[學業水平訓練]
1．(2014·青島調研)點a(a,1)在橢圓＋＝1的內部，則a的取值範圍是( )
a．－c．－2解析：選a.由題意知＋<1，解得－2．若直線y＝kx＋2與橢圓＋＝1相切，則斜率k的值是( )
a. b．－
c．± d．±
解析：選c.把y＝kx＋2代入＋＝1得
(2＋3k2)x2＋12kx＋6＝0，
由於δ＝0，∴k2＝，∴k＝±.
3．(2014·重慶高二檢測)過橢圓＋＝1的乙個焦點f作垂直於長軸的橢圓的弦，則此弦長為( )
a. b．3
c．2 d.
解析：選b.因為f(±1,0)，所以過橢圓的焦點f且垂直於長軸的弦與橢圓的交點座標為(±1，±)，所以弦長為3.
4．直線y＝x＋1被橢圓＋＝1所截得的弦的中點座標是( )
a. b.
c. d.
解析：選c.把y＝x＋1代入橢圓方程，整理得3x2＋4x－2＝0，
所以弦的中點座標(x0，y0)滿足x0＝＝－，y0＝x0＋1＝－＋1＝.
5．經過橢圓＋y2＝1的右焦點作傾斜角為45°的直線l，交橢圓於a、b兩點，o為座標原點，則·＝( )
a．－3 b．－
c．－或－3 d．±
解析：選b.橢圓右焦點為(1,0)，
設l：y＝x－1，a(x1，y1)，b(x2，y2)，
把y＝x－1代入＋y2＝1，
得3x2－4x＝0.
∴a(0，－1)，b，∴·＝－.
6．橢圓＋y2＝1被直線x－y＋1＝0 所截得的弦長|ab
解析：由得交點為(0,1)，，
則|ab|＝＝.
答案：7．已知橢圓的方程為＋＝1(m＞0)．如果直線y＝x與橢圓的乙個交點m在x軸上的射影恰為橢圓的右焦點f，則橢圓的離心率為________．
解析：焦點在x軸上，由題意知，m.
又∵點m在y＝x上，
∴＝ ，解得m＝2，
∴e＝＝＝.
答案：8．過橢圓＋＝1的右焦點作一條斜率為2的直線與橢圓交於a，b兩點，o為座標原點，則△oab的面積為
解析：將橢圓與直線方程聯立：
解得交點a(0，－2)，b.設右焦點為f，
則s△oab＝·of·|y1－y2|＝×1×＝.
答案：9．已知直線y＝x－與橢圓x2＋4y2＝2，判斷它們的位置關係，若相交，則求出弦長．
解：聯立得方程組消去y得5x2－4x－1＝0，因為δ＝(－4)2－4×5×(－1)＝36＞0，
所以，方程5x2－4x－1＝0有兩個根，則原方程組有兩組解，所以直線與橢圓相交於兩點，
設相交於a(x1，y1)，b(x2，y2)，
因為所以|ab|＝＝
＝·＝，
即所求弦長為.
10．(2014·安陽高二檢測)已知橢圓的兩焦點為f1(－，0)，f2(，0)，離心率e＝.
(1)求此橢圓的方程．
(2)設直線l：y＝x＋m，若l與此橢圓相交於p，q兩點，且|pq|等於橢圓的短軸長，求m的值．
解：(1)設橢圓方程為＋＝1(a＞b＞0)，
則c＝，＝，
∴a＝2，b2＝a2－c2＝1.
∴所求橢圓方程為＋y2＝1.
(2)由消去y，得5x2＋8mx＋4(m2－1)＝0，
則δ＝64m2－80(m2－1)＞0，得m2＜5.(*)
設p(x1，y1)，q(x2，y2)，
則x1＋x2＝－，x1x2＝，
y1－y2＝x1－x2，
|pq|＝
＝＝2.
解得m2＝，滿足(*)，
∴m＝±.
[高考水平訓練]
1．已知橢圓c：＋y2＝1的右焦點為f，直線l：x＝2，點a∈l，線段af交橢圓c於點b，若＝3，則||＝( )
a. b．2
c. d．3
解析：選a.設點a(2，n)，b(x0，y0)．
由橢圓c：＋y2＝1知a2＝2，b2＝1，
∴c2＝1，即c＝1.∴右焦點f(1,0)．
由＝3，得(1，n)＝3(x0－1，y0)．
∴1＝3(x0－1)且n＝3y0.
∴x0＝，y0＝n.
將x0，y0代入＋y2＝1，得×()2＋(n)2＝1.
解得n2＝1，
∴||＝＝＝.
2．在rt△abc中，ab＝ac＝1.如果乙個橢圓通過a，b兩點，它的乙個焦點為點c，另乙個焦點在ab上，則這個橢圓的離心率為________．
解析：設另乙個焦點為f，連線cf，以cf的中點o為原點，建立如圖所示的直角座標系，因為ab＝ac＝1，△abc為直角三角形，
所以bc＝.設橢圓方程為＋＝1(a＞b＞0)，則有ac＋ab＋bc＝1＋1＋＝4a，
則a＝.
設fa＝x，則
解得x＝.
所以1＋()2＝4c2.
解得c＝，e＝＝－.
答案：－
3．已知橢圓＋＝1的弦ab的中點m的座標為(2,1)，求直線ab的方程，並求弦ab的長．
解：設a(x1，y1)、b(x2，y2)．
∵m(2,1)為ab的中點，
∴x1＋x2＝4，y1＋y2＝2.
又a、b兩點在橢圓上，
則x＋4y＝16，x＋4y＝16，
兩式相減，得(x－x)＋4(y－y)＝0，
於是(x1＋x2)(x1－x2)＋4(y1＋y2)(y1－y2)＝0.
∴＝－＝－＝－，
即kab＝－.
故所求直線的方程為x＋2y－4＝0.
由得x2－4x＝0
∴x1＋x2＝4，x1·x2＝0.
∴|ab|＝
＝＝2.
4．在平面直角座標系xoy中，點p到兩點(0，－)，(0，)的距離之和等於4，設點p的軌跡為c.
(1)寫出c的方程；
(2)設直線y＝kx＋1與c交於a，b兩點，k為何值時，⊥？
解：(1)設p(x，y)，由橢圓定義可知，
點p的軌跡c是以(0，－)，(0，)為焦點，長半軸長為2的橢圓．它的短半軸長b＝＝1，
故曲線c的方程為x2＋＝1.
(2)設a(x1，y1)，b(x2，y2)，
其座標滿足
消去y，並整理得(k2＋4)x2＋2kx－3＝0，
故x1＋x2＝－，x1x2＝－.
∵⊥，∴x1x2＋y1y2＝0.
∵y1y2＝k2x1x2＋k(x1＋x2)＋1，
於是x1x2＋y1y2
＝－－－＋1
＝.又x1x2＋y1y2＝0，
∴k＝±.
橢圓及其標準方程說課
尊敬的各位評委 老師 大家好！今天我說課的內容是 橢圓及其標準方程 第一課時，選自人教a版高中數學教科書選修2 1第二章第一節。下面，我就從教學背景分析 教學方法分析 教學過程分析 教學設計意圖等四個方面闡述我對本節課的構思。一 教學背景分析 一 教材的地位與作用 橢圓及其標準方程 是繼學習圓以後運...
橢圓及其標準方程練習題
知識要點 1 橢圓定義 平面內與兩個定點的距離之和等於常數 大於 2a 的點的軌跡叫作橢圓，這兩個定點叫做橢圓的焦點，兩焦點間的距離叫做橢圓的焦距 2c 2 橢圓定義的符號表述 3 橢圓標準方程 橢圓的定義 橢圓的標準方程 橢圓的性質 經典例題 例1.根據定義推導橢圓標準方程.解 如圖,取過焦點的直...
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