專題十：三角函式知識點（講義）
【學習方法】
1．注重化歸思想的運用．如將任意角的三角函式值的問題化歸為銳角的三角函式的問題，將不同名的三角函式問題化成同名的三角函式的問題，將不同角的三角函式問題化成同角的三角函式問題等 。
2．注意數形結合思想的運用．如討論函式性質等問題時，要結合函式圖象思考，便易找出解題思路和問題答案。
【知識點整理】
1、角的概念的推廣：平面內一條射線繞著端點從乙個位置旋轉到另乙個位置所的圖形。按逆時針方向旋轉所形成的角叫正角，按順時針方向旋轉所形成的角叫負角，一條射線沒有作任何旋轉時，稱它形成乙個零角。
射線的起始位置稱為始邊，終止位置稱為終邊。
2、象限角的概念：在直角座標系中，使角的頂點與原點重合，角的始邊與軸的非負半軸重合，角的終邊在第幾象限，就說這個角是第幾象限的角。如果角的終邊在座標軸上，就認為這個角不屬於任何象限。
3. 終邊相同的角的表示：
（1）終邊與終邊相同(的終邊在終邊所在射線上) 。
【注意】：相等的角的終邊一定相同，終邊相同的角不一定相等.
（2）終邊與終邊共線(的終邊在終邊所在直線上) .
（3）終邊與終邊關於軸對稱.
（4）終邊與終邊關於軸對稱.
（5）終邊與終邊關於原點對稱.
（6）終邊在軸上的角可表示為：；終邊在軸上的角可表示為：；終邊在座標軸上的角可表示為：.
4.弧長公式：，扇形面積公式：，1弧度(1rad) .
【例】已知扇形aob的周長是6cm，該扇形的中心角是1弧度，求該扇形的面積。
（答：2）
6、任意角的三角函式的定義：設是任意乙個角，p是的終邊上的任意一點（異於原點），它與原點的距離是，那麼，， ， ，。三角函式值只與角的大小有關，而與終邊上點p的位置無關。
【例】（1）已知角的終邊經過點p(5，－12)，則的值為＿＿。
（2）設是第
三、四象限角，，則的取值範圍是_______
（3）若，試判斷的符號
（答：；（－1，；負）
【補充】：對任意角，和的正負？
7.三角函式線的特徵是：正弦線mp「站在軸上(起點在軸上)」、余弦線om「躺在軸上(起點是原點)」、正切線at「站在點處(起點是)」.
三角函式線的重要應用是比較三角函式值的大小和解三角不等式。
【例】（1）若，則的大小關係為_____
（2）若為銳角，則的大小關係為_______
（3）函式的定義域是_______
(答：；；）
8.特殊角的三角函式值：
9. 同角三角函式的基本關係式：
（1）平方關係：
（2）倒數關係：sincsc=1,cossec=1,tancot=1,
（3）商數關係：
同角三角函式的基本關係式的主要應用是，已知乙個角的三角函式值，求此角的其它三角函式值。在運用平方關係解題時，要根據已知角的範圍和三角函式的取值，盡可能地壓縮角的範圍，以便進行定號；在具體求三角函式值時，一般不需用同角三角函式的基本關係式，而是先根據角的範圍確定三角函式值的符號，再利用解直角三角形求出此三角函式值的絕對值。
【例】（1）函式的值的符號為____
（2）若，則使成立的的取值範圍是____
（3）已知，，則＝____
（4）已知，則
（5）已知，則等於
a、 b、 c、 d、
（6）已知，則的值為______
（答：大於0； ；；；； b；－1）
10.三角函式誘導公式（）的本質是：奇變偶不變（對而言，指取奇數或偶數），符號看象限（看原函式，同時可把看成是銳角）.
誘導公式的應用是求任意角的三角函式值，其一般步驟：（1）負角變正角，再寫成2k+,；(2)轉化為銳角三角函式。
【例】已知，則______，若為第二象限角，則________。
（答：；）
11、兩角和與差的正弦、余弦、正切公式及倍角公式：
【例】（1）下列各式中，值為的是
a、 b、
c、 d、
（2）命題p：，命題q：，則p是q的
a、充要條件 b、充分不必要條件
c、必要不充分條件 d、既不充分也不必要條件
（3）已知，那麼的值為____
（4）的值是______
（5）已知，求的值（用a表示）甲求得的結果是，
乙求得的結果是，對甲、乙求得的結果的正確性你的判斷是______
（答：c； c；； 4；甲、乙都對）
12. 三角函式的化簡、計算、證明的恒等變形的基本思路是：一角二名三結構。
即首先觀察角與角之間的關係，注意角的一些常用變式，角的變換是三角函式變換的核心！第二看函式名稱之間的關係，通常「切化弦」；第三觀察代數式的結構特點。基本的技巧有:
（1）巧變角（已知角與特殊角的變換、已知角與目標角的變換、角與其倍角的變換、兩角與其和差角的變換. 如，，，，等）。
【例】（i）已知，，那麼的值是_____
（ii）已知，且，，求的值
（iii）已知為銳角，，，則與的函式關係為______
（答：；；）
(2)三角函式名互化(切割化弦)；
【例】（i）求值
（ii）已知，求的值
（答：1；）
(3)公式變形使用（。
【例】（i）已知a、b為銳角，且滿足，則＝_____
(ii)設中，，，則此三角形是____三角形
（答：；等邊）
(4)三角函式次數的降公升(降冪公式：，與公升冪公式：，)。
【例】(i)若，化簡為_____
（ii）函式的單調遞增區間為____
（答：）；（答：）
(5)式子結構的轉化(對角、函式名、式子結構化同)。
【例】（i）
（ii）求證：；
（ii）化簡：
（答：）；（答：）
(6)常值變換主要指「1」的變換（
等）。【例】已知，求（答：）.
(7)正余弦「三兄妹—」的記憶體聯絡――「知一求二」，
【例】（i）若，則 __
（ii）若，求的值。
（iii）已知，試用表示的值
（答：)，特別提醒：這裡；
（答：）；
（答：）。
13、輔助角公式中輔助角的確定： (其中角所在的象限由a, b的符號確定，角的值由確定)在求最值、化簡時起著重要作用。
【例】（1）若方程有實數解，則的取值範圍是
（2）當函式取得最大值時，的值是______
（3）如果是奇函式，則=
（4）求值
（答：[－2,2]）；
(答：)；
(答：－2)；
(答：32)
14、正弦函式和余弦函式的圖象：正弦函式和余弦函式圖象的作圖方法：五點法：
先取橫座標分別為0，的五點，再用光滑的曲線把這五點連線起來，就得到正弦曲線和余弦曲線在乙個週期內的圖象。
15、正弦函式、余弦函式的性質：
（1）定義域：都是r。
（2）值域：都是，對，當時，取最大值1；當時，取最小值－1；對，當時，取最大值1，當時，取最小值－1。
【例】（1）若函式的最大值為，最小值為，則__，＿
（2）函式（）的值域是____
（3）若，則的最大值和最小值分別是
（4）函式的最小值是_____，此時＝
（5）己知，求的變化範圍
（6）若，求的最大、最小值
（答：（1）或； （2）[－1, 2]；（3）7；－5；
（4）2；；（5）；（6），）
【特別提醒】：在解含有正余弦函式的問題時，你深入挖掘正余弦函式的有界性了嗎？
（3）週期性：①、的最小正週期都是2；②和的最小正週期都是。
【例】(i)若，則＝___
(ii) 函式的最小正週期為____
(iii) 設函式，若對任意都有成立，則的最小值為____
（答：0；；2）
（4）奇偶性與對稱性：正弦函式是奇函式，對稱中心是，對稱軸是直線；余弦函式是偶函式，對稱中心是，對稱軸是直線（正(餘)弦型函式的對稱軸為過最高點或最低點且垂直於軸的直線，對稱中心為圖象與軸的交點）。
【例】（i）函式的奇偶性是______、
（ii）已知函式為常數），且，則______
（iii）函式的圖象的對稱中心和對稱軸分別是
（iv）已知為偶函式，求的值。
（答：偶函式；－5；、；）
（5）單調性：上單調遞增，在單調遞減；在上單調遞減，在上單調遞增。
【特別提醒】別忘了！
16、形如的函式：
（1）幾個物理量：a―振幅；―頻率（週期的倒數）；―相位；―初相；
（2）函式表示式的確定：a由最值確定；由週期確定；由圖象上的特殊點確定，如，的圖象如圖所示，則＝_____（答：）；
（3）函式圖象的畫法：①「五點法」――設，令＝0，求出相應的值，計算得出五點的座標，描點後得出圖象；②圖象變換法：這是作函式簡圖常用方法。
（4）函式的圖象與圖象間的關係：①函式的圖象縱座標不變，橫座標向左（>0）或向右（<0）平移個單位得的圖象；②函式圖象的縱座標不變，橫座標變為原來的，得到函式的圖象；③函式圖象的橫座標不變，縱座標變為原來的a倍，得到函式的圖象；④函式圖象的橫座標不變，縱座標向上（）或向下（），得到的圖象。要特別注意，若由得到的圖象，則向左或向右平移應平移個單位。
【例】（i）函式的圖象經過怎樣的變換才能得到的圖象？
（答：向上平移1個單位得的圖象，再向左平移個單位得的圖象，橫座標擴大到原來的2倍得的圖象，最後將縱座標縮小到原來的即得的圖象）；
(ii) 要得到函式的圖象，只需把函式的圖象向___平移____個單位
（答：左；）；
（iii）將函式影象，按向量平移後得到的函式影象關於原點對稱，這樣的向量是否唯一？若唯一，求出；若不唯一，求出模最小的向量
（答：存在但不唯一，模最小的向量）；
（iv）若函式的圖象與直線有且僅有四個不同的交點，則的取值範圍是
（答：）
（5）研究函式性質的方法：模擬於研究的性質，只需將中的看成中的，但在求的單調區間時，要特別注意a和的符號，通過誘導公式先將化正。
【例】（i）函式的遞減區間是______
（答：）；
（ii）的遞減區間是_______
（答：）；
（iii）設函式的圖象關於直線對稱，它的週期是，則
a、b、在區間上是減函式
c、d、的最大值是a
（答：c）；
（iv）對於函式給出下列結論：
①圖象關於原點成中心對稱；
三角函式高考專題
2012高考試題分類彙編 三角函式 一 選擇題 1.2012高考安徽文7 要得到函式的圖象，只要將函式的圖象 a 向左平移1個單位b 向右平移1個單位 c 向左平移個單位 d 向右平移個單位 2.2012高考新課標文9 已知 0，直線和是函式f x sin x 影象的兩條相鄰的對稱軸，則 a b c...
三角函式專題訓練
例題1 已知函式為偶函式，且函式影象的兩相鄰對稱軸間的距離為.1 求的值 2 將函式的影象右平移個單位後，再講得到的影象上各點的橫座標伸長到原來的4倍，縱座標不變，得到函式的影象，求的單調遞減區間.解析 1 為偶函式，對，恆成立，因此.即，整理得.且，所以.又 故.有題意得，故.2 將的影象右平移個...
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2014屆廣州市高二年級水平測試專題訓練 三角函式 學校姓名班級考號 1 要得到的圖象只需將y 3sin2x的圖象 a 向左平移個單位 b 向右平移個單位 c 向左平移個單位 d 向右平移個單位 2 已知，則的值為 a b c d 3 已知點 在第三象限，則角在 a 第一象限 b 第二象限 c 第三...