線性代數講義
目錄第一講基本概念
線性方程組矩陣與向量初等變換和階梯形矩陣線性方程組的矩陣消元法
第二講行列式
完全展開式化零降階法其它性質克萊姆法則
第三講矩陣
乘法乘積矩陣的列向量和行向量矩陣分解矩陣方程逆矩陣伴隨矩陣
第四講向量組
線性表示向量組的線性相關性向量組的極大無關組和秩矩陣的秩
第五講方程組
解的性質解的情況的判別基礎解系和通解
第六講特徵向量與特徵值相似與對角化
特徵向量與特徵值—概念,計算與應用相似對角化—判斷與實現
附錄一內積正交矩陣施密特正交化實對稱矩陣的對角化
第七講二次型
二次型及其矩陣可逆線性變數替換實對稱矩陣的合同標準化和規範化慣性指數正定二次型與正定矩陣
附錄二向量空間及其子空間
附錄三兩個線性方程組的解集的關係
附錄四 06,07年考題
第一講基本概念
1．線性方程組的基本概念
線性方程組的一般形式為:
a11x1+a12x2+…+a1nxn=b1,
a21x1+a22x2+…+a2nxn=b2,
am1x1+am2x2+…+amnxn=bm,
其中未知數的個數n和方程式的個數m不必相等.
線性方程組的解是乙個n維向量(k1,k2, …,kn)(稱為解向量),它滿足:當每個方程中的未知數xi都用ki替代時都成為等式.
線性方程組的解的情況有三種:無解,唯一解,無窮多解.
對線性方程組討論的主要問題兩個:(1)判斷解的情況.(2)求解,特別是在有無窮多接時求通解.
b1=b2=…=bm=0的線性方程組稱為齊次線性方程組.
n維零向量總是齊次線性方程組的解,稱為零解.因此齊次線性方程組解的情況只有兩種:唯一解(即只要零解)和無窮多解(即有非零解).
把乙個非齊次線性方程組的每個方程的常數項都換成0，所得到的齊次線性方程組稱為原方程組的匯出齊次線性方程組，簡稱匯出組.
2.矩陣和向量
(1)基本概念
矩陣和向量都是描寫事物形態的數量形式的發展.
由mn個數排列成的乙個m行n列的**,兩邊界以圓括號或方括號,就成為乙個mn型矩陣.例如
2 -1 0 1 1
1 1 1 0 2
2 5 4 -2 9
3 3 3 -1 8
是乙個45矩陣.對於上面的線性方程組,稱矩陣
a11 a12 … a1na11 a12 … a1n b1
a= a21 a22 … a2n 和(a|β)= a21 a22 … a2n b2
am1 am2 … amnam1 am2 … amn bm
為其係數矩陣和增廣矩陣. 增廣矩陣體現了方程組的全部資訊,而齊次方程組只用係數矩陣就體現其全部資訊.
乙個矩陣中的數稱為它的元素,位於第i行第j列的數稱為(i,j)位元素.
元素全為0的矩陣稱為零矩陣,通常就記作0.
兩個矩陣a和b相等(記作a=b),是指它的行數相等,列數也相等(即它們的型別相同),並且對應的元素都相等.
由n個數構成的有序陣列稱為乙個n維向量,稱這些數為它的分量.
書寫中可用矩陣的形式來表示向量,例如分量依次是a1,a2, ,an的向量可表示成
a1(a1,a2, ,an)或 a2 ,
an請注意,作為向量它們並沒有區別,但是作為矩陣,它們不一樣(左邊是1n矩陣,右邊是n1矩陣).習慣上把它們分別稱為行向量和列向量.(請注意與下面規定的矩陣的行向量和列向量概念的區別.)
乙個mn的矩陣的每一行是乙個n維向量,稱為它的行向量; 每一列是乙個m維向量, 稱為它的列向量.常常用矩陣的列向量組來寫出矩陣,例如當矩陣a的列向量組為α1,α2, ,αn時(它們都是表示為列的形式!)可記a=(α1,α2, ,αn).
矩陣的許多概念也可對向量來規定,如元素全為0的向量稱為零向量,通常也記作0.兩個向量α和β相等(記作α=β),是指它的維數相等,並且對應的分量都相等.
(2) 線性運算和轉置
線性運算是矩陣和向量所共有的,下面以矩陣為例來說明.
加(減)法:兩個mn的矩陣a和b可以相加(減),得到的和(差)仍是mn矩陣,記作
a+b (a-b),法則為對應元素相加(減).
數乘: 乙個mn的矩陣a與乙個數c可以相乘,乘積仍為mn的矩陣,記作ca,法則為a的每個元素乘c.
這兩種運算統稱為線性運算,它們滿足以下規律:
① 加法交換律: a+b=b+a.
② 加法結合律: (a+b)+c=a+(b+c).
③ 加乘分配律: c(a+b)=ca+cb.(c+d)a=ca+da.
④ 數乘結合律: c(d)a=(cd)a.
⑤ ca=0 c=0 或a=0.
轉置:把乙個mn的矩陣a行和列互換,得到的nm的矩陣稱為a的轉置,記作a t(或a).
有以下規律:
① (at)t= a.
② (a+b)t=at+bt.
③ (ca)t=cat.
轉置是矩陣所特有的運算,如把轉置的符號用在向量上,就意味著把這個向量看作矩陣了.當α是列向量時,α t表示行向量,當α是行向量時,α t表示列向量.
向量組的線性組合:設α1,α2,…,αs是一組n維向量, c1,c2,…,cs是一組數,則稱
c1α1+c2α2+…+csαs
為α1,α2,…,αs的(以c1,c2,…,cs為係數的)線性組合.
n維向量組的線性組合也是n維向量.
(3) n階矩陣與幾個特殊矩陣
行數和列數相等的矩陣稱為方陣,行列數都為n的矩陣也常常叫做n階矩陣.
把n階矩陣的從左上到右下的對角線稱為它對角線.(其上的元素行號與列號相等.)
下面列出幾類常用的n階矩陣,它們都是考試大綱中要求掌握的.
對角矩陣: 對角線外的的元素都為0的n階矩陣.
單位矩陣: 對角線上的的元素都為1的對角矩陣,記作e(或i).
數量矩陣: 對角線上的的元素都等於乙個常數c的對角矩陣,它就是ce.
上三角矩陣: 對角線下的的元素都為0的n階矩陣.
下三角矩陣: 對角線上的的元素都為0的n階矩陣.
對稱矩陣:滿足at=a矩陣.也就是對任何i,j,(i,j)位的元素和(j,i)位的元素總是相等的n階矩陣.
(反對稱矩陣:滿足at=-a矩陣.也就是對任何i,j,(i,j)位的元素和(j ,i)位的元素之和總等於0的n階矩陣. 反對稱矩陣對角線上的元素一定都是0.)
3. 矩陣的初等變換和階梯形矩陣
矩陣有以下三種初等行變換:
① 交換兩行的位置.
② 用乙個非0的常數乘某一行的各元素.
③ 把某一行的倍數加到另一行上.(稱這類變換為倍加變換)
類似地, 矩陣還有三種初等列變換,大家可以模仿著寫出它們,這裡省略了. 初等行變換與初等列變換統稱初等變換.
階梯形矩陣:乙個矩陣稱為階梯形矩陣,如果滿足:
① 如果它有零行,則都出現在下面.
② 如果它有非零行,則每個非零行的第乙個非0元素所在的列號自上而下嚴格單調遞增.
把階梯形矩陣的每個非零行的第乙個非0元素所在的位置稱為台角.
簡單階梯形矩陣:是特殊的階梯形矩陣,特點為:
③台角位置的元素為1.
④並且其正上方的元素都為0.
每個矩陣都可以用初等行變換化為階梯形矩陣和簡單階梯形矩陣.這種運算是**性代數的各類計算題中頻繁運用的基本運算,必須十分熟練.
請注意: 1.乙個矩陣用初等行變換化得的階梯形矩陣並不是唯一的,但是其非零行數和台角位置是確定的.
2. 乙個矩陣用初等行變換化得的簡單階梯形矩陣是唯一的.
4. 線性方程組的矩陣消元法
線性方程組的基本方法即中學課程中的消元法:用同解變換把方程組化為階梯形方程組(即增廣矩陣為階梯形矩陣的方程組).
線性方程組的同解變換有三種:
① 交換兩個方程的上下位置.
② 用乙個非0的常數乘某個方程.
③ 把某個方程的倍數加到另乙個方程上.
以上變換反映在增廣矩陣上就是三種初等行變換.
線性方程組求解的基本方法是消元法,用增廣矩陣或係數矩陣來進行,稱為矩陣消元法. 對非齊次線性方程組步驟如下:
(1)寫出方程組的增廣矩陣(a|β),用初等行變換把它化為階梯形矩陣(b|).
(2)用(b|)判別解的情況:
如果最下面的非零行為(0,0, ,0|d),則無解,否則有解.
有解時看非零行數r(r不會大於未知數個數n),r=n時唯一解；r(推論:當方程的個數m(3)有唯一解時求解的初等變換法:
去掉(b|)的零行,得到乙個n×(n+1)矩陣(b0|0),並用初等行變換把它化為簡單階梯形矩陣(e|),則就是解.
對齊次線性方程組:
(1)寫出方程組的係數矩陣a,用初等行變換把它化為階梯形矩陣b.
(2)用b判別解的情況:非零行數r=n時只有零解；r討論題
1.設a是n階矩陣,則
(a) a是上三角矩陣a是階梯形矩陣.
(b) a是上三角矩陣a是階梯形矩陣.
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