23)用初等行變換法求矩陣的逆；既對(a|e)施行初等行變換當把a變成單位矩陣e時原來的e就變成a-1（詳見課本p48）
（24）矩陣的分塊是任意的，但是分塊矩陣的加法要求a b行數和列數相等並且分塊方法相同然後對應項相加；a是n*l的矩陣b是l*m的矩陣，分塊矩陣的乘法要求a的列的分法和b的行的分法相同然後按照矩陣的乘法法則運算。
三、向量組的線性相關與線性方程組
（1）n維向量記為a=(a1,a2……an)第i個ai稱為a的得i個分量或座標有幾個向量就是幾維向量。
（2）向量加減法按照對應項相加減。
（3）若干個同維數的列向量（或同維數的行向量）所組成的集合叫做向量組
（4）向量組線性相關的充分必要條件是至少有乙個向量可由其他向量線性表示。
（5）部分向量組線性相關，則整個向量組線性相關；整個向量組線性無關，則部分向量組線性無關。
（6）線性無關組新增相同數量個分量所得的向量組仍線性無關；線性相關組減少相同位置相同數量個分量所得的向量組仍線性相關。
（7）若
（8）若向量組a和b能相互線性表示就稱a和b等價；
(9)乙個向量組t，從中選出r個向量a1，a2，…..ar 滿足它們線性無關，並且t中任意乙個向量都可以用a1，a2…..ar線性表示那麼我們就稱a1，a2，…..
ar是t的最大向量無關組
（10）向量組的最大線性無關組所含向量的個數，稱為向量組的秩.
（11）矩陣a的秩等於它的列向量組的秩，也等於行向量組的秩
（12）設向量組(i)的秩為r1，向量組(ii)的秩為r2，且(i)能由(ii)線性表示，則r1<=r2
(13)等價的向量組有相同的秩。
(14) 設線性無關的向量組(i)含r個向量, 向量組(ii)含s個向量，且(i)能由(ii)線性表示，則r<=s。
(15)求最大無關線性無關組，將向量組依次寫成對應的列向量，然後做初等行變換化簡成最簡階梯行列式，看列向量組存在只有乙個元素不為0，所有這樣的列向量組就是該向量組的最大無關向量組。
（16）設v為n維向量的集合，如果集合v非空，且集合v對於加法及數乘兩種運算封閉，那麼就稱集合v為向量空間；注集合v對於加法及數乘兩種運算封閉指
n維向量的集合是乙個向量空間,記作rn
（17）若v是向量空間如果有r個向量a1，a2…..ar∈v並且它們線性無關，且v中任意向量能用a1，a2…..ar線性表示就稱a1，a2…..
ar是v的一組基，r是v的維數，並稱v是r維向量空間
（18）齊次線性方程組有非零解的充分必要條件是係數矩陣a的秩 r(a)（19）若ξ1，ζ2是ax=0的解那麼ξ1+ζ2也是ax=0的解，另如果ξ1是ax=0的解，k為實數，kξ1也是ax=0的解
（20）齊次線性方程組的一組解ξ1ζ2….. ξt稱為他的一組基礎解系
（21）求齊次線性方程組的方法：對係數矩陣a作初等行變換，變為最簡階梯矩陣，再右乘x(x1x2….xn)t將特殊位置（第一行第乙個不為0的位置和第二行第乙個不為0的位置）的未知量移到等號左邊，其餘不變，然後將等號右邊的乙個未知量賦值為乙個1剩下的全為0，然後再換下乙個未知量賦值為乙個1剩下的全為0，直到所有元素都被賦值為1為止，代入方程組解的基礎解系ξ1ζ2…..
ξt通解為x=k1ξ1+k2ζ2….. ktξt（k1 k2….. kt為任意實數）
（22）設η1和η2都是ax=b的解則η1 -η2為對應的齊次方程組方程組ax=0的解；
（23）設η是方程組ax=b的解，ζ是對應齊次方程組ax=0的解，那麼η+ζ仍是方程組ax=b的解。
（24）非齊次方程組的通解為1+k2ζ2….. ktξt是齊次方程組方程組ax=0的解η*是ax=b的乙個特解）
（25）非齊次方程組有解的充要條件為係數矩陣a的秩等於增廣矩陣(ab)的秩既r(a)=r(ab)
(25)當r=n時方程組有唯一解，當r（26）求非齊次方程組的方法1、利用初等變換將增廣矩陣(ab) 化成行階梯最簡形，寫出同解方程組2、求特解. 取自由未知量都為零，即可得出乙個特解 3、求出對應齊次方程組的基礎解系ξ1+k2ζ2….. ktξt 4、寫出通解
四、相似矩陣與二次型
（1）內積的運算性質：
xyz為n維向量，λ為任意實數；
（2為n維向量x的長度，當||x||=1時稱x為單位向量。
線性代數知識點總結
第一章行列式 二三階行列式 n階行列式 行列式中所有不同行 不同列的n個元素的乘積的和 奇偶 排列 逆序數 對換 行列式的性質 行列式行列互換，其值不變。置行列式 行列式中某兩行 列 互換，行列式變號。推論 若行列式中某兩行 列 對應元素相等，則行列式等於零。常數k乘以行列式的某一行 列 等於k乘以...
線性代數知識點總結
第一章行列式 第一節 二階與三階行列式 把表示式稱為所確定的二階行列式，並記作，即結果為乙個數。課本p1 同理，把表示式稱為由數表所確定的三階行列式，記作。即 二三階行列式的計算 對角線法則 課本p2，p3 注意 對角線法則只適用於二階及三階行列式的計算。利用行列式計算二元方程組和三元方程組 對二元...
線性代數主要知識點
第一部分行列式 概念 1 n階行列式展開式的特點 共有n 項，正負各半 每項有n個元素相乘，且覆蓋所有的行與列 每一項的符號為 2 元素的余子式以及代數余子式 3 行列式的性質 計算方法 1 對角線法則 2 行列式的按行 列 展開 另有異乘變零定理 第二部分矩陣 1 矩陣的乘積 注意 不滿足交換率 ...