第一講三角函式的圖象與性質(選擇、填空題型)
1．(2014·四川高考)為了得到函式y＝sin(2x＋1)的圖象，只需把函式y＝sin 2x的圖象上所有的點( )
a．向左平行移動個單位長度
b．向右平行移動個單位長度
c．向左平行移動1個單位長度
d．向右平行移動1個單位長度
解析：選a 因為y＝sin(2x＋1)＝sin，故可由函式y＝sin 2x的圖象上所有的點向左平行移動個單位長度得到．
2．(2014·湖南高考)已知函式f(x)＝sin(x－φ)，且∫0f(x)dx＝0，則函式f(x)的圖象的一條對稱軸是( )
a．x＝ b．x＝
c．x＝ d．x＝
解析：選a 由定積分∫0sin(x－φ)dx＝－cos(x－φ) 0＝cos φ－sin φ＋cos φ＝0，得tan φ＝，所以φ＝＋kπ(k∈z)，所以f(x)＝sin (k∈z)，由正弦函式的性質知y＝sin與y＝sin的圖象的對稱軸相同，令x－＝kπ＋，則x＝kπ＋(k∈z)，所以函式f(x)的圖象的對稱軸為x＝kπ＋π(k∈z)，當k＝0時，x＝.
3．(2014·安徽高考)若將函式f(x)＝sin的圖象向右平移φ個單位，所得圖象關於y軸對稱，則φ的最小正值是________．
解析：法一：f(x)＝sin的圖象向右平移φ個單位得函式y＝sin的圖象，由函式y＝sin的圖象關於y軸對稱可知sin－2φ＝±1，即sin＝±1，故2φ－＝kπ＋，k∈z，即φ＝＋，k∈z，又φ>0，所以φmin＝.
法二：由f(x)＝sin＝cos的圖象向右平移φ個單位所得圖象關於y軸對稱可知2φ＋＝kπ，k∈z，故φ＝－，又φ>0，故φmin＝.
答案：4．(2014·全國高考)若函式f(x)＝cos 2x＋asin x在區間是減函式，則a的取值範圍是________．
解析：f(x)＝cos 2x＋asin x＝1－2sin2x＋asin x＝－22＋1＋，∵當x∈時， 答案：(－∞，2]
5．(2014·北京高考)設函式f(x)＝asin(ωx＋φ)(a，ω，φ是常數，a>0，ω>0)．若f(x)在區間上具有單調性，且f＝f＝－f，則f(x)的最小正週期為________．
解析：∵f(x)在區間上具有單調性，且f＝f，∴x＝和x＝均不是f(x)的極值點，其極值應該在x＝＝處取得，∵f＝－f，∴x＝也不是函式f(x)的極值點，又f(x)在區間上具有單調性，∴x＝－＝為f(x)的另乙個相鄰的極值點，故函式f(x)的最小正週期t＝2×＝π.
答案：π
1．六組誘導公式
2．三種函式的圖象和性質
3.三角函式的兩種常見圖象變換
(1)y＝sin xy＝sin(x＋φ)橫座標變為原來的倍,縱座標不變 y＝sin(ωx＋φ) y＝asin(ωx＋φ)(a>0，ω>0)．
(2)y＝sin x橫座標變為原來的倍,縱座標不變 y＝sin ωx
向左(φ>0)或向右(φ<0),平移個單位 y＝sin(ωx＋φ)
y＝asin(ωx＋φ)(a>0，ω>0)．
1．已知角α的終邊過點p(－8m，－6sin 30°)，且cos α＝－，則m的值為( )
a．－ b．－ c. d.
2．角α終邊上的點p與a(a,2a)關於x軸對稱(a>0)，角β終邊上的點q與a關於直線y＝x對稱，則sin αcos α＋sin βcos β＋tan αtan β的值為________．
3．若3cos＋cos(π＋θ)＝0，則cos2θ＋sin 2θ的值是________．
4．(2014·江西九校聯考)記a＝sin(cos 2 010°)，b＝sin(sin 2 010°)，c＝cos(sin 2 010°)，d＝cos(cos 2 010°)，則a、b、c、d中最大的是________．
[自主解答] 1.由點p(－8m，－6sin 30°)在角α的終邊上，且cos α＝－，知角α的終邊在第三象限，則m>0，又cos α＝＝－，所以m＝.
2．由題意得，點p的座標為(a，－2a)，點q的座標為(2a，a)．所以sin α＝＝－，cos α＝＝，tan α＝＝－2，sin β＝＝，cos β＝＝，tan β＝＝，故有sin αcos α＋sin βcos β＋tan αtan β＝×＋×＋(－2)×＝－1.
3．∵3cos＋cos(π＋θ)＝0，
∴3sin θ－cos θ＝0，從而tan θ＝.
∴cos2θ＋sin 2θ＝＝＝＝＝.
4．注意到2 010°＝360°×5＋180°＋30°，因此sin 2 010°＝－sin 30°＝－，cos 2 010°＝－cos 30°＝－，∵－ <－<0，－ <－<0,0<<<，∴cos>cos>0，a＝sin＝－sin<0，b＝sin＝－sin<0，c＝cos＝cos>d＝cos＝cos>0，故a、b、c、d中最大的是c.
[答案] 2.－1 3.
應用三角函式的概念和誘導公式應注意兩點
(1)當角的終邊所在的位置不是唯一確定的時候，要注意分情況解決，若機械地使用三角函式的定義就會出現錯誤．
(2)使用三角函式誘導公式常見的錯誤有兩個：乙個是函式名稱，乙個是函式值的符號．
1．(2014·濟南模擬)函式f(x)＝x2sin x＋xcos x的圖象大致是( )
a b c d
2.已知函式f(x)＝msin(ωx＋φ)(m，ω，φ是常數，m>0，ω>0，0≤φ≤π)的部分圖象如圖所示，其中a，b兩點之間的距離為5，那麼f(－1)＝( )
a．－2 b．－1
c．2d．－1或2
3．(2014·湖州模擬)將函式y＝3sin(3x＋θ)的圖象向右平移個單位長度，再向下平移1個單位長度得到圖象g，若圖象g關於直線x＝對稱，則θ的值可能是( )
a．－ b. c. d.
4．(2014·成都模擬)將函式f(x)＝sin(2x＋θ)的圖象向右平移φ(φ>0)個單位長度後得到函式g(x)的圖象，若f(x)、g(x)的圖象都經過點p，則φ的值可以是( )
a. b. c. d.
[自主解答] 1.因為f(－x)＝x2sin(－x)－xcos x＝－f(x)，所以函式f(x)＝x2sin x＋xcos x為奇函式，圖象關於原點對稱，排除c，d，又當00，所以選a.
2．由圖可知m＝2.因為a，b兩點分別是函式圖象上相鄰的最高點和最低點，設a(x1,2)，b(x2，－2)，因為|ab|＝5，所以＝5，解得|x2－x1|＝3.因為a，b兩點的橫座標之差的絕對值為最小正週期的一半，即＝3，t＝6，所以＝6，解得ω＝.
因為f(0)＝1，所以2sin φ＝1，解得sin φ＝.因為0≤φ≤π，所以φ＝或φ＝.結合圖象，經檢驗，φ＝不合題意，捨去，故φ＝.
所以f(x)＝2sin.故f(－1)＝2sin＝2sin＝2.
3．因為函式y＝3sin(3x＋θ)的圖象向右平移個單位長度，再向下平移1個單位長度得g的圖象，所以圖象g的函式解析式為y＝3sin－1＝3sin3x－＋θ－1＝－3sin－1＝－3cos(3x＋θ)－1，因為圖象g關於直線x＝對稱，則3cos3×＋θ＝±3，所以θ＋＝kπ，k∈z，即θ＝kπ－，結合選項可知k＝1時選項c正確，故選c.
4．函式f(x)＝sin(2x＋θ)的圖象向右平移φ(φ>0)個單位長度後得g(x)＝sin[2(x－φ)＋θ]．因為f(x)、g(x)的圖象都經過點p，所以因為－<θ<，φ>0，所以θ的值是，φ的值可以是.選b.
[答案]
在題3的條件下，若函式圖象向右平移個單位長度後，圖象關於y軸對稱，求θ的值．
1．根據三角函式圖象確定解析式應注意的問題
在利用圖象求三角函式y＝asin(ωx＋φ)的有關引數時，注意直接從圖中觀察振幅、週期，即可求出a、ω，然後根據圖象過某一特殊點求φ，若是利用零點值來求，則要注意ωx＋φ＝kπ(k∈z)，根據點在單調區間上的關係來確定乙個k的值，此時要利用數形結合，否則就易步入命題人所設定的陷阱．
2．對稱性的三個規律
(1)函式y＝asin(ωx＋φ)的圖象的對稱軸由ωx＋φ＝kπ＋(k∈z)解得，對稱中心的橫座標由ωx＋φ＝kπ(k∈z)解得；
(2)函式y＝acos(ωx＋φ)的圖象的對稱軸由ωx＋φ＝kπ(k∈z)解得，對稱中心的橫座標由ωx＋φ＝kπ＋(k∈z)解得；
(3)函式y＝atan(ωx＋φ)的圖象的對稱中心的橫座標由ωx＋φ＝(k∈z)解得．
1．(2014·江西師大附中模擬)若f(x)＝2cos(ωx＋φ)＋m對任意實數t都有f＝f(－t)，且f＝－1，則實數m的值等於( )
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