1．3.3 函式的最大(小)值與導數
1．問題導航
(1)什麼是函式的最值？函式在閉區間上取得最值的條件是什麼？
(2)函式的最值與極值有什麼關係？如何求閉區間上連續函式的最值？求函式最值的方法和步驟是什麼？
2．例題導讀
通過p30例5，學會利用導數求解函式的最值，同時弄清極值與最值的關係．
1．函式y＝f(x)在閉區間[a，b]上取得最值的條件
如果在區間[a，b]上函式y＝f(x)的圖象是一條連續不斷的曲線，那麼它必有最大值和最小值．
2．求函式y＝f(x)在[a，b]上的最大值與最小值的步驟
(1)求函式y＝f(x)在(a，b)內的極值．
(2)將函式y＝f(x)的各極值與端點處的函式值f(a)，f(b)比較，其中最大的乙個是最大值，最小的乙個是最小值．
1．判斷(正確的打「√」，錯誤的打「×」)
(1)函式的最大值一定是函式的極大值．( )
(2)開區間上的單調連續函式無最值．( )
(3)函式f(x)在區間[a，b]上的最大值和最小值一定在兩個端點處取得．( )
答案：(1)× (2)√ (3)×
2．關於函式f(x)＝(2x－x2)ex，則下列四個結論：
①f(x)>0的解集是{x|0②f(x)的極小值為f(－)，極大值為f()；
③f(x)沒有最小值，也沒有最大值；
④f(x)沒有最小值，有最大值．
其中正確結論為( )
a．①②④ b．①②③
c．①③ d．②④
答案：a
3．函式f(x)＝x3－3x2＋2在區間[－1，1]上的最大值是( )
a．－2 b．0
c．2 d．4
解析：選令f′(x)＝0，得x＝0(x＝2捨去)，計算f(－1)＝－2，f(0)＝2，f(1)＝0，比較得f(x)的最大值是2.
4．已知函式f(x)＝－x3＋3x2＋m(x∈[－2，2])，f(x)的最小值為1，則m
答案：1
1．對函式最值的三點說明
(1)閉區間上的連續函式一定有最值，開區間內的連續函式不一定有最值．若有惟一的極值，則此極值必是函式的最值．
(2)函式f(x)在[a，b]上的最值與在[c，d]上的最值一般是不同的．
(3)函式y＝f(x)在[a，b]上連續，是函式y＝f(x)在[a，b]上有最大值或最小值的充分而非必要條件．
2．函式極值與最值的關係
(1)函式的極值是函式在某一點附近的區域性概念，函式的最大值和最小值是乙個整體性概念．
(2)函式的最大值、最小值是比較整個定義區間的函式值得出的，函式的極值是比較極值點附近的函式值得出的，函式的極值可以有多個，但最值只能有乙個．
(3)極值只能在區間內取得，最值則可以在端點處取得；有極值的未必有最值，有最值的未必有極值；極值有可能成為最值，最值不在端點處取得時必定是極值．
利用導數求函式的最值
求下列函式的最值：
(1)f(x)＝3x－x3(－≤x≤3)；
(2)f(x)＝sin 2x－x；
(3)f(x)＝x＋.
[解] (1)f′(x)＝3－3x2＝3(1－x)(1＋x)．
令f′(x)＝0，得x＝1或x＝－1.
∴x＝1和x＝－1是函式f(x)在[－，3]上的兩個極值點，
且f(1)＝2，f(－1)＝－2.
又f(x)在區間端點的取值為f(－)＝0，f(3)＝－18.
比較以上函式值可得f(x)max＝2，f(x)min＝－18.
(2)f′(x)＝2cos 2x－1，令f′(x)＝0，得cos 2x＝，
又∵x∈，∴2x∈[－π，π]．
∴2x＝±.
∴x＝±.
∴函式f(x)在上的兩個極值分別為f＝－，f＝－＋.
又f＝－，f＝.
比較以上函式值可得f(x)max＝，f(x)min＝－.
(3)函式f(x)的定義域為[－1，1]．
f′(x)＝1＋(1－x2)－·(1－x2)′＝1－，
令f′(x)＝0，得x＝.
∴f(x)在[－1，1]上的極值為f＝＋＝.
又f(x)在區間端點的函式值為f(1)＝1，f(－1)＝－1，比較以上函式值可得f(x)max＝，f(x)min＝－1.
求函式最值的四個步驟：
第一步，求函式的定義域．
第二步，求f′(x)，解方程f′(x)＝0.
第三步，列出關於x，f(x)，f′(x)的變化表．
第四步，求極值、端點值，確定最值．
1．(2015·天津高二檢測)已知函式f(x)＝x2－cos x，則x∈的值域是________．
解析：因為f(－x)＝(－x)2－cos(－x)
＝x2－cos x＝f(x)，
所以函式為偶函式．
求導函式，可得f′(x)＝2x＋sin x，
當x∈時，f′(x)>0，函式為單調增函式，
因為f(0)＝0－1＝－1，f＝，
所以函式f(x)＝x2－cos x，x∈的值域是.
所以函式f(x)＝x2－cos x，x∈的值域是.
答案：利用函式的最值求引數的值(範圍)
(1)設f(x)＝x3－3ax－a在(0，1)內有最小值，則a的取值範圍是________．
[解析] ∵f′(x)＝3(x2－a)，f(x)在(0，1)內有最小值，
∴f′(0)<0，且f′(1)>0.
∴∴0故a的取值範圍是(0，1)．
[答案] (0，1)
(2)已知當a>0時，函式f(x)＝ax3－6ax2＋b在區間[－1，2]上的最大值為3，最小值為－29，求a，b的值．
[解] ∵f′(x)＝3ax2－12ax＝3ax(x－4)，
由f′(x)＝0，
解得x＝0或x＝4.
∴在區間[－1，2]上x＝0是極值點．
由於a>0，
∴當－1≤x<0時，f′(x)>0；
當0∴f(x)在區間[－1，0]上是增函式，在區間[0，2]上是減函式．
∴f(0)＝b為極大值，也是最大值．
又f(－1)＝－a－6a＋b＝－7a＋b，
f(2)＝8a－24a＋b＝－16a＋b，
∴f(－1)>f(2)，
∴f(0)為最大值，f(2)為最小值．則解得
1．含引數的函式最值問題的兩類情況：
(1)能根據條件確定出引數，從而化為不含引數函式的最值問題．
(2)不能求出引數時，常需分類討論．若引數對導數的正負有影響時，需討論引數；若極值與函式端點值比較大小不能確定，也需分類討論以確定最值．
2．已知函式最值求引數值(範圍)的思路
已知函式在某區間上的最值求引數的值(範圍)是求函式最值的逆向思維，一般先求導數，利用導數研究函式的單調性及極值點，探索最值點，根據已知最值列方程(不等式)解決問題．
2．函式f(x)＝－x2－2x＋2在區間[a，2]上的最大值為－1，則a
解析：∵f′(x)＝－2x－2＝－2(x＋1)，
令f′(x)＝0，則x＝－1.
當f′(x)>0時，x<－1；
當f′(x)<0時，x>－1，
∴f(x)在(－∞，－1)上單調遞增，
在(－1，＋∞)上單調遞減．
①當a≥－1時，f(x)在[a，2]上是減函式，
∴f(x)max＝f(a)＝－a2－2a＋2＝－1，
即a2＋2a－3＝0，
∴a＝－3或a＝1，∴a＝1.
②當a<－1時，
f(x)在(a，－1)上是增函式，
在[－1，2]上是減函式，
∴f(x)max＝f(－1)＝3≠－1.
不合題意．
綜上所述，a＝1.
答案：1
與函式最值有關的不等式恆成立問題
(1)已知f(x)＝－x3＋x－1，g(x)＝－2x＋m，當x∈(0，2)時，f(x) 知識點歸納 1.一般地，如果在區間上函式的影象是一條連續不斷的曲線，那麼它必有最大值和最小值.2最大小值與極值的關係 3求最大小值的步驟 4開區間的最值問題 典型例題 題型一利用導數求函式最值問題 例1 求函式在區間上的最大值和最小值.變式訓練 設函式為奇函式，其影象在處的切線與直線垂直，導數的最小... 課本教材內容分析 本節教材知識間的前後聯絡，以及在課堂教學中的地位與作用 導數 導函式的簡稱 是乙個特殊函式，它的引出和定義始終貫穿著函式思想。新課程增加了導數的內容，隨著課改的不斷深入，導數知識考查的要求逐漸加強，而且導數已經由前幾年只是在解決問題中的輔助地位上公升為分析和解決問題時的不可缺少的工... 1.3.1 單調性與最大 小 值 第1課時函式的單調性 基礎鞏固組 一 選擇題 1 設在上是增函式，則有 abcd 2 關於函式的單調性的敘述正確的是 a 在上是遞增的，在上是遞減的 b 上遞增 c 在上遞增 d 在和上都是遞增的 3 函式在區間上是 a 減函式b 增函式 c 先遞增，後遞減函式d ...1 3 3函式的最大小值與導數
《函式的最大值和最小值與導數》教學設計
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