共點力作用下物體的平衡
知識點複習
一、物體的平衡
物體的平衡有兩種情況：一是質點靜止或做勻速直線運動，物體的加速度為零；二是物體不轉動或勻速轉動（此時的物體不能看作質點）。
點評：對於共點力作用下物體的平衡，不要認為只有靜止才是平衡狀態，勻速直線運動也是物體的平衡狀態．因此，靜止的物體一定平衡，但平衡的物體不一定靜止．還需注意，不要把速度為零和靜止狀態相混淆，靜止狀態是物體在一段時間內保持速度為零不變，其加速度為零，而物體速度為零可能是物體靜止，也可能是物體做變速運動中的乙個狀態，加速度不為零。由此可見，靜止的物體速度一定為零，但速度為零的物體不一定靜止．因此，靜止的物體一定處於平衡狀態，但速度為零的物體不一定處於靜止狀態。
總之，共點力作用下的物體只要物體的加速度為零，它一定處於平衡狀態，只要物體的加速度不為零，它一定處於非平衡狀態。
二、共點力作用下物體的平衡
1．共點力
幾個力作用於物體的同一點，或它們的作用線交於同一點（該點不一定在物體上），這幾個力叫共點力。
2．共點力的平衡條件
在共點力作用下物體的平衡條件是合力為零，即f合＝0或fx合＝0，fy合＝0
3．判定定理
物體在三個互不平行的力的作用下處於平衡，則這三個力必為共點力。（表示這三個力的向量首尾相接，恰能組成乙個封閉三角形）
4．解題方法
當物體在兩個共點力作用下平衡時，這兩個力一定等值反向；當物體在三個共點力作用下平衡時，往往採用平行四邊形定則或三角形定則；當物體在四個或四個以上共點力作用下平衡時，往往採用正交分解法。
【例1】（1）下列哪組力作用在物體上，有可能使物體處於平衡狀態
a．3n，4n，8nb．3n，5n，1n
c．4n，7n，8nd．7n，9n，6n
（2）用手施水平力將物體壓在豎直牆壁上，在物體始終保持靜止的情況下a．壓力加大，物體受的靜摩擦力也加大
b．壓力減小，物體受的靜摩擦力也減小
c．物體所受靜摩擦力為定值，與壓力大小無關
d．不論物體的壓力改變與否，它受到的靜摩擦力總等於重力
（3）如下圖所示，木塊在水平桌面上，受水平力f1 =10n，f2 =3n而靜止，當撤去f1後，木塊仍靜止，則此時木塊受的合力為
a．0b．水平向右，3n
c．水平向左，7n d．水平向右，7n
解析：（1）cd 在共點力作用下物體的平衡條件是合力為零，即f合＝0。只有cd兩個選項中的三個力合力為零。
（2）cd 物體始終保持靜止，即是指物體一直處於平衡狀態，則據共點力作用下物體的平衡條件有
對物體受力分析，如下圖
可得f = fn ，ff = g
（3）a 撤去f1後，木塊仍靜止，則此時木塊仍處於平衡狀態，故木塊受的合力為0．
【例2】氫氣球重10 n，空氣對它的浮力為16 n，用繩拴住，由於受水平風力作用，繩子與豎直方向成30°角，則繩子的拉力大小是水平風力的大小是
解析：氣球受到四個力的作用：重力g、浮力f1、水平風力f2和繩的拉力f3，如圖所示由平衡條件可得
f1=g+f3cos30°
f2=f3sin30°
解得 f3=n f1=2n
答案：4n 2n
三、綜合應用舉例
1．靜平衡問題的分析方法
【例3】(2023年理綜)如圖甲所示，乙個半球形的碗放在桌面上，碗口水平，o點為其球心，碗的內表面及碗口是光滑的。一根細線跨在碗口上，線的兩端分別系有質量為m1和m2的小球，當它們處於平衡狀態時，質量為m1的小球與o點的連線與水平線的夾角為α=60°。兩小球的質量比為
abcd．
點評：此題設計巧妙，考查分析綜合能力和運用數學處理物理問題的能力，要求考生對於給出的具體事例，選擇小球m1為物件，分析它處於平衡狀態，再用幾何圖形處理問題，從而得出結論。
解析：小球受重力m1g、繩拉力f2=m2g和支援力f1的作用而平衡。如圖乙所示，由平衡條件得，f1= f2，，得。故選項a正確。
2．動態平衡類問題的分析方法
【例4】 重g的光滑小球靜止在固定斜面和豎直擋板之間。若擋板逆時針緩慢轉到水平位置，在該過程中，斜面和擋板對小球的彈力的大小f1、f2各如何變化
解：由於擋板是緩慢轉動的，可以認為每個時刻小球都處於靜止狀態，因此所受合力為零。應用三角形定則，g、f1、f2三個向量應組成封閉三角形，其中g的大小、方向始終保持不變；f1的方向不變；f2的起點在g的終點處，而終點必須在f1所在的直線上，由作圖可知，擋板逆時針轉動90°過程，f2向量也逆時針轉動90°，因此f1逐漸變小，f2先變小後變大。
（當f2⊥f1，即擋板與斜面垂直時，f2最小）
點評：力的**法是解決動態平衡類問題的常用分析方法。這種方法的優點是形象直觀。
【例5】如圖7所示整個裝置靜止時，繩與豎直方向的夾角為30。ab連線與ob垂直。若使帶電小球a的電量加倍，帶電小球b重新穩定時繩的拉力多大？
【解析】小球a電量加倍後，球b仍受重力g、繩的拉力t、庫倫力f，但三力的方向已不再具有特殊的幾何關係。若用正交分解法，設角度，列方程，很難有結果。此時應改變思路，並比較兩個平衡狀態之間有無必然聯絡。
於是變正交分解為力的合成，注意觀察，不難發現：aob與fbt′圍成的三角形相似，則有：ao/g=ob/t。
說明系統處於不同的平衡狀態時，拉力t大小不變。由球a電量未加倍時這一特殊狀態可以得到：t=gcos30。
球a電量加倍平衡後，繩的拉力仍是gcos30。
點評：相似三角形法是解平衡問題時常遇到的一種方法，解題的關鍵是正確的受力分析，尋找力三角形和結構三角形相似。
3．平衡問題中的極值分析
【例6】跨過定滑輪的輕繩兩端，分別繫著物體a和物體b，物體a放在傾角為θ的斜面上（如圖l—4－3（甲）所示），已知物體a的質量為m ，物體a與斜面的動摩擦因數為μ(μ解析：先選物體b為研究物件，它受到重力mbg和拉力t的作用，根據平衡條件有：
t=mbg ①
再選物體a為研究物件，它受到重力mg、斜面支援力n、輕繩拉力t和斜面的摩擦力作用，假設物體a處於將要上滑的臨界狀態，則物體a受的靜摩擦力最大，且方向沿斜面向下，這時a的受力情況如圖（乙）所示，根據平衡條件有：
n-mgcosθ＝0 ②
t-fm- mgsinθ＝0 ③
由摩擦力公式知：fm=μn ④
以上四式聯立解得mb=m(sinθ＋μcosθ)
再假設物體a處於將要下滑的臨界狀態，則物體a受的靜摩擦力最大，且方向沿斜面向上，根據平衡條件有：
n-mgcosθ=0 ⑤
t＋fm- mgsinθ=0 ⑥
由摩擦力公式知：fm=μn
①⑤⑥⑦四式聯立解得mb=m(sinθ-μcosθ)
綜上所述，物體b的質量的取值範圍是：m(sinθ-μcosθ)≤mb≤m(sinθ＋μcosθ)
【例7】 用與豎直方向成α=30°斜向右上方，大小為f的推力把乙個重量為g的木塊壓在粗糙豎直牆上保持靜止。求牆對木塊的正壓力大小n和牆對木塊的摩擦力大小f。
解：從分析木塊受力知，重力為g，豎直向下，推力f與豎直成30°斜向右上方，牆對木塊的彈力大小跟f的水平分力平衡，所以n=f/2，牆對木塊的摩擦力是靜摩擦力，其大小和方向由f的豎直分力和重力大小的關係而決定：
當時，f=0；當時，，方向豎直向下；當時，，方向豎直向上。
點評：靜摩擦力是被動力，其大小和方向均隨外力的改變而改變，因此，在解決這類問題時，思維要靈活，思考要全面。否則，很容易造成漏解或錯解。
4．整體法與隔離法的應用
【例8】 有乙個直角支架aob，ao水平放置，表面粗糙， ob豎直向下，表面光滑。ao上套有小環p，ob上套有小環q，兩環質量均為m，兩環由一根質量可忽略、不可伸長的細繩相連，並在某一位置平衡（如圖所示）。現將p環向左移一小段距離，兩環再次達到平衡，那麼將移動後的平衡狀態和原來的平衡狀態比較，ao杆對p環的支援力fn和摩擦力f的變化情況是
a．fn不變，f變大 b．fn不變，f變小 c．fn變大，f變大 d．fn變大，f變小
解：以兩環和細繩整體為物件求fn，可知豎直方向上始終二力平衡，fn=2mg不變；以q環為物件，在重力、細繩拉力f和ob壓力n作用下平衡，設細繩和豎直方向的夾角為α，則p環向左移的過程中α將減小，n=mgtanα也將減小。再以整體為物件，水平方向只有ob對q的壓力n和oa 對p環的摩擦力f作用，因此f=n也減小。
答案選b。
點評：正確選取研究物件，可以使複雜的問題簡單化，整體法是力學中經常用到的一種方法。
【例9】如圖1所示，甲、乙兩個帶電小球的質量均為m，所帶電量分別為q和-q，兩球間用絕緣細線連線，甲球又用絕緣細線懸掛在天花板上，在兩球所在的空間有方向向左的勻強電場，電場強度為e，平衡時細線都被拉緊．
（1）平衡時可能位置是圖1中的（ ）
（2）1、2兩根絕緣細線的拉力大小分別為（ ）
a．， b．，
c．， d．，
解析：（1）若完全用隔離法分析，那麼很難通過對甲球的分析來確定上邊細繩的位置，好像a、b、c都是可能的，只有d不可能．用整體法分析，把兩個小球看作乙個整體，此整體受到的外力為豎直向下的重力2mg，水平向左的電場力qe（甲受到的）、水平向右的電場力qe（乙受到的）和上邊細繩的拉力；兩電場力相互抵消，則繩1的拉力一定與重力（2mg）等大反向，即繩1一定豎直，顯然只有a、d可能對．
再用隔離法，分析乙球受力的情況．乙球受到向下的重力mg，水平向右的電場力qe，繩2的拉力f2，甲對乙的吸引力f引．要使得乙球平衡，繩2必須傾斜，如圖2所示．故應選a．
（2）由上面用整體法的分析，繩1對甲的拉力f1=2mg．由乙球的受力圖可知
因此有應選d
點評：若研究物件由多個物體組成，首先考慮運用整體法，這樣受力情況比較簡單，在本題中，馬上可以判斷繩子1是豎直的；但整體法並不能求出系統內物體間的相互作用力，故此時需要使用隔離法，所以整體法和隔離法常常交替使用．
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c.m1 m2 d.無法確定 6 如圖所示，左側是傾角為60 的斜面 右側是1 4圓弧面的物體a固定在水平地面上，圓弧面底端的切線水平。一根輕繩兩端分別系有質量為m1 m2的小球，跨過a頂端的定滑輪，當兩球處於平衡狀態時，右側輕繩與水平方向夾角為60 不計一切摩擦，兩小球可視為質點，則兩小球的質量之...
共點力的平衡
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1 共點力的平衡
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