知識考點：
1、理解圓的定義，掌握點與圓的位置關係；
2、理解弦、弧、半圓、優弧、同心圓、等圓、等弧、弓形、圓心角、圓周角等與圓有關的概念；
3、掌握圓心角、弧、弦、弦心距之間的關係，並會運用這些關係解決一些幾何證明題和計算題。
圓的形成性描述：在乙個平面內，線段oa繞它固定的o一端旋轉一周，另一端點a所形成的圖形叫做圓，固定的端點叫做圓心，線段oa叫做半徑。
以點o為圓心的圓記作「 」
1.圓是定點的距離等於定長的點的集合
2、圓的內部可以看作是圓心的距離小於半徑的點的集合
3、圓的外部可以看作是圓心的距離大於半徑的點的集合
圓弧和弦：圓上任意兩點間的部分叫做圓弧，簡稱弧。大於半圓的弧稱為優弧，小於半圓的弧稱為劣弧。連線圓上任意兩點的線段叫做弦。經過圓心的弦叫做直徑
4、同圓或等圓的半徑相等
5、和已知線段兩個端點的距離相等的點的軌跡，是著條線段的垂直平分線
6、到已知角的兩邊距離相等的點的軌跡，是這個角的平分線
7、到兩條平行線距離相等的點的軌跡，是和這兩條平行線平行且距離相等的一條直線
8、不在通一條直線上的三點確定乙個圓
垂徑定理:垂直於弦的直徑平分這條弦並且平分弦所對的兩條弧
推論1：
①平分弦（不是直徑）的直徑垂直於弦，並且平分弦所對的兩條弧
②弦的垂直平分線經過圓心，並且平分弦所對的兩條弧
③平分弦所對的一條弧的直徑，垂直平分弦，並且平分弦所對的另一條弧
12、推論2：圓的兩條平行弦所夾的弧相等
13、圓是以圓心為對稱中心的中心對稱圖形
14、定理：在同圓或等圓中，相等的圓心角所對的弧相等，所對的弦相等，所對的弦的弦心距相等
圓心角定義：頂點在圓心上，角的兩邊與圓周相交的角叫圓心角
圓心角定理：在同圓或等圓中，相等的圓心角所對的弧相等，所對的弦相等，所對的弦心距也相等。
在同圓或等圓中，如果兩條弧相等，那麼他們所對的圓心角相等，所對的弦相等，所對的弦心距也相等。
在同圓或等圓中，如果兩條弦相等，那麼他們所對的圓心角相等，所對的弧相等，所對的弦心距也相等。
推論：在同圓或等圓中，兩個圓心角、兩條弧、兩條弦中有一組量相等，它們所對應的其餘各組量也相等。
圓周角定義：頂點在圓上，並且兩邊都與圓相交的角叫做圓周角。
圓周角定理：
同弧或等弧所對圓周角等於它所對圓心角的一半。這一定理叫做圓周角定理。
定理證明
已知在⊙o中，∠boc與圓周角∠bac同對弧bc，求證：∠boc=2∠bac.
證明：情況1：
如圖1，當圓心o在∠bac的一邊上時，即a、o、b在同一直線上時：
圖1∵oa、oc是半徑
解：∴oa=oc
∴∠bac=∠aco（等邊對等角）
∵∠boc是△aoc的外角
∴∠boc=∠bac+∠aco=2∠bac
情況2：
如圖2,，當圓心o在∠bac的內部時：
連線ao，並延長ao交⊙o於d
圖2∵oa、ob、oc是半徑
解：∴oa=ob=oc
∴∠bad=∠abo，∠cad=∠aco（等邊對等角）
∵∠bod、∠cod分別是△aob、△aoc的外角
∴∠bod=∠bad+∠abo=2∠bad
∠cod=∠cad+∠aco=2∠cad
∴∠boc=∠bod+∠cod=2(∠bad+∠cad)=2∠bac
情況3：
如圖3，當圓心o在∠bac的外部時：
圖3連線ao，並延長ao交⊙o於d
解：∵oa、ob、oc、是半徑
∴∠bad=∠abo（等邊對等角）,∠cad=∠aco(oa=oc）
∵∠dob、∠doc分別是△aob、△aoc的外角
∴∠dob=∠bad+∠abo=2∠bad
∠doc=∠cad+∠aco=2∠cad
∴∠boc=∠doc-∠dob=2(∠cad-∠bad)=2∠bac
定理推論：
1.一條弧所對的圓周角等於它所對的圓心角的一半；
2.圓周角的度數等於它所對的弧度數的一半；
3.在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等；相等的圓周角所對的弧也相等。
4.半圓（直徑）所對的圓周角是直角。
5.90°的圓周角所對的弦是直徑。
注意：在圓中，同一條弦所對的圓周角有兩個，乙個是優弧所對的角，乙個是劣弧所對的角
一、點和圓的位置關係
1、如果圓的半徑為r，已知點到圓心的距離為d，則可用數量關係表示位置關係．
(1)d＞r點在圓外；
(2)d=r點在圓上；
(3)d＜r點在圓內．
2、確定圓的條件
不在同一直線上的三個點確定乙個圓．
3、三角形的外接圓
（1）定義：經過三角形的三個頂點可以做乙個圓，這個圓叫做三角形的外接圓．
三角形的外心：外接圓的圓心是三角形三條邊垂直平分線的交點，叫做這個三角形的外心，這個三角形叫做這個圓的內接三角形．
(2)三角形外心的性質：
①三角形的外心是外接圓的圓心，它是三角形三邊垂直平分線的交點，它到三角形各頂點的距離相等．
②三角形的外接圓有且只有乙個，即對於給定的三角形，其外心是惟一的，但乙個圓的內接三角形卻有無數個，這些三角形的外心重合．
銳角三角形的外心在三角形內
直角三角形的外心在斜邊的中點
鈍角三角形的外心在三角形外
4、三角形的內切圓與三角形的內心
②三角形的內心就是三角形三條內角平分線的交點，三角形的內心到三邊的距離相等．
直角三角形的內心公式：r＝（a＋b－c）/2（a、b為直角三角形的兩條直角邊，c為斜邊）
三角形的內心公式：r＝2s/l（s為三角形的面積，l為三角形的周長
5、反證法
(1)定義：從命題結論的反面出發，經過推理論證，得出矛盾，從而證明命題成立，這種方法叫做反證法．
(2)反證法證明命題的一般步驟
①反設：作出與結論相反的假設；
②歸謬：由假設出發，利用學過的公理、定理推出矛盾；
③作結論：由矛盾判定假設不正確，從而肯定命題的結論正確．
二、直線和圓的位置關係
(1)直線與圓的位置關係有關概念
①相交與割線：直線和圓有兩個公共點時，叫做直線和圓相交，這條直線叫做圓的割線．
②切線與切點：直線和圓有惟一公共點時，叫做直線和圓相切，這條直線叫做圓的切線，惟一的公共點叫做切點．
③相離，當直線和圓沒有公共點時，叫做直線和圓相離．
(2)用數量關係判斷直線與圓的位置關係
如果⊙o的半徑為r，圓心o到直線l的距離為d，那麼：
(1)直線l和⊙o相交d＜r(如圖(1)所示)；
(2)直線l和⊙o相切d=r(如圖(2)所示)；
(3)直線l和⊙o相離d＞r(如圖(3)所示)．
3、切線
切線的判定定理：經過半徑的外端並且垂直於這條半徑的直線是圓的切線．
切線的性質：圓的切線垂直於過切點的半徑．
切線長：圓的切線上某一點與切點之間的線段的長叫做這點到圓的切線長．
切線長定理：從圓外一點可以引圓的兩條切線，它們的切線長相等．這一點和圓心的連線平分這兩條切線的夾角．
三、圓和圓的位置關係
1)圖示定義法(交點數)
①相離：如果兩個圓沒有公共點，那麼就說這兩個圓相離，如上圖(1)、(5)、(6)所示，其中(1)又叫做外離，(5)(6)叫做內含；
②相切：如果兩個圓只有乙個公共點，那麼就說這兩個圓相切，如圖(2)、(3)所示，其中(2)叫外切，(3)叫內切；
③相交：如果兩個圓有兩個公共點，那麼就說這兩個圓相交，如圖(4)所示．
注意：圓與圓的位置關係按公共點的個數可分為0，1，2三大類即：
(ⅰ)沒有公共點：
(ⅱ)有惟一公共點：
(ⅲ)有兩個公共點：相交
(2)用數量關係判斷兩圓的位置關係
當兩圓的半徑一定時，兩圓的位置關係與兩圓圓心的距離(圓心距)的大小有關，設兩圓半徑分別為r和r(r＞r)，圓心距為d，則：
(1)兩圓外離d＞r＋r；
(2)兩圓外切d=r＋r；
(3)兩圓相交r－r＜d＜r＋r；
(4)兩圓內切d=r－r；
(5)兩圓內含d＜r－r．
二、重難點知識歸納
與圓有關的位置關係的判斷是重點，切線的判定和性質是重點也是難點．
三、典型例題剖析
例1、如圖，已知矩形abcd中，ab=3cmad=4cm．若以a為圓心作圓，使b、c、d三點中至少有一點在圓外，且至少有一點在圓內，求⊙a的半徑r的取值範圍．
解： ∵矩形abcd中，∠b=90°，ab=3cm，bc=ad=4cm，
∴ac=5cm，
其中點b到點a的距離最小，點c到點a的距離最大．若以ab為半徑作圓，則沒有點在⊙a內；若以ac為半徑作圓，則沒有點在⊙a外．
故⊙a的半徑r的取值範圍是3cm＜r＜5cm．
點撥： 這裡是由點與圓的位置確定半徑r的大小．本例還要注意「至少」一詞的理解．
例2、閱讀下列文字：在rt△abc中，∠c=90°，若∠a≠45°，則ac≠bc．
證明：假設ac=bc．
∵∠a≠45°，∠c=90°，∴∠a≠∠b．
∴ac≠bc，這與題設矛盾，∴ac≠bc．
上面的證明有沒有錯誤，若沒有錯誤，指出其證明方法是什麼？若有錯誤，請給予指正．
解：有錯誤．改正如下：
假設ac=bc，則∠a=∠b，又∠c=90°，
∴∠b=∠a=45°，這與∠a≠45°矛盾．∴ac=bc不成立．
∴ac≠bc．
點撥： 運用反證法證題應從「假設」出發，即把假設當作已知條件，一步步有根據地推出與定義、定理、公理或已知矛盾的結論，從而判定「假設」不成立，進一步肯定命題的結論．
例3、如圖，直角梯形abcd中，∠a=∠b=90°，ad∥bc，e為ab上一點，de平分∠adc，ce平分∠bcd，以ab為直徑的圓與邊cd有怎樣的位置關係？
解：以ab為直徑的圓與cd是相切關係．理由如下：
如圖，過e作ef⊥cd，垂足為f．
∵∠a=∠b=90°，∴ea⊥ad，eb⊥bc.
∵de平分∠adc，ce平分∠bcd，
∴．∴以ab為直徑的圓的圓心為e，且，
∴以ab為直徑的圓與邊cd相切．
點撥： 在證明直線與圓的位置關係時，常過圓心向直線作垂線段，再比較垂線段與半徑的大小即可．
例4、已知：ab是⊙o的直徑，bc是⊙o的切線，切點為b，oc平行於弦ad(如圖)．
求證：dc是⊙o的切線．
證明：鏈結od．
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圓的有關性質知識總結
1 圓的定義 圓的定義有兩種 2 圓的內部 外部3 點與圓的位置關係 點在圓外 d r 點在圓上 d r 點在圓內 d r 4 與圓有關的概念 弦 直徑 弧 半圓 優弧 劣弧 弓形 同心圓 等圓 等弧 14 過三點的圓 1定理 不在同直線上的三點確定乙個圓。2 三角形的外接圓 三角形的外心及圓內接三...
圓的有關性質的應用
教學目標 通過梳理圓的有關性質以及利用圓的性質進行計算的方法，在較複雜的背景下分析出隱含的基本圖形，通過新增適當的輔助線，構造或分解基本圖形 經歷將較複雜問題轉化為易解決問題的過程，提高解決綜合問題的能力。教學重點 進一步理解圓的有關知識，能靈活運用這些知識解決有關圓的綜合題。教學難點 在較複雜的背...
圓的有關性質與證明
1 如圖，ab是 o的直徑，c是弧bd的中點，ce ab，垂足為e,bd交ce於f 1 求證 cf bf 2 若ad 2，o的半徑為3，求bc的長 2 如圖，ab是 o的直徑，d是 o上的一點，過o作ab的垂線交ad與e,交bd的延長線於c,f是ce上一點，且fd fe.1 求證 fd是 o的切線 ...