線面平行的判定專題訓練
(2015·南通模擬)如圖所示，斜三稜柱abca1b1c1中，點d，d1分別
為ac，a1c1上的中點．
(1)證明：ad1∥平面bdc1.(2)證明：bd∥平面ab1d1.
[證明] (1)∵d1，d分別為a1c1與ac的中點，四邊形acc1a1
為平行四邊形，
∴c1d1綊da，
∴四邊形adc1d1為平行四邊形，∴ad1∥c1d，
又ad1平面bdc1，c1d平面bdc1，
∴ad1∥平面bdc1.
(2)連線d1d，
∵bb1∥平面acc1a1，bb1平面bb1d1d，平面acc1a1∩平面
bb1d1d＝d1d，∴bb1∥d1d，
又d1，d分別為a1c1與ac的中點，∴bb1＝dd1，
故四邊形bdd1b1為平行四邊形，∴bd∥b1d1，
又bd平面ab1d1，b1d1平面ab1d1，∴bd∥平面ab1d1.
9．如圖所示，在三稜柱abc a1b1c1中，側稜aa1⊥底面abc，ab⊥bc，d為ac的中點，aa1＝ab＝2.
(1)求證：ab1∥平面bc1d；(2)設bc＝3，求四稜錐b daa1c1的體積．
解：(1)證明：連線b1c，設b1c與bc1相交於點o，連線od，如圖所示．
∵四邊形bcc1b1是平行四邊形，∴點o為b1c的中點．
∵d為ac的中點，∴od為△ab1c的中位線，
∴od∥ab1.∵od平面bc1d，ab1平面bc1d，
∴ab1∥平面bc1d.
(2)∵aa1⊥平面abc，aa1平面aa1c1c，
∴平面abc⊥平面aa1c1c.
∵平面abc∩平面aa1c1c＝ac，
連線a1b，作be⊥ac，垂足為e，則be⊥平面aa1c1c.
∵ab＝aa1＝2，bc＝3，ab⊥bc，
∴在rt△abc中，ac＝＝＝，
∴be＝＝，
∴四稜錐b aa1c1d的體積v＝×(a1c1＋ad)·aa1·be＝××2×＝3.
2．如圖，在三稜錐p abc中，平面pac⊥平面abc，pa⊥ac，ab⊥bc.設d，e分別為pa，ac的中點．
(1)求證：de∥平面pbc.(2)**段ab上是否存在點f，使得過三點d，e，f的平面內的任一條直線都與平面pbc平行？若存在，指出點f的位置並證明；若不存在，請說明理由．
解：(1)證明：∵點e是ac中點，點d是pa的中點，∴de∥pc.
又∵de平面pbc，pc平面pbc，∴de∥平面pbc.
(2)當點f是線段ab中點時，過點d，e，f的平面內的任一條直線都與平面pbc平行．
取ab的中點f，連線ef，df.
由(1)可知de∥平面pbc.
∵點e是ac中點，點f是ab的中點，∴ef∥bc.
又∵ef平面pbc，bc平面pbc，∴ef∥平面pbc.
又∵de∩ef＝e，∴平面def∥平面pbc.
∴平面def內的任一條直線都與平面pbc平行．
故當點f是線段ab中點時，過點d，e，f所在平面內的任一條直線都與平面
pbc平行．
直線與平面垂直專題訓練題
2．(2016·武漢調研)如圖所示，在四稜錐p abcd中，底面abcd為矩形，pa⊥平面abcd，點e**段pc上，pc⊥平面bde.
(1)證明：bd⊥平面pac；(2)若pa＝1，ad＝2，求三稜錐e bcd的體積．
解：(1)證明：∵pa⊥平面abcd，bd平面abcd，∴pa⊥bd.
∵pc⊥平面bde，bd平面bde，∴pc⊥bd.
又∵pa∩pc＝p，∴bd⊥平面pac.
(2)如圖所示，設ac與bd的交點為o，連線oe.
∵pc⊥平面bde，∴pc⊥oe.
由(1)知，bd⊥平面pac，∴bd⊥ac，
由題設條件知，四邊形abcd為正方形．
由ad＝2，得ac＝bd＝2，oc＝.
在rt△pac中，pc＝＝＝3.
易知rt△pac∽rt△oec，
∴＝＝，即＝＝，
∴oe＝，ce＝.
∴vebcd＝s△ceo·bd＝·oe·ce·bd＝×××2＝.
10．(2015·陝西高考)如圖1，在直角梯形abcd中，ad∥bc，∠bad＝，ab＝bc＝ad＝a，e是ad的中點，o是ac與be的交點．將△abe沿be折起到圖2中△a1be的位置，得到四稜錐a1bcde.
(1)證明：cd⊥平面a1oc；
(2)當平面a1be⊥平面bcde時，四稜錐a1bcde的體積為36，求a的值．
解：(1)證明：在圖1中，因為ab＝bc＝ad＝a，e是ad的中點，∠bad＝，
所以be⊥ac.
即在圖2中，be⊥a1o，be⊥oc，
又a1o∩oc＝o，所以be⊥平面a1oc.
又cd∥be，所以cd⊥平面a1oc.
(2)由已知，平面a1be⊥平面bcde，且平面a1be∩平面bcde＝be，
又由(1)可得a1o⊥be，所以a1o⊥平面bcde.即a1o是四稜錐a1bcde的高．
由圖1知，a1o＝ab＝a，平行四邊形bcde的面積s＝bc·ab＝a2，
從而四稜錐a1bcde的體積為v＝s·a1o＝×a2×a＝a3.由a3＝36，得a＝6.
3、(2015·全國卷ⅰ)如圖，四邊形abcd為菱形，g為ac與bd的交點，be⊥平面abcd.
(1)證明：平面aec⊥平面bed；
(2)若∠abc＝120°，ae⊥ec，三稜錐eacd的體積為，求該三稜錐的側面積．
解：(1)證明：因為四邊形abcd為菱形，所以ac⊥bd.
因為be⊥平面abcd，所以ac⊥be.
又bd∩be＝b，故ac⊥平面bed.
又ac平面aec，所以平面aec⊥平面bed.
(2)設ab＝x，在菱形abcd中，由∠abc＝120°，可得ag＝gc＝x，gb＝gd＝.
因為ae⊥ec，所以在rt△aec中，可得eg＝x.
由be⊥平面abcd，知△ebg為直角三角形，可得be＝x.
由已知得，三稜錐eacd的體積
v三稜錐eacd＝×·ac·gd·be＝x3＝，故x＝2.
從而可得ae＝ec＝ed＝.
所以△eac的面積為3，△ead的面積與△ecd的面積均為.
故三稜錐eacd的側面積為3＋2.
平行與垂直綜合訓練
1．如圖，在直三稜柱abca1b1c1中，已知ac⊥bc，bc＝cc1，設ab1的中點為d，b1c∩bc1＝e.
求證：(1)de∥平面aa1c1c；(2)bc1⊥ab1.
證明：(1)由題意知，e為b1c的中點，
又d為ab1的中點，因此de∥ac.
又因為de平面aa1c1c，ac平面aa1c1c，所以de∥平面aa1c1c.
(2)因為稜柱abca1b1c1是直三稜柱，所以cc1⊥平面abc.
因為ac平面abc，所以ac⊥cc1.
又因為ac⊥bc，cc1平面bcc1b1，
bc平面bcc1b1，bc∩cc1＝c，所以ac⊥平面bcc1b1.
又因為bc1平面bcc1b1，所以bc1⊥ac.
因為bc＝cc1，所以矩形bcc1b1是正方形，因此bc1⊥b1c.
因為ac，b1c平面b1ac，ac∩b1c＝c，所以bc1⊥平面b1ac.
又因為ab1平面b1ac，所以bc1⊥ab1.
3．(2015·湖北八校模擬)如圖所示，在矩形abcd中，ab＝3，bc＝4，e，f分別**段bc，ad上，ef∥ab，將矩形abef沿ef折起，記折起後的矩形為mnef，且平面mnef⊥平面ecdf.
(1)求證：nc∥平面mfd；(2)若ec＝3，求證：nd⊥fc；(3)求四面體nefd體積的最大值．
解：(1)證明：∵平行四邊形mnef和efdc都是矩形，
∴mn∥ef，ef∥cd，mn＝ef＝cd，∴mn∥cd.
∴四邊形mncd是平行四邊形．∴nc∥md.
∵nc平面mfd，md平面mfd，∴nc∥平面mfd.
(2)證明：連線ed，交fc於點o.
∵平面mnef⊥平面ecdf，且ne⊥ef，
平面mnef∩平面ecdf＝ef，ne平面mnef，∴ne⊥平面ecdf.
∵fc平面ecdf，∴fc⊥ne.
∵ec＝cd，∴四邊形ecdf為正方形，∴fc⊥ed.
又∵ed∩ne＝e，ed，ne平面ned，∴fc⊥平面ned.
∵nd平面ned，∴nd⊥fc.
(3)設ne＝x，則fd＝ec＝4－x，其中0∴四面體nefd的體積為vnfed＝s△efd·ne＝x(4－x)．∴vnfed≤2＝2，
當且僅當x＝4－x，即x＝2時，四面體nfed的體積最大，最大為2.
3．(2014·湖北高考)如圖，在正方體 abcda1b1c1d1中，e，f，p，q，m，n分別是稜ab ，ad ，dd1 ，bb1 ，a1b1 ，a1d1 的中點. 求證：(1)直線bc1 ∥平面efpq ；(2)直線 ac1⊥平面 pqmn .
證明：(1)連線ad1，由abcda1b1c1d1是正方體，知ad1∥bc1，因為f，p分別是ad，dd1的中點，所以fp∥ad1.從而bc1∥fp.
而fp平面efpq，且bc1平面efpq，故直線bc1∥平面efpq.
(2)如圖，連線ac，bd，則ac⊥bd.
由cc1⊥平面abcd，bd平面abcd，可得cc1⊥bd.
又ac∩cc1＝c，所以bd⊥平面acc1.
而ac1平面acc1，所以bd⊥ac1.
連線b1d1，因為m，n分別是a1b1，a1d1的中點，
所以mn∥b1d1，故mn∥bd，從而mn⊥ac1.
同理可證pn⊥ac1.
又pn∩mn＝n，所以直線ac1⊥平面pqmn.
4．(2014·四川高考)在如圖所示的多面體中，四邊形abb1a1和acc1a1都為矩形．
(1)若ac⊥bc，證明：直線bc⊥平面acc1a1；
(2)設d，e分別是線段bc，cc1的中點，**段ab上是否存在一點m，使直線de∥平面a1mc？請證明你的結論．
解：(1)證明：因為四邊形abb1a1和acc1a1都是矩形，
所以aa1⊥ab，aa1⊥ac.
因為ab，ac為平面abc內兩條相交直線，
所以aa1⊥平面abc.
因為直線bc平面abc，所以aa1⊥bc.
又由已知，ac⊥bc，aa1，ac為平面acc1a1內兩條相交直線，
所以bc⊥平面acc1a1.
(2)取線段ab的中點m，連線a1m，mc，a1c，ac1，設o為a1c，ac1的交點．
立體幾何周練
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