第一部分
1. 求值：(sin10)^4 + (sin40)^4 + (sin70)^4
答案：9/8.
（解答過程略，條條大路通羅馬）
2.長為l（l為整數）的木棒可以鋸成長為整數的兩段，要求任何時刻所有木棒中的最長者長度嚴格小於最短者長度的2倍。例如長為4的木棒可以鋸成2＋2兩段，而長為7的木棒第一次可以鋸成3＋4，第二次可以再將長為4的木棒鋸成2＋2，這時2＋2＋3三段不能再鋸。
問：長為30的木棒至多可以鋸成多少段？
解：至多可以鋸成6段。
鋸成6段的方案：30=12+18, 18=8+10, 12=6+6, 10=5+5, 8=4+4.
引理1：每次只能鋸當前最長的一段。
引理2：如果當前最長的不少於兩段，則無法再鋸下去。
利用這兩個引理（證略），對各種鋸木棒的方案分類討論。此處略。
3. 將數軸上的每個點用n種顏色之一染色，要求任意距離為1、根號2 或根號5的兩點不同色。求n的最小值。
解：n的最小值為2。
每個實數x可以表示成 a + b*sqrt(2) + c*sqrt(5) + t 的形式，其中a,b,c均為整數，且a,b,c的正負與x的正負相同。由於存在無窮多種表示方法，我們取使得|a|<|x|且|a|最大的，在此前提下取使得|b|<|x|且|b|最大的，在此前提下再取使得|c|<|x|且|c|最大的，這樣實數 t 就隨之確定了。即每個實數x都對應著一組正整數{
如下染色：將 a+b+c 為奇數的實數染為紅色，將 a+b+c 為偶數的實數染成藍色。
假設同色兩點距離為 1，sqrt(2)或sqrt(5)，不妨設均為紅色，兩個實數分別為 x= a + b*sqrt(2) + c*sqrt(5)，y= i + j*sqrt(2) + k*sqrt(5)。此時 x-y = (a-i) +(b-j)*sqrt(2) + (c-k)*sqrt(5)。由於 x-y = 1或sqrt(2)或sqrt(5)，故滿足 a-i=1, b-j=0, c-k=0 或 a-i=0, b-j=1, c-k=0 或 a-i=0, b-j=0, c-k=1。
無論是上述哪種情況，(a+b+c)-(i+j+k)=1，故 a+b+c 與 i+j+k 的奇偶性不同，與兩點同色矛盾。
故這樣的染色方案符合題意。
4. 12個人玩乙個遊戲，遊戲開始後每個人被隨機的戴上紅、黃、藍、綠四種顏色之一的帽子，每個人可以看到其餘11個人帽子的顏色，但不能看到自己帽子的顏色，遊戲開始後12個人不能再交流，並被要求猜出自己帽子的顏色。請為這12個人在遊戲前商定乙個方案，使得他們同時猜對自己頭上帽子顏色的概率盡可能大。
解：將紅、黃、藍、綠四種顏色分別代表數字0、1、2、3，策略是每個人將其餘11個人帽子顏色所代表的數字求和，設為s。s除以4的餘數設為d，（4-d）mod 4對應的顏色即為他所猜的顏色。
例如12個人都戴黃帽子，每個人看到其餘11個人的帽子顏色對應數字和均為11，模4餘3，4-3=1對應黃色，全都猜對。
這樣的策略使得同時猜對頭上帽子顏色的概率為1/4。當且僅當12個人的帽子顏色所代表數字之和為4的倍數時，12個人能夠同時猜對。不然，12個人會同時猜錯。
由於或者同時猜對，或者同時猜錯，這個同時猜對的概率與乙個人隨機猜測正確的概率相等，為1/4。
而多個人猜測時，由於不能由他人的帽子顏色推斷出有關自己帽子顏色的資訊，因此12人同時猜對的概率一定不大於單獨乙個人猜對的概率，即1/4。因此上述方案是最優的。
第四部分
二、用長為 l 的火柴棍（看成線段）完全隨機地投在間距為 d 的互相平行的若干直線上（平行線足夠多）。
1. 求火柴棍與平行線相交的概率。
2. 若使得這個概率趨近於圓周率pi，求 l與d 的比值。
筆者注：原題中用n(cross)/n(all)表示概率，並給了兩個積分表示式。不過我有乙個非常巧妙的辦法：
考慮曲線與平行線的交點個數的期望值。首先證明，任意曲線與平行線交點個數的期望值正比於曲線長度。將曲線分割成長度相等的足夠多份，使每乙份足夠短到可以看成線段，這樣每條長度相同的小線段與平行線交點個數的期望值是一定的。
根據期望的可加性，曲線的期望值等於各條小線段期望值之和，這樣曲線的期望值正比於小線段的條數，亦即曲線的長度。
我們考慮半徑為 d/2 的圓，這個圓無論如何放置都與平行線恰有兩個交點，因此長度為 pi*d 的曲線與平行線交點個數的期望值為 2。因此，根據前面成正比的定理，長為 l 的線段與平行線交點個數的期望值為 2l / (pi*d).
當 l 當 l=d 時，雖然有可能恰有兩個交點，但其概率為零，故有交點的概率為 2 / pi. 賞識培訓 2015年上學期週末階段測試八年級數學試題 一 認真選一選 每小題4分，共40分.1 小明3分鐘共投籃80次，進了50個球，則小明進球的頻率是 a 80b 50c 1.6d 0.625 2 下列各組數是三角形的三邊，能組成直角三角形的一組數是 a b c d 3.在 abcd中，如果 a ... 2010年高考湖南卷理科數學全解全析 一 選擇題 本大題共8小題，每小題5分，共40分 在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的 1 已知集合，則 ab cd 網 2 下列命題中的假命題是 a b cd 答案 b 解析 對於b選項x 1時，故選b.7.在某種資訊傳輸過程中，用4個數字的乙個... 2011年考研數學試題 數學一 一 選擇題 1 曲線的拐點是 a 1，0 b 2，0 c 3，0 d 4，0 答案 2 設數列單調減少，無界，則冪級數的收斂域為 a 1，1 b 1，1 c 0，2 d 0，2 答案 3 設函式具有二階連續導數，且，則函式 在點 0,0 處取得極小值的乙個充分條件是 ...賞識培訓 2019上周末階段測試數學試題
2019湖南高考數學試題
2023年考研數學試題