2023年考研數學試題（數學一）
一、選擇題
1、 曲線的拐點是（ ）
（a）（1，0） （b）（2，0） （c）（3，0） （d）（4，0）
【答案】
2、 設數列單調減少，，無界，則冪級數的收斂域為（ ） （a） (-1，1] （b） [-1，1) （c） [0，2) （d）(0，2]
【答案】
3、 設函式具有二階連續導數，且，，則函式
在點(0,0)處取得極小值的乙個充分條件是（ ）
（a） (b)
(c) (d)
【答案】a
4、設，則的大小關係是( )
（a） （b） （c） （d）
【答案】
5. 設為3階矩陣，將的第二列加到第一列得矩陣，再交換的第二行與第三行得單位矩陣.記, ,則( )
（a） （b） （c） （d）
【答案】
6、設是4階矩陣，為的伴隨矩陣，若是方程組的乙個基礎解系，則基礎解系可為（ ）
(a) (b) (c) (d)
【答案】
7、設為兩個分布函式，其相應的概率密度是連續函式，則必為概率密度的是( )
（a） （b）
（c） （d）
【答案】【考點分析】本題考查連續型隨機變數概率密度的性質。
【解析】檢驗概率密度的性質：；
。可知為概率密度，故選（）。
8、設隨機變數與相互獨立，且與存在，記,，則（ ）
(a) (b) (c) (d)
【答案】
二、填空題
9、曲線的弧長
【答案】
10、微分方程滿足條件的解為
【答案】
11、設函式，則
【答案】
12、設是柱面方程與平面的交線，從軸正嚮往軸負向看去為逆時針方向，則曲線積分
【答案】
13、若二次曲面的方程為，經正交變換化為，則
【答案】1
14、設二維隨機變數服從，則
【答案】
三、解答題
15、（本題滿分10分）求極限
【答案】
【考點分析】：本題考查極限的計算，屬於形式的極限。計算時先按未定式的計算方法將極限式變形，再綜合利用等價無窮小替換、洛必達法則等方法進行計算。
【解析】：
16、（本題滿分9分）設，其中函式具有二階連續偏導數，函式可導，且在處取得極值，求
【答案】
【考點分析】：本題綜合考查偏導數的計算和二元函式取極值的條件，主要考查考生的計算能力，計算量較大。
【解析】：
由於在處取得極值，可知。
故17、（本題滿分10分）求方程不同實根的個數，其中為引數
【答案】時，方程只有乙個實根
時，方程有兩個實根
【考點分析】：本題考查方程組根的討論，主要用到函式單調性以及閉區間上連續函式的性質。解題時，首先通過求導數得到函式的單調區間，再在每個單調區間上檢驗是否滿足零點存在定理的條件。
【解析】：令，則，，
（1） 當時，，在單調遞減，故此時的影象與軸與只有乙個交點，也即方程只有乙個實根
（2） 時，在和上都有，所以在和是嚴格的單調遞減，又，故的影象在和與軸均無交點
（3） 時，時，，在上單調增加，又知，在上只有乙個實根，又或都有，在或都單調減，又，，所以在與軸無交點，在上與軸有乙個交點
綜上所述：時，方程只有乙個實根
時，方程有兩個實根
18、（本題滿分10分）證明：（1）對任意正整數，都有
（2）設，證明數列收斂
【考點分析】：本題考查不等式的證明和數列收斂性的證明，難度較大。（1）要證明該不等式，可以將其轉化為函式不等式，再利用單調性進行證明；（2）證明收斂性時要用到單調有界收斂定理，注意應用（1）的結論。
【解析】：（1）令，則原不等式可化為。
先證明：
令。由於，可知在上單調遞增。又由於，因此當時，。也即。
再證明：
令。由於，可知在上單調遞增。由於，因此當時，。也即。
因此，我們證明了。再令由於，即可得到所需證明的不等式。
（2），由不等式可知：數列單調遞減。
又由不等式可知：
。因此數列是有界的。故由單調有界收斂定理可知：數列收斂。
19、（本題滿分11分）已知函式具有二階連續偏導數，且，，其中，計算二重積分
【答案】：
【考點分析】：本題考查二重積分的計算。計算中主要利用分部積分法將需要計算的積分式化為已知的積分式，出題形式較為新穎，有一定的難度。
【解析】：將二重積分轉化為累次積分可得
首先考慮，注意這是是把變數看做常數的，故有
由易知。
故。對該積分交換積分次序可得：
再考慮積分，注意這裡是把變數看做常數的，故有
因此20、（本題滿分11分）不能由
線性表出。①求；②將由線性表出。
【答案】：①；②
【考點分析】：本題考查向量的線性表出，需要用到秩以及線性方程組的相關概念，解題時注意把線性表出與線性方程組的解結合起來。
【解析】：① 由於不能由表示
可知，解得
②本題等價於求三階矩陣使得
可知計算可得
因此21、（本題滿分11分）為三階實矩陣，，且
（1）求的特徵值與特徵向量（2）求
【答案】：（1）的特徵值分別為1，-1，0，對應的特徵向量分別為，，
（2）【考點分析】：實對稱矩陣的特徵值與特徵向量，解題時注意應用實對稱矩陣的特殊性質。
【解析】：（1）
可知：1，-1均為的特徵值，與分別為它們的特徵向量
，可知0也是的特徵值
而0的特徵向量與，正交
設為0的特徵向量
有得 的特徵值分別為1，-1，0
對應的特徵向量分別為，，
（2）其中，故22. （本題滿分11分）
求：（1）的分布；
（2）的分布；
（3）.
【答案】：（1）
（2）（3）
【考點分析】：本題考查二維離散型分布的分布律及相關數字特徵的計算。其中，最主要的是第一問聯合分布的計算。
【解析】：（1）由於，因此。
故，因此
再由可知
同樣，由可知
這樣，我們就可以寫出的聯合分布如下：
（2）可能的取值有，，
其中，，
則有。因此，的分布律為
（3），，
故23、（本題滿分11分）設為來自正態總體的簡單隨機樣本，其中已知，未知，和分別表示樣本均值和樣本方差，
（1）求引數的最大似然估計
（2）計算和
【答案】：（1）（2）
【考點分析】：本題考查引數估計和隨機變數數字特徵的計算，有一定的難度。在求的最大似然估計時，最重要的是要將看作乙個整體。
在求的數學期望和方差時，則需要綜合應用數字特徵的各種運算性質和公式，難度較大。
【解析】：
（1）似然函式
則令可得的最大似然估計值，最大似然估計量
（2）由隨機變數數字特徵的計算公式可得
由於，由正態分佈的性質可知。因此，由的性質可知，因此，故。
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