第一部分專題二專題全程性評價(二) 三角函式、平面向量
(時間120分鐘，滿分150分)
一、選擇題(本大題共12小題，每小題5分，共60分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的)
1．已知a＋b＝(2，－8)，a－b＝(－8,16)，則cos〈a，b〉等於( )
ab．－
cd．以上都不對
解析：由題意可求得a＝(－3,4)，b＝(5，－12)．
∴|a|＝5，|b|＝13.
∴cos〈a，b〉＝
＝＝－.
答案：b
2．函式y＝cos2x在下列哪個區域上是減函式( )
ab．[，]
c．[0d．[，π]
解析：令2kπ≤2x≤2kπ＋π，k∈z，∴x∈[kπ，kπ＋]k∈z，當k＝0時，x∈[0，]．
答案：c
3．若函式f(x)＝sin2x－2sin2x·sin2x(x∈r)，則f(x)是( )
a．最小正週期為π的偶函式
b．最小正週期為π的奇函式
c．最小正週期為2π的偶函式
d．最小正週期為的奇函式
解析：∵f(x)＝sin2x－2sin2xsin2x＝sin2x(1－2sin2x)＝sin2xcos2x＝sin4x，
∴f(x)是最小正週期為的奇函式．
答案：d
4．給出下列命題：
①若a∥b，則a與b的方向相同或相反；②若a2＝b2，則a＝b或a＝－b；③若兩個單位向量互相平行，則這兩個單位向量相等；④若a＝b，b＝c，則a＝c.
其中正確命題的個數有( )
a．1個b．2個
c．3個d．4個
解析：由於零向量的方向是任意的，取a＝0，則對於任意向量b，都有a∥b，知①錯；a2＝b2|a|＝|b| a＝b或a＝－b，知②錯；兩個單位向量互相平行，方向可能相反，知③錯；易知④對．可得①②③錯，④正確．
答案：a
5．已知平面內不共線的四點o，a，b，c滿足＝＋，則
a．1∶3b．3∶1
c．1∶2d．2∶1
解析：＝＋－＝2(－)，得＝2，得||∶||＝2∶1.
答案：d
6．設m＝，n＝，給出m到n的對映f：(a，b)→f(x)＝acos2x＋bsin2x，則點(1，)的象f(x)的最小正週期為( )
ab．2π
cd.解析：∵f(x)＝cos2x＋sin2x＝2cos(2x－)，∴最小正週期t＝π.
答案：a
7．在梯形abcd中，ab∥cd，且|ab|＝λ|dc|，設＝a，＝b，則＝( )
a．λa＋bb．a＋λb
c. a＋bd．a＋b
解析：＝＋＝b＋＝b＋a.
答案：c
8．關於x的方程cos2x＋sin2x＝2k在(0，)內有兩個不同的實數解，則k的取值範圍是
( )
ab．(－，]
cd．[－，)
解析：由cos2x＋sin2x＝2k，得k＝(cos2x＋sin2x)＝sin(2x＋)，當x∈(0，)時，2x＋∈(，)，∴－ 答案：a
9．定義在r上的偶函式f(x)滿足f(π＋x)＝f(π－x)，若x∈[0，π]時解析式為f(x)＝cosx，則f(x)>0的解集為( )
a．(2kπ－π，2kπ＋)(k∈z)
b．(2kπ－，2kπ＋)(k∈z)
c．(2kπ，2kπ＋π)(k∈z)
d．(2kπ，2kπ＋)(k∈z)
解析：根據題意畫出f(x)的圖象，觀察可得x∈(2kπ－，2kπ＋)(k∈z)．
答案：b
10．在△abc中，bc＝1，b＝，若△abc的面積等於，則tanc＝( )
ab．－
c．2d．－2
解析：依題意得bc·ab·sinb＝，故ab＝4，則ac＝＝，則cosc＝＝－，sinc＝＝，故tanc＝＝－2.
答案：d
11．如圖，角α的頂點在原點o，始邊在x軸的正半軸，
終邊經過點p(－3，－4)．角β的頂點在原點o，始邊在
x軸的正半軸，終邊oq落在第二象限，且tanβ＝－2，
則cos∠poq的值為( )
ab．－
cd.解析：∵β為第二象限角且tanβ＝－2，
∴sinβ＝，cosβ＝－，
同理，α為第三象限角，
sinα＝－，cosα＝－，
cos∠poq＝cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ
＝＝－.
答案：a
12．設函式f(x)＝sin(2x＋)，則下列結論正確的是( )
a．f(x)的圖象關於直線x＝對稱
b．f(x)的圖象關於點(，0)對稱
c．把f(x)的圖象向左平移個單位，得到乙個偶函式的圖象
d．f(x)的最小正週期為π，且在[0，]上為增函式
解析：∵令2x＋＝kπ＋，k∈z，
即x＝＋(k∈z)，∴a選項錯誤，
又∵令2x＋＝kπ，k∈z，得x＝－(k∈z)，
∴b選項錯誤，
又∵f(x)＝sin(2x＋)
y＝sin[2(x＋)＋]＝sin(2x＋)＝cos2x，∴選項c正確．
當x∈[0，]時，2x＋∈[，]，
∴函式f(x)＝sin(2x＋)在[0，]上先增後減，∴選項d錯誤．
答案：c
二、填空題(本大題共4小題，每小題4分，共16分．請把正確答案填在題中橫線上)
13．把函式f(x)＝－2cos(x＋)的圖象向左平移a(a>0)個單位得到函式y＝g(x)的圖象，若函式y＝g(x)是偶函式，則a的最小值為________
解析：f(x)＝－2cos(x＋)的圖象向左平移a個單位，得g(x)＝－2cos(x＋a＋)，因為g(x)為偶函式，故x＝0為其對稱軸，所以0＋a＋＝kπ，k∈z，即a＝kπ－，k∈z，因為a>0，所以amin＝.
答案：14．如圖，正方形abcd中，已知ab＝2，若n為正方形內(含邊界)任意一點，則·的最大值是________．
解析：設，的夾角為θ.
·＝||·||·cosθ＝2||·cosθ.
由圖可知，||·cosθ的最大值即為|ab|.
∴·的最大值為2×2＝4.
答案：4
15．在△abc中，已知ab＝c，c＝50°，當b＝________時，bc的長取到最大值．
解析：＝，bc＝sin(180°－50°－b)，故當b＝40°時，bc的長取到最大值．
答案：40°
16．對於函式f(x)＝，給出下列三個命題：
(1)該函式的圖象關於x＝2kπ＋(k∈z)對稱
(2)當且僅當x＝kπ＋(k∈z)時，該函式取得最大值1
(3)該函式是以π為最小正週期的函式
上述命題中正確的是________．
解析：由函式f(x)的圖象知，在x＝0處，函式也取得最大值，∴(2)錯；函式f(x)的最小正週期為2π，∴(3)錯；由題意可知，(1)正確．
答案：(1)
三、解答題(本大題共6小題，共74分．解答時應寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟)
17．(本小題滿分12分)已知sin0，)．
(1)求sin2α－cos2的值；
(2)求函式f(x)＝cosαsin2x－cos2x的單調增區間．
解：∵sin(π－α)＝，∴sinα＝，
又∵α∈(0，)，∴cosα＝.
(1)sin2α－cos2＝2sinαcosα－
＝2××－＝.
(2)f(x)＝×sin2x－cos2x＝sin(2x－)．
令2kπ－≤2x－≤2kπ＋，
得kπ－≤x≤kπ＋，k∈z，
∴函式f(x)的單調遞增區間為[kπ－，kπ＋](k∈z)．
18．(本小題滿分12分)已知△abc的角a、b、c所對的邊分別是a、b、c，設向量m＝(a，b)，n＝(sinb，sina)，p＝(b－2，a－2)．
(1)若m∥n，求證：△abc為等腰三角形；
(2)若m⊥p，邊長c＝2，角c＝，求△abc的面積．
解：(1)證明：∵m∥n，∴asina＝bsinb，
即a·＝b·，其中r是三角形abc外接圓半徑，
∴a＝b.∴△abc為等腰三角形．
(2)由題意可知m·p＝0，即a(b－2)＋b(a－2)＝0.
∴a＋b＝ab.
由餘弦定理可知，4＝a2＋b2－ab＝(a＋b)2－3ab，
即(ab)2－3ab－4＝0，
∴ab＝4(捨去ab＝－1)，
∴s＝absinc＝· 4 · sin＝.
19．(本小題滿分12分)已知函式f(x)＝2sinxcosx＋(2cos2x－1)．
(1)將函式f(x)化為asin(ωx＋φ)(ω>0，|φ|<)的形式，填寫下表，並畫出函式f(x)在[－π，π]上的圖象.
(2)求函式f(x)的單調減區間．
解：(1)f(x)＝2sinxcosx＋(2cos2x－1)
＝sin2x＋cos2x＝2sin(2x＋).
描點連線，圖象如圖所示．
(2)由2kπ＋≤2x＋≤2kπ＋(k∈z)
得kπ＋≤x≤kπ＋(k∈z)，
故函式f(x)的單調減區間為[kπ＋，kπ＋](k∈z)．
注：(kπ＋，kπ＋)(k∈z)也可以．
20．(本小題滿分12分)在平面直角座標系xoy中，點p(，cos2θ)在角α的終邊上，點q(sin2θ，－1)在角β的終邊上，且·＝－.
(1)求cos2θ的值；
(2)求sin(α＋β)的值．
解：(1)因為·＝－，
所以sin2θ－cos2θ＝－，
即(1－cos2θ)－cos2θ＝－，所以cos2θ＝，
所以cos2θ＝2cos2θ－1＝.
(2)因為cos2θ＝，所以sin2θ＝，
所以點p(，)，點q(，－1)．
又點p(，)在角α的終邊上，
所以sinα＝，cosα＝.
同理sinβ＝－，cosβ＝，
所以sin(α＋β)＝sinαcosβ＋cosαsinβ
21．(本小題滿分12分)已知向量a＝(sin(ωx＋φ)，2)，b＝(1，cos(ωx＋φ))(ω>0,0<φ<)．函式f(x)＝(a＋b)·(a－b)的圖象過點m(1，)，且相鄰兩對稱軸之間的距離為2.
(1)求f(x)的表示式；
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