基礎鞏固強化
一、選擇題
1．(文)曲線y＝－x3＋3x2在點(1,2)處的切線方程為( )
a．y＝3x－1b．y＝－3x＋5
c．y＝3x＋5 d．y＝2x
[答案] a
[解析] ∵y′＝－3x2＋6x，∴曲線在點(1,2)處的切線的斜率k＝－3＋6＝3，∴切線方程為y－2＝3(x－1)．
即y＝3x－1.
(理)曲線y＝－在點m(，0)處的切線的斜率為( )
ab.c．－ d.
[答案] b
[解析] ∵y′＝
＝，∴y′|x＝＝.
2．(文)(2013·山東東營一模)設曲線y＝sinx上任一點(x，y)處切線的斜率為g(x)，則函式y＝x2g(x)的部分圖象可以為( )
[答案] c
[解析] 根據題意得g(x)＝cosx，∴y＝x2g(x)＝x2cosx為偶函式．
又x＝0時，y＝0，故選c.
(理)設函式f(x)在r上可導，其導函式為f ′(x)，且函式f(x)在x＝－2處取得極小值，則函式y＝xf ′(x)的圖象可能是( )
[答案] c
[解析] 由f(x)在x＝－2處取極小值知f ′(－2)＝0且在x＝－2的左側f ′(x)<0，而x＝－2的右側f ′(x)>0，因此，x<－2時，y＝xf ′(x)>0，x＝－2時，y＝xf ′(x)＝0，－20時，y＝xf ′(x)>0，故選c.
[點評] 函式、導數、不等式綜合命題，對學生應用函式能力提出了較高要求．
3．(文)(2013·浙江餘姚)若曲線y＝x4的一條切線l與直線x＋4y－8＝0垂直，則l的方程為( )
a．4x－y－3＝0 b．x＋4y－5＝0
c．4x－y＋3＝0 d．x＋4y＋3＝0
[答案] a
[解析] ∵直線x＋4y－8＝0的斜率為－，y′＝4x3，
∴4x3＝4，∴x＝1，即切點為(1,1)，所以過切點的切線方程為y－1＝4(x－1)，整理得4x－y－3＝0.
(理)(2013·海口模擬)下列曲線的所有切線構成的集合中，存在無數對互相垂直的切線的曲線是( )
a．f(x)＝ex b．f(x)＝x3
c．f(x)＝lnx d．f(x)＝sinx
[答案] d
[解析] 對於f(x)＝ex，有f ′(x)＝ex>0恆成立；對於f(x)＝x3，有f ′(x)＝3x2≥0；對於f(x)＝lnx，∵x>0，
∴f ′(x)＝>0.因此在f(x)＝ex，f(x)＝x3，f(x)＝lnx的曲線上，都不存在x1，x2使f ′(x1)·f ′(x2)＝－1，對於f(x)＝sinx，∵f ′(x)＝cosx，若f ′(x1)·f ′(x2)＝－1，即cosx1cosx2＝－1，則只需x1＝2kπ，x2＝(2k＋1)π，k∈z即可，故選d.
4．(文)已知函式y＝f(x)的圖象在點(1，f(1))處的切線方程是x－2y＋1＝0，則f(1)＋2f ′(1)的值是( )
a. b．1 c. d．2
[答案] d
[解析] 由條件知，y＝f(x)在點(1，f(1))處切線的斜率f ′(1)＝，又點(1，f(1))在切線x－2y＋1＝0上，
∴f(1)＝1，∴f(1)＋2f ′(1)＝1＋2×＝2.
(理)(2013·河北教學質量監測)若函式f(x)＝2x＋lnx，且f ′(a)＝0，則2aln2a＝( )
a．1 b．－1
c．－ln2 d．ln2
[答案] b
[解析] f ′(x)＝2xln2＋，由f ′(a)＝2aln2＋＝0，得2aln2＝－，則a·2a·ln2＝－1，即2aln2a＝－1.
5．(文)直線y＝kx＋b與曲線y＝x3＋ax＋1相切於點(2,3)，則b的值為( )
a．－3 b．9
c．－15 d．－7
[答案] c
[解析] 將點(2,3)分別代入曲線y＝x3＋ax＋1和直線y＝kx＋b，得a＝－3,2k＋b＝3.
又k＝y′|x＝2＝(3x2－3)|x＝2＝9，
∴b＝3－2k＝3－18＝－15.
(理)(2013·河北質檢)已知直線y＝kx是曲線y＝lnx的切線，則k的值是( )
a．e b．－e
c. d．－
[答案] c
[解析] 依題意，設直線y＝kx與曲線y＝lnx切於點(x0，kx0)，則有由此得lnx0＝1，x0＝e，k＝，選c.
6．(2013·遼寧大連二十四中期中)設函式f(x)＝sin－1(ω>0)的導函式f ′(x)的最大值為3，則f(x)圖象的一條對稱軸方程是( )
a．x＝ b．x＝
c．x＝ d．x＝
[答案] a
[解析] f ′(x)＝ωcos的最大值為3，
即ω＝3，
∴f(x)＝sin－1.
由3x＋＝＋kπ得，x＝＋ (k∈z)．
故a正確．
二、填空題
7．設θ為曲線y＝x3＋3x2＋ax＋2的切線的傾斜角，且所有θ組成的集合為[，)，則實數a的值為________．
[答案] 4
[解析] 設切線的斜率為k，
則k＝y′＝3x2＋6x＋a，
又∵k＝tanθ，θ∈[，)，
∴k∈[1，＋∞)．
又k＝3(x＋1)2＋a－3，
∴當x＝－1時，k取最小值為a－3＝1.
∴a＝4.
8．(文)(2013·湖北黃岡一模)已知函式f(x)＝x(x－1)(x－2)(x－3)(x－4)(x－5)，則f ′(0
[答案] －120
[解析] f ′(x)＝(x－1)(x－2)(x－3)(x－4)(x－5)＋x[(x－1)(x－2)(x－3)(x－4x)(x－5)]′，
∴f ′(0)＝(－1)×(－2)×(－3)×(－4)×(－5)＝－120.
(理)(2013·江西理，13)設函式f(x)在(0，＋∞)內可導，且f(ex)＝x＋ex，則f ′(1
[答案] 2
[解析] ∵f(ex)＝x＋ex，
∴f(x)＝x＋lnx，f ′(x)＝1＋，
∴f ′(1)＝1＋1＝2.
9．(2013·陝西模擬)設曲線y＝xn＋1(n∈n*)在點(1,1)處的切線與x軸的交點的橫座標為xn，令an＝lgxn，則a1＋a2＋…＋a99的值為________．
[答案] －2
[解析] 點(1,1)在曲線y＝xn＋1(n∈n*)上，點(1,1)為切點，y′＝(n＋1)xn，故切線的斜率為k＝n＋1，曲線在點(1,1)處的切線方程y－1＝(n＋1)(x－1)，令y＝0得切點的橫座標為xn＝，故a1＋a2＋…＋a99＝lg(x1x2…x99)＝lg(××…×)＝lg＝－2.
三、解答題
10．(文)設函式f(x)＝ax＋的圖象在點m(，f())處的切線方程為2x－3y＋2＝0.
(1)求f(x)的解析式；
(2)求函式f(x)的單調遞減區間；
(3)證明曲線y＝f(x)上任一點處的切線與直線x＝0和直線y＝x所圍成的三角形面積為定值，並求此定值．
[解析] (1)因為切點在切線上，
所以將點m座標代入切線方程解得f()＝.
∵f(x)＝ax＋，∴f ′(x)＝a－，
根據題意，得關於a，b的方程組
解得所以f(x)的解析式為f(x)＝x＋.
(2)由f ′(x)＝1－(x≠0)，
令f ′(x)<0，解得－1所以f(x)的單調遞減區間為(－1,0)，(0,1)．
(3)證明：設p(x0，y0)為曲線上任一點，
由y′＝1－知曲線在點p(x0，y0)處的切線方程為
y－y0＝(1－)(x－x0)，
即y－(x0＋)＝(1－)(x－x0)．
令x＝0，得y＝，從而得切線與直線x＝0的交點座標為(0，)．
令y＝x，得y＝x＝2x0，從而得切線與直線y＝x的交點座標為(2x0,2x0)．
所以點p(x0，y0)處的切線與直線x＝0，y＝x所圍成的三角形面積為|2x0|＝2.
(理)已知函式f(x)＝x3－(a＋b)x2＋abx，(0(1)若函式f(x)在點(1,0)處的切線的傾斜角為，求a、b的值；
(2)在(1)的條件下，求f(x)在區間[0,3]上的最值；
(3)設f(x)在x＝s與x＝t處取得極值，其中s求證：0[解析] (1)f ′(x)＝3x2－2(a＋b)x＋ab，tan＝－1.
由條件得，即，
解得a＝1，b＝2或a＝2，b＝1，
因為a(2)由(1)知f(x)＝x3－3x2＋2x，f ′(x)＝3x2－6x＋2，
令f ′(x)＝3x2－6x＋2＝0，解得x1＝1－，x2＝1＋.
在區間[0,3]上，x，f ′(x)，f(x)的變化情況如下表：
所以f(x)max＝6；f(x)min＝－.
(3)證明：f ′(x)＝3x2－2(a＋b)x＋ab，
依據題意知s，t為二次方程f ′(x)＝0的兩根．
∵f ′(0)＝ab>0，f ′(a)＝a2－ab＝a(a－b)<0，
f ′(b)＝b2－ab＝b(b－a)>0，
∴f ′(x)＝0在區間(0，a)與(a，b)內分別有乙個根．
∵s能力拓展提公升
一、選擇題
11．(2013·遼寧省瀋陽四校期中聯考)若函式y＝－x2＋1(0a. b.
c. d.
[答案] d
[解析] y′＝x2－2x＝(x－1)2－1，
∵0由題意知－1≤tanα<0，∴≤α<π，故選d.
12．(文)二次函式y＝f(x)的圖象過原點，且它的導函式y＝f ′(x)的圖象是過第
一、二、三象限的一條直線，則函式y＝f(x)的圖象的頂點在( )
a．第一象限 b．第二象限
高考數學一輪複習第
高考數學一輪複習第13講 平面向量的簡單應用 一 複習目標 熟練掌握平面向量的基礎知識，靈活運用平面向量知識解決與平面幾何 解析幾何及三角 數列有關的數學問題。二 課前熱身 1 已知向量和關於軸對稱.則滿足不等式的點的集合用陰影表示為 2 設是非零向量.則的乙個必要而不充分條件是 存在.使 3 設為...
高考數學一輪複習五條建議
如何提高高三數學複習的效率,增強高考第一輪複習的針對性和實效性，筆者給出高中數學複習的五條建議 高三數學複習,面廣量大知識點多,不少學生感到既枯燥無趣,又不能靈活應用,從而是很多學生產生了為難情緒,學習積極性不高。如何提高高三數學複習的效率,增強複習的針對性和實效性是擺在我們面前的乙個重要課題。一 ...
2023年高考數學一輪複習學案 人教版A版統計
2012年高考數學一輪複習精品學案 統計一 課標要求 1 統計案例 通過典型案例，學習下列一些常見的統計方法，並能初步應用這些方法解決一些實際問題。1 通過對典型案例 如 肺癌與吸菸有關嗎 等 的 了解獨立性檢驗 只要求2 2列聯表 的基本思想 方法及初步應用 2 通過對典型案例 如 質量控制 新藥...