★鞏固練習★
第一組1．如圖所示，陰影部分的面積為( c )
a. f(x)dx b. g(x)dx c. [f(x)－g(x)]dx d. [g(x)－f(x)]dx
2．如圖所示，陰影部分的面積是( c )
a．2b．2－ cd.
3．由曲線y＝x2－1、直線x＝0、x＝2和x軸圍成的封閉圖形的面積(如圖)是( c )
a. (x2－1)dx
b．| (x2－1)dx|
c. |x2－1|dx
d. (x2－1)dx＋(x2－1)dx
4．設f(x)在[a，b]上連續，則曲線f(x)與直線x＝a，x＝b，y＝0圍成圖形的面積為( c )
a. f(x)dx b．|f(x)dx| c. |f(x)|dx d．以上都不對
5．曲線y＝1－x2與x軸所圍圖形的面積是( b )
a．4 b．3 c．2 d.
6．(2010·山東理，7)由曲線y＝x2，y＝x3圍成的封閉圖形面積為( a )
ab. cd.
7．過原點的直線l與拋物線y＝x2－2ax(a>0)所圍成的圖形面積為a3，則直線l的方程為( b )
a．y＝±ax b．y＝ax c．y＝－ax d．y＝－5ax
8．由曲線y2＝2x，y＝x－4所圍圖形的面積是________．18
9．由兩條曲線y＝x2，y＝x2與直線y＝1圍成平面區域的面積是
10．計算曲線y＝x2－2x＋3與直線y＝x＋3所圍圖形的面積．.
11．設y＝f(x)是二次函式，方程f(x)＝0有兩個相等的實根，
且f′(x)＝2x＋2.(1)求y＝f(x)的表示式；
(2)若直線x＝－t(0＜t＜1)把y＝f(x)的圖象與兩座標軸所圍成圖形的面積二等分，求t的值．t＝1－
12．在曲線y＝x2(x≥0)上某一點a處作一切線使之與曲線以及x軸所圍成的面積為，試求：(1)切點a的座標；(2)過切點a的切線方程
切點a(1,1)，切線方程為y＝2x－1.
第二組1．已知f(x)為偶函式，且f(x)dx＝8，則－6f(x)dx＝( )
a．0 b．4 c．8 d．16
2．設f(x)＝(其中e為自然對數的底數)，則f(x)dx的值為a. b．2 c．1 d.
3．若a＝x2dx，b＝x3dx，c＝sinxdx，則a、b、c的大小關係是( )
a．a4．如圖k15－1，陰影部分的面積是
圖k15－1
a．2 b．2－ c. d.
5．設函式f(x)＝ax2＋1，若f(x)dx＝2，則a＝( )
a．1 b．2 c．3 d．4
6．由直線x＝－，x＝，y＝0與曲線y＝cosx所圍成的封閉圖形的面積為( )
a. b．1 c. d.
8．若(2x－3x2)dx＝0，則k等於( )
a．0 b．1 c．0或1 d．以上均不對
10．設函式y＝f(x)的定義域為r＋，若對於給定的正數k，定義函式fk(x)＝則當函式f(x)＝，k＝1時，定積分fk(x)dx的值為________．
11．∫ 0(sinx＋acosx)dx＝2，則實數a
12．如圖k15－2所示，已知曲線c1：y＝x2與曲線c2：y＝－x2＋2ax(a>1)交於點o、a，直線x＝t(0(1)寫出曲邊四邊形abod(陰影部分)的面積s與t的函式關係式s＝f(t)；
(2)求函式s＝f(t)在區間(0,1]上的最大值．
圖k15－2圖k15－3
13． 已知二次函式f(x)＝3x2－3x，直線l1：x＝2和l2：y＝3tx(其中t為常數，且0(1)求函式s(t)的解析式；
(2)定義函式h(x)＝s(x)，x∈r.若過點a(1，m)(m≠4)可作曲線
y＝h(x)(x∈r)的三條切線，求實數m的取值範圍．
第二組答案
【基礎熱身】
1．d [解析]－6f(x)dx＝2f(x)dx＝2×8＝16.
2．a [解析] 根據積分的運算法則，可知∫f(x)dx可以分為兩段，即∫f(x)dx＝x2dx＋∫dx＝x3＝＋1＝，所以選a.
3．d [解析] a＝x2dx＝x3＝，b＝x3dx＝x4＝4，c＝sinxdx＝－cosx＝1－cos2<2，
∴c4．c [解析]－3(3－x2－2x)dx＝＝.
【能力提公升】
5．c [解析] f(x)dx＝(ax2＋1)dx＝＋x＝＋1＝2，解得a＝3.
6．d [解析] 根據定積分的相關知識可得到：由直線x＝－，x＝，y＝0與曲線y＝cosx所圍成的封閉圖形的面積為：
s＝∫－cosx dx＝sinx＝sin－sin＝，
故選d.
7．d [解析] (9.8t＋6.5)dt＝(4.
9t2＋6.5t)＝4.9×64＋6.
5×8－4.9×16－6.5×4＝313.
6＋52－78.4－26＝261.2.
8．c [解析] (2x－3x2)dx＝2xdx－3x2dx＝x2＝k2－k3＝0，∴k＝0或k＝1.
9．d [解析] 由f(x)＝kx，得k＝100，f(x)＝100x， 100xdx＝0.18(j)．
10．2ln2＋1 [解析] 由題設f1(x)＝於是定積分f1(x)dx＝dx＋1dx＝lnx1＋x＝2ln2＋1.
11．1 [解析] ∫0(sinx＋acosx)dx＝(asinx－cosx)＝－asin0＋cos0＝a＋1＝2，∴a＝1.
12．[解答] (1)由解得或
∴o(0,0)，a(a，a2)．又由已知得b(t，－t2＋2at)，d(t，t2)，
∴s＝(－x2＋2ax)dx－t×t2＋(－t2＋2at－t2)×(a－t)
＝－t3＋(－t2＋at)×(a－t)
＝－t3＋at2－t3＋t3－2at2＋a2t＝t3－at2＋a2t.
故s＝f(t)＝t3－at2＋a2t(0(2)f′(t)＝t2－2at＋a2，
令f′(t)＝0，即t2－2at＋a2＝0，
解得t＝(2－)a或t＝(2＋)a.
∵01，∴t＝(2＋)a應捨去．
①若(2－)a≥1，即a≥＝，
∵0②若(2－)a<1，即1(i)當00，
(ii)當(2－)a∴f(t)在區間(0，(2－)a)上單調遞增，在區間[(2－)a，1]上單調遞減．∴f(t)的最大值是f((2－)a)＝[(2－)a]3－a[(2－)a]2＋a2(2－)a＝a3.
綜上所述f(t)max＝
【難點突破】
13．[解答] (1)由得x2－(t＋1)x＝0，
所以x1＝0，x2＝t＋1.
所以直線l2與f(x)的圖象的交點的橫座標分別為0，t＋1.
因為0所以s(t)＝∫[3tx－(3x2－3x)]dx＋t＋1[(3x2－3x)－3tx]dx
＝＋＝(t＋1)3－6t＋2.
(2)依據定義，h(x)＝(x＋1)3－6x＋2，x∈r，
則h′(x)＝3(x＋1)2－6.
因為m≠4，則點a(1，m)不在曲線y＝h(x)上．
過點a作曲線y＝h(x)的切線，設切點為m(x0，y0)，
則3(x0＋1)2－6＝，
化簡整理得2x－6x0＋m＝0，其有三個不等實根．
設g(x0)＝2x－6x0＋m，則g′(x0)＝6x－6.
由g′(x0)>0，得x0>1或x0<－1；
由g′(x0)<0，得－1所以g(x0)在區間(－∞，－1)，(1，＋∞)上單調遞增，在(－1,1)上單調遞減，
所以當x0＝－1時，函式g(x0)取極大值；
當x0＝1時，函式g(x0)取極小值．
因此，關於x0的方程2x－6x0＋m＝0有三個不等實根的充要條件是即即－4故實數m的取值範圍是(－4,4)．
21 1 7定積分的簡單應用 1
1.7.1定積分在幾何中的應用 教材分析 這一節的教學要求是讓學生在充分認識導數與積分的概念 計算 幾何意義的基礎上，掌握用積分解決實際問題的基本思想和方法.在學習過程中，理解導數與積分的工具性作用，從而進一步認識到數學知識的使用價值以及數學在實際應用中的強大作用.在整個高中數學體系中，這部分內容也...
導數的簡單應用與定積分
1.本部分內容高考的出題方式常見有三種 1 利用導數的幾何意義求曲線的切線方程 考查定積分的性質及幾何意義.2 考查利用導數的有關知識研究函式的單調性 極值和最值，進而解 證 不等式.3 用導數解決日常生活中的一些實際問題，以及與其他知識相結合，考查常見的數學思想方法.2.應對策略 首先要理解導數的...
導數及定積分的應用小測試
選修2 2定積分測試 姓名學號班級 考試時間為50分鐘，滿分110分，填空每個5分，7 8題每題10分，9題20分 1 計算下列定積分的值 12 34 5 6 782 如果10n的力能使彈簧壓縮10cm，為在彈性限度內將彈簧從平衡位置拉到離平衡位置8cm處，則克服彈力所做的功為 3 一物體沿直線以 ...