第一部分行列式
概念：1． n階行列式展開式的特點：①共有n!項，正負各半；
②每項有n個元素相乘，且覆蓋所有的行與列；
③每一項的符號為
2． 元素的余子式以及代數余子式
3． 行列式的性質
計算方法：
1． 對角線法則
2． 行列式的按行（列）展開 (另有異乘變零定理)
第二部分矩陣
1． 矩陣的乘積
注意：①不滿足交換率（一般情況下）
②不滿足消去率 （由ab=ac不能得出b=c）
③由ab=0不能得出a=0或b=0
④若ab=ba，則稱a 與b是可換矩陣
2．矩陣的轉置
滿足的法則：，
3．矩陣的多項式設，a為n階方陣，則
稱為a 的n次多項式。
對與對角矩陣有關的多項式有結論如下：
（1）如果，則
= （2）若，則
4．逆矩陣：階矩陣a,，若，則a,b互為逆矩陣。
n 階矩陣a可逆；
或表示為）即a為滿秩矩陣；
a與e等價；
a可以表示成若干個初等矩陣的乘積；
a的列（行）向量組線性無關；
a的所有的特徵值均不等於零
求法：①伴隨矩陣法：
②初等變換法：或， e是單位矩陣
性質：（1）矩陣可逆，則的逆矩陣是唯一的
（2）設是階矩陣，則有下列結論 ①若可逆，則也可逆，且
②若可逆，則也可逆，且
③若可逆，數，則可逆，且
④若為同階矩陣且均可逆，則也可逆，且
5．方陣a的行列式：
滿足下述運算規律（設為階方陣，為數）
6．伴隨矩陣：行列式的各個元素的代數余子式所構成的如下的矩陣
，稱為矩陣的伴隨矩陣（注意行與列的標記的不同）
伴隨矩陣具有性質：
常見的公式有：① ②③④等
7．初等矩陣：由單位矩陣經過一次初等變換後所得的矩陣稱為初等矩陣。
三種初等變換對應著三種初等矩陣，分別記為：
（1）（互換e的第、列）
（2）（e的第行乘以不為零的數）
（3）（把e的行的倍加到第行上）
初等矩陣具有下述性質：初等矩陣的轉置仍為初等矩陣；初等矩陣都是可逆矩陣，其逆矩陣仍為初等矩陣且、、；
初等矩陣的行列式分別是 -1，k, 1。
8．矩陣的初等變換：初等行變換: 下面三種變換稱為矩陣的初等行變換：
1 對調兩行； 記為對換第行
2 以數乘某一行中的所有元素； 記為第行乘
3 把某一行所有元素的倍加到另一行對應的元素上去；記為第行倍加到第行上。把定義中矩陣的行換成列，即得矩陣的初等列變換的定義.
矩陣的初等行變換和初等列變換統稱矩陣初等變換
矩陣的初等變換與初等矩陣的關係：設a是乙個矩陣，則
1 對a施行一次初等行變換，相當於在a的左邊乘以相應的階初等矩陣；
2 對a施行一次初等列變換，相當於在a的右邊乘以相應的階初等矩陣
9．矩陣的等價：如果矩陣經過有限次初等變換變成矩陣b，就稱矩陣a與矩陣b等價。
且若矩陣經過有限次初等行變換變成矩陣b，就稱矩陣a與b行等價；
若僅經過初等列變換，就稱a與b列等價。
設為矩陣
①與行等價階可逆矩陣，使得
②與列等價階可逆矩陣，使得
③等價階可逆矩陣，階可逆矩陣，使得
利用矩陣的初等變換解矩陣方程
，，可以：
，，可以： ，從而解出x。
10．矩陣的秩：非零子式的最高端數。記為
求法：a行階梯形矩陣b， =b的非零行的行數。
相關公式：①若a是矩陣，則
④若設為矩陣，均為可逆矩陣，則
⑤，則⑥若均為矩陣，則
⑦ ⑧若，則
11．分塊矩陣：主要記住：
（1）分塊對角矩陣：設為階方程，若的分塊矩陣只有在主對角線上有非零子塊，
其餘子塊都為零矩陣，且非零子塊都是方塊，即
其行列式與逆矩陣具有下述性質：
①②若，則，故可逆，並有:
③設是階方陣,是階方陣,,且,則
另有：（2）設有分塊矩陣，其中分別為階、階可逆矩陣，則矩陣可逆且
（3）設有分塊矩陣，其中分別為階、階可逆矩陣，則
矩陣可逆且
第三部分向量組
1． 線性組合：給定向量組a：，對於任意一組實數，稱向量
為向量組的乙個線性組合，稱為該線性組合的係數。
給定向量組a：和向量，如果存在一組數，使得
則向量是向量組a的線性組合，也稱向量可以由向量組a線性表示
向量能由向量組a線性表示方程組有解
矩陣a=（）的秩等於矩陣b=(，)的秩
2．等價：設有兩個向量組a：及b：
，若b中的每個向量都可以由向量組a線性表示，則稱向量組b能由向量組a線性表示。若向量組a與向量組b能互相線性表示，則稱這兩個向量組等價。記為：
（）≌（）
主要結論：
（1）矩陣a與b若行等價，則a的行向量組與b的行向量組等價；
若矩陣a與b若列等價，則a的列向量組與b的列向量組等價
（2）向量組b：能由向量組a:線性表示存在矩陣k，使得b=ak方程ax=b有解
（3）向量組a:與向量組b：等價，其中，a,b是向量組構成的矩陣
（4）向量組b：能由向量組a:線性表示，則
r()r()
3．線性相關與線性無關
對向量組a：，如果存在不全為零的一組數，使得：
則稱向量組a是線性相關的，否則稱為線性無關，
也就是說當且僅當都是零時才能使（ⅲ）式成立，則線性無關。
主要結論：
（1）向量組線性相關齊次線性方程組有非零解它所構成的矩陣=（）的秩小於；
同樣線性無關僅有零解
（2）n個n維向量， 線性相關行列式， 線性無關行列式
（3）m個n維向量，當維數時，向量組一定線性相關。特別地，個維向量必線性相關；
（4）若向量組a：線性相關向量組b:一定線性相關；反之，向量組b若線性無關向量組a線性無關
或敘述為：整體無關，則任意部分無關；只要有一部分相關，則整體相關；
（5）若向量組a：線性無關，而向量組b:,線性相關必能由向量組a線性表示，且表示式唯一
（6）若維向量組線性無關，則在每乙個向量上再新增個分量所得到的維向量組也是線性無關的
（7）向量組a：線性相關其中至少有乙個向量是其餘個向量的線性組合 ；線性無關每乙個向量都不能由其餘向量線性表示。
（8）如果向量組a：可由向量組b:線性表示，並且向量組a：線性相關；
（逆否命題: a：線性無關且可由向量組b線性表示）
4．最大（極大）線性無關組：設有向量組a，如果在a中能選出個向量，滿足（1）向量組：線性無關；
（2）向量組a中任意個向量（如果a中有個向量的話）都是線性相關的
那麼稱是向量組a的乙個最大（極大）線性無關部分組
條件（2）也可以改為：向量組a中任意乙個向量都可以由線性表示，
結論:①乙個向量組的極大無關組是它的線性無關部分組中個數最多的那乙個
②乙個向量組的極大無關組不是唯一的
③向量組的任意乙個極大無關組所含向量的個數是唯一確定的
④若向量組線性無關，其極大無關組就是其本身
⑤任一向量組和它的極大無關組等價
⑥向量組中任意兩個極大無關組等價
5．向量組的秩：向量組中極大無關組所含向量的個數稱為向量組a的秩。
記為：（）
主要結論：（1）如果向量組與向量組等價，則它們的秩相等
（2）如果向量組可由向量組線性表示，且
，，則（3）矩陣的秩等於它的列向量組的秩，也等於它的行向量組的秩
6．向量空間：設v為維向量的集合，如果集合v非空，且集合v對於加法及乘數兩種運算封閉，那麼就稱v為向量空間。
（1）設是兩個已知的維向量，則集合是乙個向量空間。稱為由向量所生成的向量空間。
（2）向量空間的基---設為向量空間，如果個向量，且滿足①線性無關；②中任何乙個向量都可以由線性表示
則稱向量組是向量空間的乙個基，稱為向量空間的維數，並稱為維向量空間。
（3）在中取定乙個基，再取乙個新基，設（），
（），則=稱為從舊基到新基的過渡矩陣
7．向量的內積：
(1) 設有維向量，，令，
稱為向量與的內積. 當與都是列向量時，有.
(2) 內積具有下列性質（其中為維向量，為實數）：
③. ④當時，；當時，
⑤施瓦茨（schwarz）不等式
(3) 向量的長度： =，稱為維向量的長度。（範數）.
(4) 向量的正交----當時，稱向量與正交.
(5)正交向量組----兩兩正交的非零向量組稱為正交向量組.
正交向量組的性質
若維向量是一組兩兩正交的非零向量組，則線性無關.
（6）施密特（schimidt）正交化過程：設是線性無關的：
取；，….
兩兩正交，且與等價
第四部分線性方程組
1． 解的判定：
線性方程組其係數矩陣與增廣矩陣分別記為：
，或（a,b）=
則方程組的矩陣表示形式為：
若記：， ，，則方程組的向量形式為：
判定定理：元非齊次線性方程組有解
且有唯一解 ，有無窮多解
對應的齊次線性方程組，稱謂原方程組的匯出組。
有結論：①元齊次線性方程組僅有零解係數矩陣的秩
元齊次線性方程組有非零解係數矩陣的秩
②若係數矩陣a為方陣，則有：元齊次線性方程組僅有零解
元齊次線性方程組有非零解
2．基礎解系：設都是齊次線性方程組的解，且：
①線性無關 ②的任意解都可以由線性表示
則稱是齊次線性方程組的乙個基礎解系
實際上，齊次線性方程組的乙個基礎解系就是它的解集的乙個最大無關組
結論：①當係數矩陣的秩時，齊次線性方程組有基礎解系，並且它的任乙個基礎解系中解向量的個數為
②若是的乙個特解，是的乙個基礎解系，則的通解為+
第五部分矩陣的特徵值（特徵向量）與二次型1．
線性代數知識點總結
第一章行列式 二三階行列式 n階行列式 行列式中所有不同行 不同列的n個元素的乘積的和 奇偶 排列 逆序數 對換 行列式的性質 行列式行列互換，其值不變。置行列式 行列式中某兩行 列 互換，行列式變號。推論 若行列式中某兩行 列 對應元素相等，則行列式等於零。常數k乘以行列式的某一行 列 等於k乘以...
線性代數知識點總結
一 行列式 1 n階行列式中元素 aij 的第乙個下標 i 為行指標 橫行 第二個下標 j 為列指標 豎列 即 aij 位於行列式的第 i 行第 j 列。2 在乙個排列中，若數較大的數碼排在較小的數碼之前則稱這兩個數組成此排列的乙個逆序。乙個排列中所有逆序的總數稱為此排列的逆序數。記為 每個元素的逆...
線性代數知識點總結
第一章行列式 第一節 二階與三階行列式 把表示式稱為所確定的二階行列式，並記作，即結果為乙個數。課本p1 同理，把表示式稱為由數表所確定的三階行列式，記作。即 二三階行列式的計算 對角線法則 課本p2，p3 注意 對角線法則只適用於二階及三階行列式的計算。利用行列式計算二元方程組和三元方程組 對二元...