中考數學壓軸題精選精析（81-90例）
一、解答題
1、(2023年湖北隨州十校聯考數學試題) 如圖所示，在平面直角座標系中．二次函式y=a(x-2)2-1圖象的頂點為p，與x軸交點為 a、b，與y軸交點為c．鏈結bp並延長交y軸於點d. 鏈結ap，△apb為等腰直角三角形。
(1)求a的值和點p、c、d的座標；
(2)鏈結bc、ac、ad。將△bcd繞點線段cd上一點e逆時針方向旋轉90°，得到乙個新三角形．設該三角形與△acd重疊部分的面積為s。
①當點e在（0，1）時，在圖25—1中畫出旋轉後的三角形，並出求s.
②當點e**段cd(端點c、d除外)上運動時，設e(0，b)，用含b的代數式表示s，並判斷當b為何值時,重疊部分的面積最大?寫出最大值．
解：（1）a=1 p（2，-1） c（0，3） d（0，-3），（各1分，共4分）
（2）畫出圖形 （1分） 可用相似三角形的面積求s= （2分）
（3）當b≥0如圖，可用相似三角形的面積求（2分）
當b=0時，s= （1分）
當b＜0時 bd旋轉後經過a時，b=-1
1 -1＜b≤0時， （2分）
2 b＜-1時2分）
2、(2023年重慶一中摸底試卷)如圖等腰直角三角形紙片abc中，ac=bc=4, 直角邊ac在x軸上，b點在第二象限，a(1，0)，ab交y軸於e，將紙片過e點摺疊使be與ea所在直線重合，得到摺痕ef（f在x軸上），再展開還原沿ef剪開得到四邊形bcfe，然後把四邊形bcfe從e點開始沿射線ea平移，至b點到達a點停止．設平移時間為t(s)，移動速度為每秒1個單位長度，平移中四邊形bcfe與重疊的面積為s．
(1)求摺痕ef的長；
(2)是否存在某一時刻t使平移中直角頂點c經過拋物線的頂點？若存在，求出t值；若不存在，請說明理由；
(3)直接寫出s與t的函式關係式及自變數t的取值範圍.
解：（1）摺痕
（2）（s）
（3）3、（2011泰興市濟川實驗初中初三數學階段試題）如圖，矩形a』b』c』d』是矩形oabc(邊oa在軸正半軸上，邊oc在軸正半軸上)繞b點逆時針旋轉得到的，o』點在軸的正半軸上，b點的座標為(1，3)．o』c』與ab交於d點.
(1)如果二次函式()的圖象經過o，o』兩點且圖象頂點的縱座標為，求這個二次函式的解析式；
(2)求d點的座標．
(3)若將直線oc繞點o旋轉α度(0<α<90)後與拋物線的另乙個
交點為點p，則以o、o』、b、p為頂點的四邊形能否是平行
四邊形？若能，求出的值；若不能，請說明理由．
解：(1) ……3 分
(2)d(1,) ……7分
(3)tan=1或 ……12分(求出乙個得3分,求兩個得5分)
4、（2023年山東三維齋一模試題）如圖所示，已知拋物線與軸交於a、b兩點，與軸交於點c．
（1）求a、b、c三點的座標．
（2）過點a作ap∥cb交拋物線於點p，求四邊形acbp的面積．
（3）在軸上方的拋物線上是否存在一點m，過m作mg軸
於點g，使以a、m、g三點為頂點的三角形與pca相似．
若存在，請求出m點的座標；否則，請說明理由．
解：（1）令，得解得
令，得∴ a b c （2分）
（2）∵oa=ob=oc= ∴bac=aco=bco=
∵ap∥cbpab=
過點p作pe軸於e，則ape為等腰直角三角形
令oe=，則pe= ∴p
∵點p在拋物線上 ∴
解得，（不合題意，捨去）
∴pe= 4分）
∴四邊形acbp的面積=aboc+abpe
= 6分）
(3)假設存在
∵pab=bac = ∴paac
∵mg軸於點g， ∴mga=pac =
在rt△aoc中，oa=oc= ∴ac=
在rt△pae中，ae=pe= ∴ap= 7分）
設m點的橫座標為，則m
①點m在軸左側時，則
(ⅰ) 當amg pca時，有=
∵ag=，mg=
即 解得（捨去） （捨去）
(ⅱ) 當mag pca時有=
即 解得：（捨去）
∴m （10分）
② 點m在軸右側時，則
(ⅰ) 當amg pca時有=
∵ag=，mg=
∴解得（捨去）
∴m(ⅱ) 當magpca時有=
即 解得：（捨去）
∴m∴存在點m，使以a、m、g三點為頂點的三角形與pca相似
m點的座標為，， （12分）[**:學|科|網z|x|x|k]
5、(2023年深圳市數學模擬試卷)如圖13，已知二次函式y=ax2＋bx＋c的象經過a(－1，0)、b(3，0)、n(2，3)三點，且與y軸交於點c．
(1)（3分）求頂點m及點c的座標；
(2)（3分）若直線y=kx＋d經過c、m兩點，且與x軸交於點d，試證明四邊形cdan是平行四邊形；
(3)（4分）點p是這個二次函式的對稱軸上一動點，請探索：是否存在這樣的點p，使以點p為圓心的圓經過a、b兩點，並且與直線cd相切，如果存在，請求出點p的座標；如果不存在，請說明理由．
解：解：(1)因為二次函式y=ax2＋bx＋c的圖象經過點a(－1，0)、b(3，0)、n(2，3)
所以，可建立方程組：，解得：
所以，所求二次函式的解析式為y=－x2＋2x＋3，
所以，頂點m(1，4)，點c(0，3) -------2分
(2)直線y=kx+d經過c、m兩點，所以，即k＝1，d＝3，
直線解析式為y＝x＋3
令y＝0，得x＝－3，故d(－3，0）
∴ cd＝，an＝，ad=2，cn=2
∴cd＝an，ad=cn
∴ 四邊形cdan是平行四邊形
(3)假設存在這樣的點p，使以點p為圓心的圓經過a、b兩點，並且與直線cd相切，因為這個二次函式的對稱軸是直線x=1，故可設p(1，)，
則pa是圓的半徑且pa2=y02＋22，
過p作直線cd的垂線，垂足為q，則pq＝pa時以p為圓心的圓與直線cd相切。
由第(2)小題易得：△mde為等腰直角三角形，故△pqm也是等腰直角三角形，
由p(1，)得pe＝，pm＝|4-|，，
由pq2=pa2得方程：，解得，符合題意，
所以，滿足題意的點p存在，其座標為(1，)或(1，)
6、（2023年遼寧鐵嶺西豐二中中考模擬考試）如圖1，rt△abc中，∠abc=90°， bc＜ab＜2bc. 在ab邊上取一點m，使am=bc，過點a作ae⊥ab且ae=bm，連線ec，再過點a作an∥ec，交直線cm、cb於點f、n.
（1）證明：∠afm=45°；
（2）若將題中的條件「bc＜ab＜2bc」改為「ab＞2bc」，其他條件不變，請你在圖2的位置上畫出圖形，（1）中的結論是否仍然成立，如果成立，請說明理由，如果不成立，請猜想∠afm的度數，並說明理由.
（1）證明：連線em.
∵ae⊥ab，∴∠eam=∠b=90°.
∵ae=mb，am=cb，
∴△aem≌△bmc.
∴∠aem=∠bmc，em=mc.
∵∠aem+∠ame=90°，
∴∠bmc+∠ame=90.°
∴∠emc=90°.
∴△emc是等腰直角三角形.
∴∠mce=45°.
∵an∥ce，
∴∠afm=∠mce=45
（2）解：畫出圖
不成立. ∠afm=135
連線me.
前半部分證明方法與（1）同.
∴∠mce=45°.
∵an∥ce,∴∠afm+∠mce=180°.
∴∠afm=135
7、（2023年遼寧鐵嶺西豐二中中考模擬考試） 如圖，在平面直角座標系中，兩個一次函式y=x，y=的圖象相交於點a，動點e從o點出發，沿oa方向以每秒1個單位的速度運動，作ef∥y軸與直線bc交於點f，以ef為一邊向x軸負方向作正方形efmn，設正方形efmn與△aoc的重疊部分的面積為s.
（1）求點a的座標；
（2）求過a、b、o三點的拋物線的頂點p的座標；
（3）當點e**段oa上運動時，求出s與運動時間t（秒）的函式表示式；
（4）在（3）的條件下，t為何值時，s有最大值，最大值是多少？此時（2）中的拋物線的頂點p是否在直線ef上，請說明理由.
解：（1）依題意得解得
∴點a的座標為(4,43分
（2）直線y=與x軸交點b的座標為（6，0）.
設過a、b、o的拋物線的表示式為y=ax2+bx，
依題意得解得
∴所求拋物線的表示式為.
點p座標（37分
（3）設直線mf、ne與y軸交於點p、q， 則△oqe是等腰直角三角形.
∵oe=1×t= t， ∴eq=oq=，∴e（，）.
∵ef∥y軸， ∴pf=， =12－.
∴ef=pq=12－－=.
當ef＞qe時， 即＞，解得.
當時， ()=.
當ef≤qe時,即≤，解得.
當時，s=ef2=()211分
4）當時， =.
當時，s最大=12 .
當時，s最大=()2=9.
當時，s最大=1213分
當時，e（2，2），f（2，8），
∵p（3，），∴點p不在直線ef上14分
8、（2011江蘇蘇港綜合試題）（本小題滿分10分）有一根直尺的短邊長2㎝，長邊長10㎝，還有一塊銳角為45°的直角三角形紙板，它的斜邊長12cm..如圖12，將直尺的短邊de放置與直角三角形紙板的斜邊ab重合，且點d與點a重合.將直尺沿ab方向平移(如圖 13)，設平移的長度為xcm(0≤x≤10)，直尺和三角形紙板的重疊部分(圖中陰影部分)的面積為s㎝2.
全國中考數學壓軸題精析 四
26 本題14分 如圖，已知直線的解析式為，直線與x軸 y軸分別相交於a b兩點，直線經過b c兩點，點c的座標為 8，0 又已知點p在x軸上從點a向點c移動，點q在直線從點c向點b移動。點p q同時出發，且移動的速度都為每秒1個單位長度，設移動時間為t秒 1 求直線的解析式。2 設 pcq的面積為...
2019中考數學壓軸題精析 91 100例
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