24.1 圓的有關性質
24．1.1 圓
教學目標
1．理解圓、弧、等弧、弦、等圓、半圓、直徑等有關概念．
2．能初步應用「同圓的半徑相等」及「圓心是任一直徑的中點」進行簡單的證明和計算．
教學重點
圓的有關概念．
教學難點
圓、等圓、弧、等弧、弦、半圓、直徑等有關概念的區別與聯絡．
教學設計一師一優課一課一名師 (設計者： )
教學過程設計
一、創設情景明確目標
圓是生活中常見的圖形，許多物體都給我們以圓的形象．
請你舉出生活中一些圓的例子．從本節課開始，我們將會更清楚地了解圓以及一些相關的概念和性質．
二、自主學習指向目標
1．自學教材第79至80頁．
2．學習至此：請完成學生用書「課前預習」部分．
三、合作**達成目標
**點一圓的定義及表示
活動一：圓的定義．
圖1(1)從旋轉的角度理解：如圖1，在乙個平面內，線段oa繞它固定的乙個端點o__旋轉一周__，另乙個端點a所形成的圖形叫做圓，固定的端點o叫做__圓心__，線段oa叫做__半徑__．
【展示點評】①在平面內畫出圓，必須明確圓心和半徑兩個要素，__圓心__確定位置，__半徑__確定大小．
②以點o為圓心的圓，記作「⊙o」，讀作「圓o」．那麼以點a為圓心的圓，記作__⊙a__，讀作__圓a__．
(2)從集合的觀點理解：圓心為o、半徑為r的圓可以看成是所有__到定點o的距離等於定長r__的點的集合．
【小組討論】圓和圓面有何不同？如何證明幾個點在同乙個圓上？
【反思小結】線段oa繞它的固定的乙個端點o旋轉一周所形成的圖形叫做圓面，而圓是乙個封閉的曲線圖形，指的是圓周．證明幾個點在同乙個圓上，就是證明這幾個點到乙個定點的距離________．
【針對訓練】見學生用書「當堂練習」知識點一
**點二圓的相關概念
圖2活動二：1.連線圓上任意兩點的__線段__叫做弦，經過圓心的弦叫做__直徑__．如圖2，__ab__是⊙o的直徑；在⊙o中，線段__ac__是弦．
思考：弦與直徑有什麼關係？
【展示點評】直徑是經過圓心的弦．
2．圓弧是圓上__任意兩點間的部分__，簡稱弧．圓的任意一條直徑的兩個端點把圓分成兩條弧，每一條弧都叫做__半圓__．大於__半圓__的弧叫做優弧，小於__半圓__的弧叫做劣弧．
思考：(1)「半圓是弧，弧是半圓」這種說法正確嗎？
【展示點評】半圓是弧，但弧不一定是半圓．
(2)弧的表示：以a，b為端點的弧記作ab，讀作「圓弧ab」或「弧ab」，那麼以m，n為端點的弧記作__mn ，讀作__弧mn__．如圖2，弦ac所對的弧有兩條，其中優弧記作__abc ，劣弧記作__ac ．
3．能夠__重合__的兩個圓叫做等圓．「由半徑相等的兩個圓是等圓」．
在同圓或等圓中，能夠互相__重合__的弧叫做等弧．
【小組討論】弦和直徑有何聯絡和區別？弧與半圓有何區別和聯絡？
【反思小結】在理解圓的相關概念時要結合圖形加強直觀理解，特別要注意弦與直徑，弧與半圓的區別與聯絡．直徑是弦，但弦不一定是直徑，半圓是弧，但弧不一定是半圓．
【針對訓練】見學生用書「當堂練習」知識點二
四、總結梳理內化目標
1．圓圓的定義描述性定義
集合定義
圓的表示法、讀法
圓的相關概念
2．應用：同圓的半徑相等，圓心是任一直徑的中點．
五、達標檢測反思目標
1．下列命題正確的有( a )
①弦是圓上任意兩點之間的部分 ②半徑是弦 ③直徑是最長的弦 ④弦是半圓，半圓是弦
a．1個 b．2個 c．3個 d．4個
2．⊙o中若弦ab等於⊙o的半徑，則△aob的形狀是__等邊三角形__．
3．如圖，已知ab是⊙o的直徑，點c在⊙o上，點d是bc的中點，若ac＝10cm，則od＝__5__cm.
4．如圖，已知在⊙o中，ab、cd為直徑，則ad與bc的關係是( c )．
a．ad＝bc
b．ad∥bc
c．ad∥bc且ad＝bc
d．不能確定
5．如圖，在rt△abc中，∠acb＝90°，點d是ab的中點，求證：a、b、c三點共在同一圓上．
證明：∵在rt△abc中，d是ab的中點，∴cd＝1,2ab，∵ad＝bd＝
1,2ab，∴ad＝bd＝cd，∴點a、b、c在以d為圓心，ad長為半徑的圓上．
六、布置作業鞏固目標
1．上交作業教材第81頁練習第1，3題．
2．課後作業見學生用書的「課後作業」部分．
教學反思__
24．1.2 垂直於弦的直徑
教學目標
1．探索並了解圓的對稱性和垂徑定理．
2．能運用垂徑定理解決幾何證明、計算和作圖問題，並會解決一些實際問題．
教學重點
垂徑定理及推論．
教學難點
發現並證明垂徑定理．
教學設計一師一優課一課一名師 (設計者： )
教學過程設計
一、創設情景明確目標
問題：你知道趙州橋嗎？它是1300多年前我國隋代建造的石拱橋，是我國古代人民勤勞與智慧型的結晶．它的主橋拱是圓弧形，它的跨度(弧所對的弦的長)為37.
4m, 拱高(弧的中點到弦的距離)為7.2m，你能求出趙州橋主橋拱的半徑嗎？
二、自主學習指向目標
1．自讀教材第81至83頁．
2．學習至此：請完成學生用書「課前預習」部分．
三、合作**達成目標
**點一垂徑定理及其推論．
活動一：出示教材第81頁「**」，實踐操作，問1：我們知道，圓是軸對稱圖形，那麼圓的對稱軸有多少條？圓的任何一條直徑都是它的對稱軸，這種說法正確嗎？
問2：如何證明圓是軸對稱圖形？
【展示點評】圓有無數條對稱軸，直徑所在的直線是它的對稱軸；因為對稱軸是直線，而直徑是線段，所以不能說「直徑是圓的對稱軸」．
問3：如圖，當cd⊥直徑ab時，你還可以得到什麼結論？
【展示點評】符號語言：
∵ab為⊙o的直徑，ab⊥cd，∴__ce__＝__ed__，
__ac ＝__ad ，__cb ＝__bd ．
(2)垂徑定理的推論：
__平分__弦(不是直徑)的直徑垂直於弦，並且__平分__弦所對的兩條孤．
符號語言：如圖，在⊙o中，ab是直徑，非直徑的弦cd與ab相交於點e，且ce＝de.
∵ab是直徑，ce＝de，
∴__ab⊥cd__，__ac＝ad ，__cb＝bd ．
【小組討論】為什麼要在垂徑定理的推論中，加上「(不是直徑)」這一限制條件？
【反思小結】學習垂徑定理要注意：(1)條件中的「弦」可以是直徑．(2)結論中的「平分弧」指平分弦所對的劣弧、優弧．學習垂徑定理的推論時，一定要注意「弦不是直徑」這一條件．這是因為圓的任意兩條直徑互相平分，但是它們不一定是互相垂直的．
【針對訓練】見學生用書「當堂練習」知識點一
**點二垂徑定理的應用
活動三：出示教材第82頁例2.
思考：從數學的角度分析已知什麼幾何圖形？畫出圖形，分析已知哪些量？要求什麼量？為了解決問題，教材新增了什麼輔助線？它有何作用？
【小組討論】在解決此類問題中，常作輔助線的方法是什麼？
【反思小結】在圓中解決有關弦的問題時，常常需要作「垂直於弦的直徑」作為輔助線．實際上，往往只需從圓心作一條與弦垂直的線段即可．這樣，把垂徑定理和勾股定理結合起來，容易得到圓的半徑r，圓心到弦的距離d，弦長a之間的關係式__r__2＝__d__2＋__(a,2)__2.
【針對訓練】見學生用書「當堂練習」知識點二
四、總結梳理內化目標
1．垂直於弦的直徑圓的軸對稱：________
垂徑定理：________
垂徑定理的推論：________
利用垂徑定理解決問題
2．一種輔助線和一種數學思想方法．
五、達標檢測反思目標
1．如圖，ab是⊙o的直徑，bc是弦，od⊥bc，垂足為d，已知od＝5，則弦ac＝__10__.
2．若圓的半徑為2 cm，圓中一條弦長為23 cm，則此弦中點到此弦所對劣弧中點的距離是__1__cm.
第1題圖
第3題圖
3．如圖，⊙o的半徑為5，弦ab＝8，m是弦ab上的動點，則om不可能為( a )
a．2 b．3 c．4 d．5
4．在半徑為5 cm的圓中，弦ab∥cd，ab＝6 cm，cd＝8 cm，則ab和cd的距離是( d )
a．7 cm b．1 cm c．7 cm或4 cm d．7 cm或1 cm
六、布置作業鞏固目標
1．上交作業教材第89頁習題24.1第2，8題．
2．課後作業見學生用書的「課後作業」部分．
教學反思__
24．1.3 弧、弦、圓心角
教學目標
1．了解圓心角的概念．
2．探索並掌握弧、弦、圓心角的關係，了解圓的中心對稱性和旋轉不變性．
3．能用弧、弦、圓心角的關係解決圓中的計算和證明．
教學重點
弧、弦、圓心角關係定理及推論．
教學難點
定理的探索、證明過程． 教學設計一師一優課一課一名師 (設計者： )
教學過程設計
一、創設情景明確目標
剪乙個圓形紙片，把它繞圓心旋轉180°，所得的圖形與原圖形重合嗎？由此你能得到什麼結論？把圓繞圓心旋轉任意乙個角度呢？
二、自主學習指向目標
1．自讀教材第83至84頁．
2．學習至此：請完成學生用書「課前預習」部分．
三、合作**達成目標
**點一圓心角
活動一：出示教材第83頁「**」，問1：你能得到什麼結論？
問2：把圓繞圓心旋轉任意乙個角度呢？
【展示點評】圓是中心對稱圖形，同時也具有旋轉對稱性，頂點在圓心的角叫做圓心角．
【針對訓練】見學生用書「當堂練習」知識點一
**點二弧、弦、圓心角之間的關係
活動二：出示教材第84頁思考，問1：ab和a'b'，弦ab和弦a'b'相等嗎？
問2：如何證明它們的相等關係．
思考：圓是旋轉對稱的，即圓繞圓心旋轉任意乙個角度，都能與原來的圖形重合．那麼，弧、弦、圓心角之間有何關係？
【展示點評】定理：在同圓或等圓中，相等的圓心角所對的弧相等，所對的弦也相等．
符號語言：在⊙o中，∵∠aob＝∠a′ob′，
∴ab＝a′b′.
推論：12
符號語言：12
【小組討論】同圓或等圓中，兩個圓心角，兩條弧，兩條弦中如果有一組量相等，則它們所對應的其餘各組量有什麼關係？
圓的有關性質的應用
教學目標 通過梳理圓的有關性質以及利用圓的性質進行計算的方法，在較複雜的背景下分析出隱含的基本圖形，通過新增適當的輔助線，構造或分解基本圖形 經歷將較複雜問題轉化為易解決問題的過程，提高解決綜合問題的能力。教學重點 進一步理解圓的有關知識，能靈活運用這些知識解決有關圓的綜合題。教學難點 在較複雜的背...
圓的有關性質知識總結
1 圓的定義 圓的定義有兩種 2 圓的內部 外部3 點與圓的位置關係 點在圓外 d r 點在圓上 d r 點在圓內 d r 4 與圓有關的概念 弦 直徑 弧 半圓 優弧 劣弧 弓形 同心圓 等圓 等弧 14 過三點的圓 1定理 不在同直線上的三點確定乙個圓。2 三角形的外接圓 三角形的外心及圓內接三...
圓的有關性質與證明
1 如圖，ab是 o的直徑，c是弧bd的中點，ce ab，垂足為e,bd交ce於f 1 求證 cf bf 2 若ad 2，o的半徑為3，求bc的長 2 如圖，ab是 o的直徑，d是 o上的一點，過o作ab的垂線交ad與e,交bd的延長線於c,f是ce上一點，且fd fe.1 求證 fd是 o的切線 ...