空間直角座標系
編稿：丁會敏審稿：王靜偉
【學習目標】
通過具體情境，感受建立空間直角座標系的必要性，了解空間直角座標系，會用空間直角座標系刻畫點的位置.通過表示特殊長方體(所有稜分別與座標軸平行)頂點的座標，探索並得出空間兩點間的距離公式.
【要點梳理】
知識點一：空間直角座標系
1.空間直角座標系
從空間某一定點o引三條互相垂直且有相同單位長度的數軸，這樣就建立了空間直角座標系oxyz，點o叫做座標原點，x軸、y軸、z軸叫做座標軸，這三條座標軸中每兩條確定乙個座標平面，分別是xoy平面、yoz平面、zox平面.
2.右手直角座標系
在空間直角座標系中，讓右手拇指指向x軸的正方向，食指指向y軸的正方向，如果中指指向z軸的正方向，則稱這個座標係為右手直角座標系.
3.空間點的座標
空間一點a的座標可以用有序陣列(x，y，z)來表示，有序陣列(x，y，z)叫做點a的座標，記作a(x，y，z)，其中x叫做點a的橫座標，y叫做點a的縱座標，z叫做點a的豎座標.
知識點二：空間直角座標系中點的座標
1.空間直角座標系中點的座標的求法
通過該點，作兩條軸所確定平面的平行平面，此平面交另一軸於一點，交點在這條軸上的座標就是已知點相應的乙個座標.
特殊點的座標：原點；軸上的點的座標分別為；座標平面上的點的座標分別為.
2.空間直角座標系中對稱點的座標
在空間直角座標系中，點，則有
點關於原點的對稱點是；
點關於橫軸(x軸)的對稱點是；
點關於縱軸(y軸)的對稱點是；
點關於豎軸(z軸)的對稱點是；
點關於座標平面的對稱點是；
點關於座標平面的對稱點是；
點關於座標平面的對稱點是.
知識點三：空間兩點間距離公式
1.空間兩點間距離公式
空間中有兩點，則此兩點間的距離
.特別地，點與原點間的距離公式為.
2.空間線段中點座標
空間中有兩點，則線段ab的中點c的座標為.
【典型例題】
型別一：空間座標系
例1．在正方體abcd—a1b1c1d1中，e、f分別是bb1、d1b1的中點，稜長為1，建立空間直角座標系，求點e、f的座標。
【答案】，
【解析】 法一：如圖，以a為座標原點，以ab，ad，aa1所在直線分別為x軸，y軸，z軸建立空間直角座標系，點e在xoy面上的投影為b（1，0，0），
∵點e豎座標為，∴。
f在xoy面上的投影為bd的中點g，豎座標為1，
∴。法二：如解法一所建立空間直角座標系，
∵b1（1，0，1），d1（0，1，1），b（1，0，0）
e為bb1的中點，f為b1d1的中點，
∴e的座標為，
f的座標為。
點評：本題主要考查空間中點的座標的確定，關鍵是建立座標系找到各個座標分量。由於正方體的稜ab，ad，aa1互相垂直，可以以它們所在直線為座標軸建系。
點的各個座標分量就是這個點在各個座標軸上的投影在相應座標軸上的座標。
舉一反三：
【變式1】在如圖所示的空間直角座標系中，oabc—d1a1b1c1是單位正方體，n是bb1的中點，求這個單位正方體各頂點和點n的座標．
【答案】o（0，0，0），a（1，0，0），b（1，1，0），c（0，1，0），d1（0，0，1），a1（1，0，1），b1（1，1，1），c1（0，1，1），n（1，1，）。
例2．在平面直角座標系中，點p（x，y）的幾種特殊的對稱點的座標如下：
（1）關於原點的對稱點是p＇（－x，－y）；
（2）關於軸的對稱點是p＂（x，－y）；
（3）關於軸的對稱點是p（－x，y）．
那麼，在空間直角座標系內，點p（x，y，z）的幾種特殊的對稱點座標為：
①關於原點的對稱點是p1________；
②關於橫軸（x軸）的對稱點是p2________；
③關於縱軸（y軸）的對稱點是p3________；
④關於豎軸（z軸）的對稱點是p4________；
⑤關於xoy座標平面的對稱點是p5________；
⑥關於yoz座標平面的對稱點是p6________；
⑦關於zox座標平面的對稱點是p7________．
【答案】 ①（－x，－y，－z） ②（x，－y，－z） ③（－x，y，－z） ④（－x，－y，z）
⑤（x，y，－z） ⑥（－x，y，z） ⑦（x，－y，z）
【解析】 模擬平面直角座標系，在空間直角座標系有如下
結論：①p1（－x，－y，－z）；②p2（x，－y，－z）；③p3（－x，y，－z）；④p4（－x，－y，z）；⑤p5（x，y，－z）；⑥p6（－x，y，z）；⑦p7（x，－y，z）．
【總結昇華】 上述結論的證明，可模擬平面直角座標系的方法加以證明：如p點關於原點的對稱點p1，則有pp1的中點為原點。由中點座標公式即可求出p1點座標．
上述結論的記憶方法：「關於誰對稱誰不變，其餘的相反」，如關於軸對稱的點，橫座標不變，縱、豎座標變為原來的相反數；關於座標平面對稱的點，橫、縱座標不變，豎座標相反．
舉一反三：
【變式1】（1）在空間直角座標系中，點p（－2，1，4）關於x軸對稱的點的座標是（ ）．
a．（－2，1，－4） b．（－2，－1，－4） c．（2，－1，4） d．（2，1，－4）
（2）在空間直角座標系中，點p（－2，1，4）關於xoy平面對稱的點的座標是（ ）．
a．（－2，1，－4） b．（－2，－l，－4） c．（2，－1，4） d．（2，1，－4）
【答案】（1）b （2）a
型別二：兩點間的距離公式
例3．給定空間直角座標系，在x軸上找一點p，使它與點p0（4，1，2）的距離為．
【答案】（9，0，0）或（－1，0，0）
【解析】設點p的座標是（x，0，0），由題意，，即，即(x－4)2=25，解得x=9或x=－1．
所以，p點的座標為（9，0，0）或（－1，0，0）．
【總結昇華】 利用空間中兩點間的距離公式求兩點間距離，只需將這兩點座標代入公式即可求得，注意公式的正用和逆用，即已知兩點座標直接代入公式即可求其距離；反過來，若已知兩點間距離，便可利用公式建立相關方程來求解；還可利用公式把兩點間的距離建立某個函式模型，以利於問題的解決．
舉一反三：
【高畫質課堂：空間直角座標系381528 知識點3中的例題1】
【變式1】在空間中，已知點a(1,0, －1)，b(4,3, －1)，求a、b兩點之間的距離.
【答案】
【變式2】已知點a（0，1，0），b（－1，0，－1），c（2，1，1），若p（x，0，z）滿足pa⊥ab，pa⊥ac，試求點p的座標．
【答案】p（－1，0，2）
例4．在正方體abcd—a1b1c1d1中，p為平面a1b1c1d1的中心，求證：pa⊥pb1．
【解析】 如圖，建立空間直角座標系d-xyz，設稜長為1，則a（1，0，0），b1（1，1，1），，
由兩點間的距離公式得，，。
∵|ap|2+|pb1|2=|ab1|2=2，∴ap⊥pb1．
【總結昇華】 本例的求解方法儘管很多，但利用座標法求解，應該說是既簡捷又易行，方法的對照比較，也更體現出了座標法解題的優越性．
依據題中的垂直關係，建立恰當的座標系，利用空間中兩點間的距離公式可以求距離、證垂直、求角度等，為我們提供了新的解題方法．
舉一反三：
【變式1】如下圖所示，已知pa⊥平面abcd，平面abcd為矩形，m、n分別是ab、pc的中點，求證：mn⊥ab。
【解析】如圖所示，以a為座標原點，分別以ab、ad、ap所在直線為x軸、y軸、z軸建立空間直角座標系，則a（0，0，0），設b（a，0，0），d（0，b，0），p（0，0，c），因為m、n分別是ab、pc的中點，所以，。
方法一：連線an，在△amn中，有，，，所以|an|2=|mn|2+|am|2，所以mn⊥ab。
方法二：連線an、bn，因為，，所以|an|2=|bn|2，即|an|=|bn|，所以△abn為等腰三角形，又m為底邊ab的中點，所以mn⊥ab。
空間直角座標系教案
人教版必修二4.3 空間直角座標系 1 教學內容分析 學生已經學過數軸一點與實數的對應關係，也會用平面直角座標系來描述平面一點的位置。而空間一點的位置怎樣表示？這需要用到空間直角座標系。本節內容將點的座標表示方法從平面延伸到空間，對今後學習立體幾何做好必要的準備。2 教學目標 知識和技能 1 通過回...
平面直角座標系基礎知識
一 目標認知 學習目標 1 理解平面直角座標系產生的背景，能正確畫出平面直角座標系.能在直角座標系中,根據座標找點,由點求出座標，掌握點座標的特徵 包括四個象限內點座標的特徵，數軸上點座標的特徵，象限角平分線上點座標的特徵和對稱點座標的特徵 2 由數軸到平面直角座標系,滲透了模擬的數學思想方法.通過...
平面直角座標系知識要點
知識要點 1.平面直角座標系的意義 在平面內有公共原點且互相垂直的兩條數軸組成平面直角座標系。水平的數軸為x軸，鉛直的數軸為y軸，它們的公共原點o為直角座標系的原點。2.象限 兩座標軸把平面分成 座標軸上的點不屬於 3.可用有序數對 a b 表示平面內任一點p的座標。a表示橫座標，b表示縱座標。4....