座標法是利用空間向量的座標運算解答立體幾何問題的重要方法，運用座標法解題往往需要建立空間直角座標系．依據空間幾何圖形的結構特徵，充分利用圖形中的垂直關係或構造垂直關係來建立空間直角座標系，是運用座標法解題的關鍵．下面舉例說明幾種常見的空間直角座標系的構建策略．
一、利用共頂點的互相垂直的三條稜構建直角座標系
例1 已知直四稜柱abcd－a1b1c1d1中，aa1＝2，底面abcd是直角梯形，∠a為直角，ab∥cd，ab＝4，ad＝2，dc＝1，求異面直線bc1與dc所成角的余弦值．
解析：如圖1，以d為座標原點，分別以da、dc、dd1所在直線為x、y、z軸建立空間直角座標系，則c1（０，1，2）、b（2，4，０），
∴，．設與所成的角為，
則．二、利用線面垂直關係構建直角座標系
例2 如圖2，在三稜柱abc－a1b1c1中，ab⊥側面bb1c1c，e為稜cc1上異於c、c1的一點，ea⊥eb1．已知，bb1＝2，bc＝1，∠bcc1＝．求二面角a－eb1－a1的平面角的正切值．
解析：如圖2，以b為原點，分別以bb1、ba所在直線為y軸、z軸，過b點垂直於平面ab1的直線為x軸建立空間直角座標系．
由於bc＝1，bb1＝2，ab＝，∠bcc1＝，
∴在三稜柱abc－a1b1c1中，有b（０，０，０）、a（０，０，）、b1（０，2，０）、、．
設且，由ea⊥eb1，得，
即，∴，
即或（捨去）．故．
由已知有，，故二面角a－eb1－a1的平面角的大小為向量與的夾角．
因，故，即三、利用面面垂直關係構建直角座標系
例3 如圖3，在四稜錐v－abcd中，底面abcd是正方形，側面vad是正三角形，平面vad⊥底面abcd．
（1）證明ab⊥平面vad；
（2）求面vad與面vdb所成的二面角的余弦值．
解析：（1）取ad的中點o為原點，建立如圖3所示的空間直角座標系．
設ad＝2，則a（1，０，０）、d（－1，０，０）、b（1，2，０）、
v2，０），＝（1，０，－）．
由，得ab⊥va．
又ab⊥ad，從而ab與平面vad內兩條相交直線va、ad都垂直，∴ ab⊥平面vad；
（2）設e為dv的中點，則
∴，，．
∴，∴eb⊥dv．
又ea⊥dv，因此∠aeb是所求二面角的平面角．
∴．故所求二面角的余弦值為．
四、利用正稜錐的中心與高所在直線構建直角座標系
例4 已知正四稜錐v－abcd中，e為vc中點，正四稜錐底面邊長為2a，高為h．
（1）求∠deb的余弦值；
（2）若be⊥vc，求∠deb的余弦值．
解析：（1）如圖4，以v在平面ac的射影o為座標原點建立空間直角座標系，其中ox∥bc，oy∥ab，則由ab＝2a，ov＝h，有b（a，a，０）、c（-a，a，０）、d（-a，-a，０）、v（0，0，h）、
∴，．∴，即；（2）因為e是vc的中點，又be⊥vc，
所以，即，
∴，∴．
這時，即．
引入空間向量座標運算，使解立體幾何問題避免了傳統方法進行繁瑣的空間分析，只需建立空間直角座標系進行向量運算，而如何建立恰當的座標系，成為用向量解題的關鍵步驟之一．下面以高考考題為例，剖析建立空間直角座標系的三條途徑．
五、利用圖形中的對稱關係建立座標系
圖形中雖沒有明顯交於一點的三條直線，但有一定對稱關係（如正三稜柱、正四稜柱等），利用自身對稱性可建立空間直角座標系．
例5已知兩個正四稜錐p－abcd與
q－abcd的高都為2，ab＝4．
（1）證明：pq⊥平面abcd；
（2）求異面直線aq與pb所成的角；
（3）求點p到平面qad的距離．
簡解：（1）略；
（2）由題設知，abcd是正方形，且ac⊥bd．由（1），pq⊥平面abcd，故可分別以直線為x，y，z軸建立空間直角座標系（如圖1），易得，．
所求異面直線所成的角是．
（3）由（2）知，點．
設n=（x，y，z）是平面qad的乙個法向量，則得取x＝1，得．點p到平面qad的距離．
空間直角座標系教案
人教版必修二4.3 空間直角座標系 1 教學內容分析 學生已經學過數軸一點與實數的對應關係，也會用平面直角座標系來描述平面一點的位置。而空間一點的位置怎樣表示？這需要用到空間直角座標系。本節內容將點的座標表示方法從平面延伸到空間，對今後學習立體幾何做好必要的準備。2 教學目標 知識和技能 1 通過回...
知識講解 空間直角座標系 基礎
空間直角座標系 編稿 丁會敏審稿 王靜偉 學習目標 通過具體情境，感受建立空間直角座標系的必要性，了解空間直角座標系，會用空間直角座標系刻畫點的位置.通過表示特殊長方體 所有稜分別與座標軸平行 頂點的座標，探索並得出空間兩點間的距離公式.要點梳理 知識點一 空間直角座標系 1.空間直角座標系 從空間...
平面直角座標系座標方法的簡單運用試題
檢測時間50分鐘滿分100分 班級姓名得分 一 選擇題 每小題3分,共12分 1.如圖1所示,一方隊正沿箭頭所指的方向前進,a的位置為三列四行,表示為 3,4 那麼b 的位置是 毛 a.4,5 b.5,4 c.4,2 d.4,3 2.如圖1所示,b左側第二個人的位置是 a.2,5 b.5,2 c.2...