三角函式專題
西社初中
一、課標要求：
在老版和新版中，對三角函式的要求沒有發生變化，有以下幾點：
1、利用相似的直角三角形，探索並認識銳角三角函式（sin a，cos a，tan a），知道30°，45°，60°角的三角函式值。
此部分內容的考核一般不會單獨考核，而是在計算題**現。
2、會使用計算器由已知銳角求它的三角函式值，由已知三角函式值求它的對應銳角。
此部分內容是能力要求，不做考核。
3、能用銳角三角函式解直角三角形，能用相關知識解決一些簡單的實際問題。
此部分內容是三角函式部分考試的重點內容，並多以解答題的形式出現，也有選擇題或是和圓一起出現。這也是我們在這個專題中所要分析的內容。
二、中考試題走向
1、題量變化：從2023年山西實施區域課改分地區命題到現在，在山西省統考試題中（除全省統考捲外，部分地區有自主命題），三角函式知識在中考試題中的題量分值並不固定，現將2023年至2023年中考題（以下所列分值及所選中考試題，均指當年的全省統考試題）中，應用三角函式解決問題的題目題型及其所佔分值做以下**分析：
2、走向分析：從以上內容來看，三角函式應用會在2023年的中考試題**現，形式也基本以解答題的形式可能性比較大，分值在8分左右。
三、知識儲備：
1、銳角三角函式定義及表示式
2、特殊角的三角函式值
3、坡角、坡度、坡比
4、仰角、俯角
5、方位角
四、題型分析：
利用到三角函式的應用題，主要是考查學生的應用意識，所以在這裡，要求學生們要通過複習建立基本的三角函式數學模型，利用數學模型解決實際問題，學生能夠很好的從題目情境中抽象出數學問題，建立數學模型，並利用三角函式的相關知識來解決問題。
1、等角轉化和直接應用：
分析：此類題目首先要構造出乙個或兩個直角三角形，先利用等量代換找出所求角（或等角）或邊所在的三角形，再直接利用三角函式的表示式進行計算。
例：2023年山西省中考第22題(本題8分)：
如圖，四邊形abcd是平行四邊形，以ab為直徑的
⊙o經過點d，e是⊙o上一點，且aed=45。
(1) 試判斷cd與⊙o的位置關係，並說明理由；
(2) 若⊙o的半徑為3 cm，ae=5 cm，求ade的正弦值。
[解] (1) cd與圓o相切；理由是：連線od，則aod=2aed
245=90。∵四邊形abcd是平行四邊形，∴ab//dc，
cdo=aod=90，∴odcd，∴cd與圓o相切； (2) 連線be，則ade=abe，∵ab是圓o的直徑，
aeb=90，ab=23=6(cm)。
在rt△abe中，sinabe==，∴sinade=sinabe=
練習：小明沿著坡度為1:2的山坡向上走了1000m，則他公升高了（ ）
a． m b．500m c． m d．1000m
2、利用乙個直角三角形的應用
分析：此類題目中只有乙個直角三角形，但可能涉及到兩個高度，往往是利用一次三角函式的計算，或是再通過相等高度的轉化即可求出最終題目所要求的物體或線段的高度。
例1：2023年中考第10題（3分）：
例2：2023年中考第21題（8分）：
為測量某塔ab的高度，在離該塔底部20公尺處目測其頂，仰角為60°，目高1.5公尺，試求該塔的高度（）
解：如圖所示，過點c作cd⊥ab，交ab於點d。
在rt△adc中，∠adc=90°，cd=20，
∠acd=60°
所以，所以，ab=ad+db=34+1.5=35.5（公尺）
所以，該塔的高度是35.5公尺。
練習：（2023年中考第16題）王師傅在樓頂上的點a處測得樓前一棵樹cd的頂端c的俯角為60 o, 又知水平距離bd=10m，樓高ab=24m，則樹高cd為
a． m b． m c． m d．9m
3、利用兩個直角三角形的應用
分析：此類題目中會出現兩個直角三角形。其中有部分常見題目在部分參考書籍上會稱做「巢狀型」和「背靠背」型，這兩種型別的題目，從圖上很容易看出兩個三角形有一條公共邊或是相等的邊，只要求出這條公共邊的長，問題即可迎刃而解，亦可利用公共邊同時結合三角函式把問題轉化成方程問題來解決；也有部分題目不屬於這兩種型別，此時，只需要設出一條直角邊為x，分別利用三角函式把兩個直角三角形中的邊和要求的邊用含x的代數式來表示，再利用方程即可解決問題。
例1、如圖，在一次數學課外實踐活動中，要求測教學樓的高度ab．小剛在d處用高1.5m的測角儀cd，測得教學樓頂端a的仰角為30°，然後向教學樓前進40m到達e，又測得教學樓頂端a的仰角為60°．求這幢教學樓的高度ab
解：在rt△afg中，
∴在rt△acg中，
∴又即∴∴答：這幢教學樓的高度ab為公尺．
例2：2023年中考第23題（8分）：
有一水庫大壩的橫截面是梯形，為水庫的水面，點在上，某課題小組在老師的帶領下想測量水的深度，他們測得背水坡的長為12公尺，迎水坡上的長為2公尺，求水深．（精確到0.1公尺，）
解：分別過作於於過作於則四邊形為矩形．
∴在中，
∴在中，
∴答：水深約為6.7公尺。
練習：（1）2023年中考第24題（7分）如圖，某校綜合實踐活動小組的同學欲測量公園內一棵樹de的高度．他們在這棵樹正前方一座樓亭前的台階上a點處測得樹頂端d的仰角為30°，朝著這棵樹的方向走到台階下的點c處，測得樹頂端d的仰角為60°．已知a點的高度ab為2公尺，台階ac的坡度為(即ab：bc=)，且b、c、e三點在同一條盲線上。
請根據以上殺件求出樹de的高度(測傾器的高度忽略不計)．
（2）2023年中考第23題（9分）如圖，為了開發利用海洋資源，某勘測飛機**量一島嶼兩端a．b的距離，飛機在距海平面垂直高度為100公尺的點c處測得端點a的俯角為60°，然後沿著平行於ab的方向水平飛行了500公尺，在點d測得端點b的俯角為45°，求島嶼兩端a．b的距離（結果精確到0.1公尺，參考資料：）
三角函式的應用
三角函式專題練習 命題人 楊勝平時間 45分鐘 1計算2 在中，c 90 且，ab 3，求bc，ac及.3 已知，四邊形abcd中，abc adb ab 5，ad 3，bc 求，四邊形abcd的面積s四邊形abcd 4 8分 如圖，b c是河岸邊兩點，a是對岸邊上的一點，測得 abc 300，acb...
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1 如圖，某同學在樓房的a處測得荷塘的一端b處的俯角為30 荷塘另一端d處與c b在同一條直線上，已知ac 32公尺，cd 16公尺，求荷塘寬bd為多少公尺？取，結果保留整數 2 為打撈失事飛機上的黑匣子，潛水員在a處以每小時8海浬的速度向正東方向划行，在a處測得黑匣子b在北偏東60 的方向，半小時...
三角函式複習
複習1 設是乙個任意大小的角，的終邊上任意一點的座標是，它與原點的距離是，則，2 三角函式在各象限的符號 第一象限全為正，第二象限正弦為正，第三象限正切為正，第四象限余弦為正 3 三角函式線 4 同角三角函式的基本關係 5 三角函式的誘導公式 口訣 函式名稱不變，符號看象限 口訣 奇變偶不變，符號看...