數學f1 平面向量的概念及其線性運算
5．、[2014·遼寧卷] 設a，b，c是非零向量，已知命題p：若a·b＝0，b·c＝0，則a·c＝0，命題q：若a∥b，b∥c，則a∥c，則下列命題中真命題是( )
a．p∨q b．p∧q
c．(綈p)∧(綈q) d．p∨(綈q)
5．a [解析] 由向量數量積的幾何意義可知，命題p為假命題；命題q中，當b≠0時，a，c一定共線，故命題q是真命題．故p∨q為真命題．
15．[2014·新課標全國卷ⅰ] 已知a，b，c為圓o上的三點，若＝(＋)，則與的夾角為________．
15．90° [解析] 由題易知點o為bc的中點，即bc為圓o的直徑，故在△abc中，bc對應的角a為直角，即ac與ab的夾角為90°.
7．[2014·四川卷] 平面向量a＝(1，2)，b＝(4，2)，c＝ma＋b(m∈r)，且c與a的夾角等於c與b的夾角，則m＝( )
a．－2 b．－1
c．1 d．2
7．2 [解析] c＝ma＋b＝(m＋4，2m＋2)，由題意知＝，即＝，即5m＋8＝，解得m＝2.
f2 平面向量基本定理及向量座標運算
4．[2014·重慶卷] 已知向量a＝(k，3)，b＝(1，4)，c＝(2，1)，且(2a－3b)⊥c，則實數k＝( )
a．－ b．0
c．3 d.
4．c [解析] ∵2a－3b＝2(k，3)－3(1，4)＝(2k－3，－6)，又(2a－3b)⊥c，∴(2k－3)×2＋(－6)＝0，解得k＝3.
8．[2014·福建卷] 在下列向量組中，可以把向量a＝(3，2)表示出來的是( )
a．e1＝(0，0)，e2＝(1，2)
b．e1＝(－1，2)，e2＝(5，－2)
c．e1＝(3，5)，e2＝(6，10)
d．e1＝(2，－3)，e2＝(－2，3)
8．b [解析] 由向量共線定理，選項a，c，d中的向量組是共線向量，不能作為基底；而選項b中的向量組不共線，可以作為基底，故選b.
16．，[2014·山東卷] 已知向量a＝(m，cos 2x)，b＝(sin 2x，n)，函式f(x)＝a·b，且y＝f(x)的影象過點和點.
(1)求m，n的值；
(2)將y＝f(x)的影象向左平移φ(0＜φ＜π)個單位後得到函式y＝g(x)的影象，若y＝g(x)影象上各最高點到點(0，3)的距離的最小值為1，求y＝g(x)的單調遞增區間．
16．解：(1)由題意知，f(x)＝＝msin 2x＋ncos 2x.
因為y＝f(x)的影象過點和點，所以即
解得m＝，n＝1.
(2)由(1)知f(x)＝sin 2x＋cos 2x＝2sin.
由題意知，g(x)＝f(x＋φ)＝2sin.
設y＝g(x)的影象上符合題意的最高點為(x0，2)．
由題意知，x＋1＝1，所以x0＝0，
即到點(0，3)的距離為1的最高點為(0，2)．
將其代入y＝g(x)得，sin＝1.
因為0<φ<π，所以φ＝.
因此，g(x)＝2sin＝2cos 2x.
由2kπ－π≤2x≤2kπ，k∈z得kπ－≤x≤kπ，k∈z，
所以函式y＝g(x)的單調遞增區間為，k∈z.
13．[2014·陝西卷] 設0<θ<，向量a＝(sin 2θ，cos θ)，b＝(cos θ，1)，若a∥b，則tan
13. [解析] 因為向量a∥b，所以sin 2θ－cos θ·cos θ＝0，又cos θ≠0，所以2sin θ＝cos θ，故tan θ＝.
18．，[2014·陝西卷] 在直角座標系xoy中，已知點a(1，1)，b(2，3)，c(3，2)，點p(x，y)在△abc三邊圍成的區域(含邊界)上．
(1)若＋＋＝0，求||；
(2)設＝m＋n (m，n∈r)，用x，y表示m－n，並求m－n的最大值．
18．解：(1)方法一：∵＋＋＝0，
又＋＋＝(1－x，1－y)＋(2－x，3－y)＋(3－x，2－y)＝(6－3x，6－3y)，
∴解得即＝(2，2)，故||＝2.
方法二：∵＋＋＝0，
則0，∴＝(＋＋)＝(2，2)，
∴||＝2.
(2)∵＝m＋n，
∴(x，y)＝(m＋2n，2m＋n)，
∴兩式相減得，m－n＝y－x，
令y－x＝t，由圖知，當直線y＝x＋t過點b(2，3)時，t取得最大值1，故m－n的最大值為1.
f3 平面向量的數量積及應用
10．[2014·北京卷] 已知向量a，b滿足|a|＝1，b＝(2，1)，且λa＋b＝0(λ∈r)，則
10. [解析] ∵λa＋b＝0，∴λa＝－b，
∴|λ|＝＝＝.
11．[2014·湖北卷] 設向量a＝(3，3)，b＝(1，－1)．若(a＋λb)⊥(a－λb)，則實數
11．±3 [解析] 因為a＋λb＝(3＋λ，3－λ)，a－λb＝(3－λ，3＋λ)，又(a＋λb)⊥(a－λb)，所以(a＋λb)·(a－λb)＝(3＋λ)(3－λ)＋(3－λ)(3＋λ)＝0，解得λ＝±3.
14．[2014·江西卷] 已知單位向量e1與e2的夾角為α，且cos α＝，向量a＝3e1－2e2與b＝3e1－e2的夾角為β，則cos
14. [解析] cos β＝＝＝
＝＝＝.
4．[2014·全國卷] 若向量a，b滿足：＝1，(a＋b)⊥a，(＋b)⊥b，則|＝( )
a．2 b.
c．1 d.
4．b [解析] 因為(a＋b)⊥a，所以(a＋b)＝0，即2＋＝因為(＋b)⊥b，所以(＋b)＝0，即b＋2＝0，與2＋＝0聯立，可得－2＝0，所以＝＝.
3．[2014·新課標全國卷ⅱ] 設向量a，b滿足|a＋b|＝，|a－b|＝，則＝( )
a．1 b．2 c．3 d．5
3．a [解析] 由已知得|a＋b|2＝10，|a－b|2＝6，兩式相減，得4a·b＝4，所以a·b＝1.
12．，[2014·山東卷] 在△abc中，已知·＝tan a，當a＝時，△abc的面積為______．
12. [解析] 因為ab·ac＝||·||cos a＝tan a，且a＝，所以||·||＝，所以△abc的面積s＝||·||sin a＝××sin＝.
8．[2014·天津卷] 已知菱形abcd的邊長為2，∠bad＝120°，點e，f分別在邊bc，dc上，be＝λbc，df＝μdc.若·＝1，·＝－，則λ＋μ＝( )
a. b. c. d.
8．c [解析] 建立如圖所示的座標系，則a(－1，0)，b(0，－)，c(1，0)，d(0，)．設e(x1，y1)，f(x2，y2)．由be＝λbc得(x1，y1＋)＝λ(1，)，解得即點e(λ， (λ－1))．由＝μ得(x2，y2－)＝μ(1，－)，解得即點f(μ， (1－μ))．又∵ae·af＝(λ＋1， (λ－1))·(μ＋1， (1－μ))＝1，①
·＝(λ－1, (λ－1))·(μ－1, (1－μ))＝－.②
①－②得λ＋μ＝.
f4 單元綜合
15．[2014·安徽卷] 已知兩個不相等的非零向量a，b，兩組向量，，，，和，，，，均由2個a和3個b排列而成．記s＝x1·y1＋x2·y2＋x3·y3＋x4·y4＋x5·y5，smin表示s所有可能取值中的最小值，則下列命題正確的是________(寫出所有正確命題的編號)．
①s有5個不同的值
②若a⊥b，則smin與|a|無關
③若a∥b，則smin與|b|無關
④若|b|＞4|a|，則smin＞0
⑤若|b|＝2|a|，smin＝8|a|2，則a與b的夾角為
15．②④ [解析] s可能的取值有3種情況：s1＝2＋，＝＋＋b，s3＝＋·b，所以s最多只有3個不同的值．
因為a，b是不相等的向量，所以s1－s3＝2＋2－4a·b＝2(a－b)>0，s1－s2＝＋－b＝(a－b)2>0，s2－s3＝(a－b)>0，所以s3對於①，可知明顯錯誤；
對於②，當a⊥b時， smin與|a|無關，故②正確；
對於③，當a∥b時，smin與|b|有關，故③錯誤；
對於④，設a，b的夾角為θ，則smin＝b2＋4＝|b2|＋4|b|cos θ>||－4|a||－2＝0，所以smin>0，故④正確；
對於⑤，|b|＝2|a|，smin＝4|a|2＋8|a|2cos θ＝8|a|2，所以cos θ＝，又θ∈[0，π]，所以θ＝，故⑤錯誤．
16．[2014·湖南卷] 在平面直角座標系中，o為原點，a(－1，0)，b(0，)，c(3，0)，動點d滿足||＝1，則|＋＋|的最大值是________．
16．1＋ [解析] 由||＝1，得動點d在以c為圓心，半徑為1的圓上，故可設d(3＋cos α，sin α)，
所以oa＋ob＋od＝(2＋cos α，＋sin α)，所以|oa＋ob＋od|2＝(2＋cos α)2＋(＋sin α)2＝8＋4cos α＋2sin α＝8＋2sin (α＋φ)，
所以(|＋＋|2)max＝8＋2，即|＋＋|max＝＋1.
10．，[2014·四川卷] 已知f為拋物線y2＝x的焦點，點a，b在該拋物線上且位於x軸的兩側，·＝2(其中o為座標原點)，則△abo與△afo面積之和的最小值是( )
a．2 b．3 c. d.
F單元平面向量各地2023年高考題
數學f單元平面向量 f1 平面向量的概念及其線性運算 5 2014 遼寧卷 設a，b，c是非零向量，已知命題p 若a b 0，b c 0，則a c 0，命題q 若a b，b c，則a c，則下列命題中真命題是 a p q b p q c 綈p 綈q d p 綈q 5 a15 2014 新課標全國卷 ...
平面向量單元測試
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平面向量單元測試題
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