1.7.1定積分在幾何中的應用
教材分析
這一節的教學要求是讓學生在充分認識導數與積分的概念、計算、幾何意義的基礎上，掌握用積分解決實際問題的基本思想和方法.在學習過程中，理解導數與積分的工具性作用，從而進一步認識到數學知識的使用價值以及數學在實際應用中的強大作用.在整個高中數學體系中，這部分內容也是進一步學習高等數學的基礎.
教學方法是「問題誘導——啟發討論——探索結果」、「直觀觀察——抽象歸納——總結規律」的一種研究性教與學的方法，過程中注重「誘、思、探、練」的結合，從而引導學生轉變學習方式.採用激發興趣、主動參與、積極體驗、自主**地學習，形成師生互動的教學氛圍. **式的學習方法能夠激發學生的求知慾，培養學生對學習的濃厚興趣；**式的學習過程能夠培養學生嚴謹的科學思維習慣和方法，培養學生勇於探索和實踐的精神；**過程中對學生進行數學美育的滲透，用哲學的觀點指導學生自主**.
課時分配
本課時是定積分應用部分的第一課時，主要解決的是平面圖形的面積問題.
教學目標
重點: 應用定積分解決平面圖形的面積，使學生在解決問題的過程中體會定積分的價值.
難點：如何恰當選擇積分變數和確定被積函式.
知識點：應用定積分解決平面圖形的面積.
能力點：通過本節課的**，學生能夠應用定積分解決不太規則的平面圖形的面積，能夠初步掌握應用定積分解決實際問題的基本思想和方法.
教育點：在解決問題的過程中體會定積分的價值.
自主**點：**過程中通過數形結合的思想，加深對知識的理解，同時體會到數學研究的基本思路和方法.
考試點：應用定積分解決平面圖形的面積.
易錯易混點：如何恰當選擇積分變數和確定被積函式.
拓展點：鏈結高考.
教具準備實物投影機和粉筆.
課堂模式基於問題驅動的誘思**.
一、創設情境
1、求曲邊梯形的思想方法是什麼？（以直代曲，無限逼近）
2、定積分的幾何意義是什麼？
，若則表示面積
，若則表示面積相反數
，若對稱則面積為
3、微積分基本定理是什麼？
【設計意圖】回顧前面所學知識，做到溫故而知新，同時加深理解.
二、**新知
㈠利用定積分求平面圖形的面積
分析：兩條拋物線所圍成的圖形的面積，可以由以兩條曲線所對應的曲邊梯形的面積的差得到.
解：由，得兩曲線的交點為，
面積，所以
總結：在直角座標系下平面圖形的面積的四個步驟：
1.作圖象；2.求交點；3.用定積分表示所求的面積；4.微積分基本定理求定積分.
練習：計算由曲線和所圍成的圖形的面積.
例2．計算由直線，曲線以及軸所圍圖形的面積.
分析：首先畫出草圖，並設法把所求圖形的面積問題轉化為求曲邊梯形的面積問題．與例 1 不同的是，還需把所求圖形的面積分成兩部分和．為了確定出被積函式和積分的上下限，需要求出直線與曲線的交點的橫座標，直線與軸的交點．
解法一：作出直線，曲線的草圖，所求面積為圖中陰影部分的面積．
解方程組得直線與曲線的交點的座標為.
直線與軸的交點為.
因此，所求圖形的面積為
.解法二：
【設計意圖】動手實踐注意強調用步驟方法，在利用定積分求平面圖形的面積時，一般要先畫出它的草圖，再借助圖形直觀確定出被積函式以及積分的上下限.
三、理解新知
1、定積分的幾何意義是：
、軸所圍成的圖形的面積的代數和，即.因此求一些曲邊圖形的面積要可以利用定積分的幾何意義以及微積分基本定理，但要特別注意圖形面積與定積分不一定相等，如函式的影象與軸圍成的圖形的面積為,而其定積分為.
2、求曲邊梯形面積的方法與步驟：
⑴畫圖，並將圖形分割為若干個曲邊梯形；
⑵對每個曲邊梯形確定其存在的範圍，從而確定積分的上下限；
⑶確定被積函式；
⑷求出各曲邊梯形的面積和，即各積分的絕對值的和.
3、幾種常見的曲邊梯形面積的計算方法：
型區域：①由一條曲線與直線以及軸所圍成的曲邊梯形的面積：（如圖（1））；②由一條曲線與直線以及軸所圍成的曲邊梯形的面積：
（如圖（2））；③由兩條曲線與直線所圍成的曲邊梯形的面積：（如圖（3））.
圖（1圖（2圖（3）
4、改變積分變數求曲邊梯形面積的計算技巧
【設計意圖】分層要求，應用整合，強化新知，讓學生進一步熟悉其操作步驟，做到爛熟於心.
四、應用新知
例3．求曲線與直線軸所圍成的圖形面積.
解：.例4．計算由曲線和直線所圍成的圖形的面積.
解法一： ，
解法二：
例5．求曲線與曲線以及軸所圍成的圖形面積.
解：由解得交點座標為，所以
又反解得：，，即，
於是所求圖形的面積為：
【設計意圖】通過具體的例子，進一步讓學生求面積的方法以及積分變數的調整，靈活掌握積分法求面積，尤其是積分變數的問題，有的可以自由選擇如例4，但有的卻別無選擇，只能用如對數的例5.
例6．在曲線上的某點處作一切線使之與曲線以及軸所圍成的面積為.試求：切點的座標以及切線方程.
解：如圖由題可設切點座標為，則切線方程為，
切線與軸的交點座標為，
則由題可知有.
，所以切點座標與切線方程分別為.
【設計意圖】通過具體的例子，讓學生體會定積分與其它知識的結合考查，若時間允許，還可補充拋物線焦點弦圍城封閉圖形的面積最值問題.
五、課堂小結
求陰影圖形面積的方法與步驟：
⑴畫圖，並將圖形分割為若干個曲邊梯形；
⑵對每個曲邊梯形確定其存在的範圍，從而確定積分的上、下限；
⑶確定被積函式；
⑷求出各曲邊梯形的面積和，即各積分的絕對值的和.
有時需要注意改變積分變數的求積技巧.
六、布置作業
1、必做題：
2、選做題：
1．如右圖，陰影部分面積為（ b ）
a．； b．
c．； d．.
2、求直線與拋物線所圍成的圖形面積.
解：.3、求由拋物線及其在點和處的兩條切線所圍成的圖形的面積.
解：，切線方程分別為、，
則所求圖形的面積為
.七、反思提公升
1.本節課的亮點是課件製作精良，易於學生接受，課堂容量大，題型全面，尤其是積分變數的問題，有的可以自由選擇如例4，但有的卻別無選擇，只能用如對數的例5，學習效果好.
2.本節課的不足之處是由於使用課件學生動手機會少，實踐的少，課下需要補充訓練，尤其是改變積分變數的題目，而且還可以滲透字母係數的題目結合導數求最值等.
八、板書設計
定積分的簡單應用有答案
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