第一章、行列式
1．行列式的定義：用個元素組成的記號稱為n階行列式。
（1）它表示所有可能的取自不同行不同列的n個元素乘積的代數和；
（2）展開式共有n!項，其中符號正負各半；
2．行列式的計算
一階|α|=α行列式，
二、三階行列式有對角線法則；
n階（n3）行列式的計算：降階法
定理：n階行列式的值等於它的任意一行（列）的各元素與其對應的代數余子式乘積的和。
方法：選取比較簡單的一行（列），保保留乙個非零元素，其餘元素化為0，利用定理展開降階。
特殊情況：上、下三角形行列式、對角形行列式的值等於主對角線上元素的乘積；
行列式值為0的幾種情況：
ⅰ 行列式某行（列）元素全為0行列式某行（列）的對應元素相同；
ⅲ 行列式某行（列）的元素對應成比例； ⅳ 奇數階的反對稱行列式。
3.概念：全排列、排列的逆序數、奇排列、偶排列、余子式、代數余子式
定理：乙個排列中任意兩個元素對換，改變排列的奇偶性。
奇排列變為標準排列的對換次數為基數，偶排列為偶數。
n階行列式也可定義：，t為的逆序數
4.行列式性質：
1、行列式與其轉置行列式相等。
2、互換行列式兩行或兩列，行列式變號。若有兩行(列)相等或成比例，則為行列式0。
3、行列式某行（列）乘數k,等於k乘此行列式。行列式某行（列）的公因子可提到外面。
4、行列式某行（列）的元素都是兩數之和，則此行列式等於兩個行列式之和。
5、行列式某行（列）乘乙個數加到另一行（列）上，行列式不變。
6、行列式等於他的任一行（列）的各元素與其對應代數余子式的乘積之和。（按行、列展開法則）
7、行列式某一行（列）與另一行（列）的對應元素的代數余子式乘積之和為0.
5.克拉默法則：
：若線性方程組的係數行列式，則方程有且僅有唯一解。
：若線性方程組無解或有兩個不同的解，則係數行列式d=0.
：若齊次線性方程組的係數行列式，則其沒有非零解。
：若齊次線性方程組有非零解，則其係數行列式d=0。
6 ,，（兩式要會計算）
題型：page21（例13）
第二章、矩陣
1．矩陣的基本概念（表示符號、一些特殊矩陣――如單位矩陣、對角、對稱矩陣等）；
2．矩陣的運算
（1）加減、數乘、乘法運算的條件、結果；
（2）關於乘法的幾個結論：
①矩陣乘法一般不滿足交換律（若ab＝ba，稱a、b是可交換矩陣）；
②矩陣乘法一般不滿足消去律、零因式不存在；
③若a、b為同階方陣，則|ab|=|a|*|b|；
④|ka|=*|a|。只有方陣才有冪運算。
（3）轉置：（ka）t=kat，
（4）方陣的行列式：，，
（5）伴隨矩陣：，，的行元素是a的列元素的代數余子式
（6）共軛矩陣：，，，
（7）矩陣分塊法：，
3．對稱陣：方陣。 對稱陣特點：元素以對角線為對稱軸對應相等。
3．矩陣的秩
（1）定義：非零子式的最大階數稱為矩陣的秩；
（2）秩的求法：一般不用定義求，而用下面結論：
矩陣的初等變換不改變矩陣的秩；階梯形矩陣的秩等於非零行的個數（每行的第乙個非零元所在列，從此元開始往下全為0的矩陣稱為行階梯陣）。
求秩：利用初等變換將矩陣化為階梯陣得秩。
（3）0≤r()≤min ≤r(a,b) ≤r(a)+r(b) ；
若ab=c，r(c)≤min
4．逆矩陣
（1）定義：a、b為n階方陣，若ab＝ba＝i，稱a可逆，b是a的逆矩陣（滿足半邊也成立）；
（2）性質：，；(a b的逆矩陣，***)（注意順序）
（3）可逆的條件：① |a|≠0； ②r(a)=n;③a->i;
（4）逆的求解：伴隨矩陣法；②初等變換法（a:i）->(施行初等變換)（i:）
（5）方陣a可逆的充要條件有：存在有限個初等矩陣，…，，使
第三章、初等變換與線性方程組
1、 初等變換： ， ， 性質：初等變換可逆。
等價：若a經初等變換成b，則ａ與ｂ等價，記作，等價關係具有反身性、對稱性、傳遞性。
初等矩陣：由單位陣e經過一次初等變換得到的矩陣。
定理：對施行一次初等行變換，相當於在a的左邊乘相應的m階初等矩陣；對施行一次初等列變換，相當於在a的右邊乘相應的n階初等矩陣。
等價的充要條件： r(a)=r(b)=r(a,b)
的矩陣ａ、ｂ等價存在m階可逆矩陣p、n階可逆矩陣q，使得paq=b。
線性方程組解的判定
定理：(1) r(a,b)≠r(a) 無解；(2) r(a,b)=r(a)=n 有唯一解；
(3)r(a,b)=r(a)特別地：對齊次線性方程組ax=0，(1) r(a)=n 只有零解；(2) r(a) 再特別，若為方陣，(1)|a|≠0 只有零解；(2)|a|=0 有非零解
2．齊次線性方程組
（1）解的情況：r(a)=n只有零解 ； r(a)（2）解的結構：。
（3）求解的方法和步驟：
①將增廣矩陣通過行初等變換化為最簡階梯陣；②寫出對應同解方程組；
③移項，利用自由未知數表示所有未知數；④表示出基礎解系；⑤寫出通解。
（4）性質：
若和是向量方程a*x=0的解，則、也是該方程的解。
齊次線性方程組的解集的最大無關組是該齊次線性方程組的基礎解系。
若，則n元齊次線性方程組a*x=0的解集s的秩。
3．非齊次線性方程組
（1）解的情況：有解r(a)=r(a,b)。唯一解r(a)=r(a,b)=n。無限解r(a)=r(a,b)＜n。
（2）解的結構： x=u+。
（3）無窮多組解的求解方法和步驟：與齊次線性方程組相同。
（4）唯一解的解法：有克萊姆法則、逆矩陣法、消元法（初等變換法）。
（5）若、都是方程的解，則是對應齊次方程的解
是方程的解，是的解，則也是的解。
第四章、向量組的線性相關性
1．n維向量的定義(注：向量實際上就是特殊的矩陣——行矩陣和列矩陣；預設向量a為列向量)。
2．向量的運算：
（1）加減、數乘運算（與矩陣運算相同）；
（2）向量內積 α'β=a1b1+a2b2+…+anbn；
（3）向量長
（4）向量單位化 (1/|α|)α；
3．線性組合
（1）定義：若，則稱b是向量組，，…，的乙個線性組合，或稱b可以用向量組，，…，的線性表示。
（2）判別方法：將向量組合成矩陣，記 a＝(，，…，)
b則：r(a)=r(b) b可以用向量組，，…，線性表示。
b=(，，…，)，則： b能由a線性表示r(a)=r(a,b) ax=b有解r(b)≤r(a).
（3）求線性表示表示式的方法：矩陣b施行行初等變換化為最簡階梯陣，則最後一列元素就是表示的係數。
注：求線性表示的係數既是求解ax=b
4．向量組的線性相關性
（1）線性相關與線性無關的定義
設，若k1,k2,…,kn不全為0，稱線性相關；若全為0，稱線性無關。
（2）判別方法：
①r(α1，α 2，…，αn)②若有n個n維向量，可用行列式判別： n階行列式|{}|＝0，線性相關（≠0無關）
a:，，…，， b:，，…，，，若a相關則b一定相關，若b相關a不一定相關；
若a無關，b相關，則向量必能由a線性表示，且表示式唯一。
注：含零向量的向量組必定相關。
5．極大無關組與向量組的秩
（1）定義：最大無關組所含向量個數稱為向量組的秩
（2）求法：設a＝(，，…，)，將a化為階梯陣，則a的秩即為向量組的秩，而每行的第乙個非零元所在列的向量就構成了極大無關組。
（3）矩陣的秩等於它的行向量組的秩也等於它的列向量組的秩。
注：如何證明，.
第五章、相似矩陣及二次型
1、向量內積：。
內積性質：，，;
當x=0時，，當x0時，
2、向量長度：
性質：非負性、齊次性、三角不等式
3、正交：稱x與y正交。若x=0,則x與任何向量都正交。
正交向量組是指一組兩兩正交的非零向量。
定理：若m維向量，，…，是正交向量組，則，，…，線性無關。
正交陣：，。
性質：若a為正交陣則也是正交陣，且；若a、b都正交，則ab正交。
規範正交基：設m維向量，，…，是向量空間v的乙個基，若，，…，兩兩正交，且都是單位向量，則稱，，…，是v的乙個規範正交基。
規範正交化：施密特正交化過程：，，……
正交變換：p為正交陣，稱為正交變換。有
4、矩陣的特徵值和特徵向量
定義：對方陣a，若存在非零向量和數λ使，則稱λ是矩陣a的特徵值，向量稱為矩陣a的對應於特徵值λ的特徵向量。
特徵值和特徵向量的求解：求出特徵方程||=0的根即為特徵值，將特徵值λ代入對應齊次線性方程組()＝0中求出方程組的所有非零解即為特徵向量。
重要結論與定理：
（1）a可逆的充要條件是a的特徵值不等於0；（2）a與a的轉置矩陣a'有相同的特徵值；
（3）不同特徵值對應的特徵向量線性無關。 （4）對的特徵值有：；。
（5）若λ是a的特徵值，則是的特徵值，是的特徵值。（6），，…，是方陣ａ的ｍ個特徵值，對應特徵向量是，，…，，若互不相等，則互不相關。
5、矩陣的相似
定義：同階方陣a、b，若有可逆陣p，，則a與b相似。p為把a變為b的相似變換矩陣。
若n階矩陣a與對角陣相似，則對角陣元素即是a的n個特徵值。
若f(λ)是矩陣ａ的特徵多項式，則f(a)=0。
與對角陣相似a有n個線性無關的特徵向量。
若的n個特徵值互不相等，則a與對角線對視。
求a與對角矩陣相似的方法與步驟（求p和）：求出所有特徵值；求出所有特徵向量；
若所得線性無關特徵向量個數與矩陣階數相同，則a可對角化（否則不能對角化），將這n個線性無關特徵向量組成矩陣即為相似變換的矩陣p，依次將對應特徵值構成對角陣即為。
通過正交變換求與實對稱矩陣a相似的對角陣：方法與相同，但要將所得特徵向量正交化且單位化。
6、二次型
二次型：n元二次多項式f(,,…，)=稱為二次型。若=0(i≠j)，則稱為二交型的標準型。如果標準型的係數為1、-1或0，則為規範型。
線性代數知識點總結
第一章行列式 二三階行列式 n階行列式 行列式中所有不同行 不同列的n個元素的乘積的和 奇偶 排列 逆序數 對換 行列式的性質 行列式行列互換，其值不變。置行列式 行列式中某兩行 列 互換，行列式變號。推論 若行列式中某兩行 列 對應元素相等，則行列式等於零。常數k乘以行列式的某一行 列 等於k乘以...
線性代數知識點總結
一 行列式 1 n階行列式中元素 aij 的第乙個下標 i 為行指標 橫行 第二個下標 j 為列指標 豎列 即 aij 位於行列式的第 i 行第 j 列。2 在乙個排列中，若數較大的數碼排在較小的數碼之前則稱這兩個數組成此排列的乙個逆序。乙個排列中所有逆序的總數稱為此排列的逆序數。記為 每個元素的逆...
線性代數知識點總結
第一章行列式 第一節 二階與三階行列式 把表示式稱為所確定的二階行列式，並記作，即結果為乙個數。課本p1 同理，把表示式稱為由數表所確定的三階行列式，記作。即 二三階行列式的計算 對角線法則 課本p2，p3 注意 對角線法則只適用於二階及三階行列式的計算。利用行列式計算二元方程組和三元方程組 對二元...