§9.6 雙曲線
★知識梳理★
1. 雙曲線的定義
（1）第一定義：當時, 的軌跡為
當時, 的軌跡為;
當時, 的軌跡為以為端點的兩條射線
（2）雙曲線的第二義: 平面內到定點與定直線(定點不在定直線上)的距離之比是常數()的點的軌跡為雙曲線;
（雙曲線上的動點到焦點的距離與到相應準線的距離相互轉化）.
2. 雙曲線的標準方程與幾何性質
與雙曲線共漸近線的雙曲線系方程為：
與雙曲線共軛的雙曲線為
等軸雙曲線的漸近線方程為，離心率為
★重難點突破★
重點:了解雙曲線的定義、標準方程，會運用定義和會求雙曲線的標準方程，能通過方程研究雙曲線的幾何性質
難點: 雙曲線的幾何元素與引數之間的轉換
重難點:運用數形結合，圍繞「焦點三角形」，用代數方法研究雙曲線的性質，把握幾何元素轉換成引數的關係
★自主學習★
1.已知雙曲線的離心率為2，焦點是（－4，0），（4，0），則雙曲線方程為
2.過雙曲線x2－y2＝8的左焦點f1有一條弦pq在左支上，若|pq|＝7，f2是雙曲線的右焦點，則△pf2q的周長是 .
3.已知橢圓＝1（a＞b＞0）與雙曲線＝1（m＞0,n＞0）有相同的焦點（－c，0）和（c，0）.若c是a與m的等比中項，n2是m2與c2的等差中項，則橢圓的離心率等於
4.設f1、f2分別是雙曲線＝1的左、右焦點.若雙曲線上存在點a，使∠f1af2＝90°且|af1|＝3|af2|,則雙曲線的離心率為
5.（2008·上海）已知p是雙曲線＝1右支上的一點，雙曲線的一條漸近線方程為3x－y＝0,設f1、f2分別為雙曲線的左、右焦點.若|pf2|＝3，則|pf1
★典例剖析★
例1 已知動圓m與圓c1：（x＋4）2＋y2＝2外切，與圓c2：（x－4）2＋y2＝2內切，求動圓圓心m的軌跡方程.
例2 根據下列條件，求雙曲線的標準方程.
（1）與雙曲線＝1有共同的漸近線，且過點（－3，2）；
（2）與雙曲線＝1有公共焦點，且過點（3，2）.
例3 雙曲線c：＝1 (a＞0,b＞0)的右頂點為a，x軸上有一點q（2a，0），若c上存在一點p，使·＝0，求此雙曲線離心率的取值範圍.
例4 (14分)已知雙曲線c：－＝1（0＜＜1）的右焦點為b，過點b作直線交雙曲線c的右支於m、n兩點，
試確定的範圍，使·＝0，其中點o為座標原點.
★知能遷移★
1.由雙曲線＝1上的一點p與左、右兩焦點f1、f2構成△pf1f2，求△pf1f2的內切圓與邊f1f2的切點座標.
2.已知雙曲線的漸近線的方程為2x±3y＝0,
（1）若雙曲線經過p（，2），求雙曲線方程；
（2）若雙曲線的焦距是2，求雙曲線方程；
（3）若雙曲線頂點間的距離是6，求雙曲線方程.
3.已知雙曲線的中心在原點，焦點f1、f2在座標軸上，離心率為,且過點p（4，－）.
（1）求雙曲線方程；
（2）若點m（3，m）在雙曲線上，求證：·＝0；
（3）求△f1mf2的面積.
4.（2008·天津）已知中心在原點的雙曲線c的乙個焦點是f1(－3,0),一條漸近線的方程是x－2y＝0.
(1)求雙曲線c的方程;
(2)若以k(k≠0)為斜率的直線l與雙曲線c相交於兩個不同的點m,n且線段mn的垂直平分線與兩座標軸圍成的三角形的面積為,求k的取值範圍.
★活頁作業★
一、填空題
1.雙曲線mx2＋y2＝1的虛軸長是實軸長的2倍，則m
2.雙曲線＝1和橢圓＝1 (a＞0,m＞b＞0)的離心率互為倒數，那麼以a,b,m為邊長的三角形是三角形.
3.（2008·重慶理）已知雙曲線＝1（a＞0,b＞0）的一條漸近線為y＝kx（k＞0）,離心率e＝k，則雙曲線方程為 .
4.已知雙曲線＝1的右焦點為f，若過點f的直線與雙曲線的右支有且只有乙個交點，則此直線斜率的取值範圍是 .
5.如圖，f1和f2分別是雙曲線＝1(a＞0,b＞0)的兩個焦點，a和b是以o為圓心，以|of1|為半徑的圓與該雙曲線左支的兩個交點，且△f2ab是等邊三角形，則雙曲線的離心率為
6.設f1、f2分別是雙曲線x2－＝1的左、右焦點.若點p在雙曲線上，且·＝0,則
7.若雙曲線x2－y2＝1右支上一點p（a，b）到直線y＝x的距離為，則a＋b的值是 .
8.（2008·安徽文，14）已知雙曲線＝1的離心率為,則n
二、解答題
9.求與雙曲線＝1共漸近線，且過點a（2，－3）的雙曲線方
10.已知定點a（0，7）、b（0，－7）、c（12，2），以c為乙個焦點作過a、b的橢圓，求另一焦點f的軌跡方程.
11.已知點n（1，2），過點n的直線交雙曲線x2－＝1於a、b兩點，且＝（＋）.
（1）求直線ab的方程；
（2）若過n的直線交雙曲線於c、d兩點，且·＝0，那麼a、b、c、d四點是否共圓？為什麼？
12.直線l:y＝kx＋1與雙曲線c:2x2－y2＝1的右支交於不同的兩點a、b.
（1）求實數k的取值範圍；
（2）是否存在實數k,使得以線段ab為直徑的圓經過雙曲線c的右焦點f？若存在，求出k的值；若不存在，說明理由.
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