課前預習案
【學習目標】
1.掌握利用定積分求變速直線運動的路程，變力做功；
2.提高數學在物理學中的應用能力及「數形結合」的思想方法解決問題的能力；
3.感悟學科間的區別與聯絡.
【自主學習】
知識梳理（教材概念梳理出1，2……點）
1.變速直線運動物體的路程、位移與定積分的關係
如果做變速直線運動物體的速度-時間函式為v=v (t)，則物體在區間［a，b］上的位移為定積分 ；物體在區間［a，b］上的路程為．
2.確立變力做功的策略
首先要確定變力與位移的函式式f(x)，其次是確定變力作用下物體產生的位移，求積分區間上的定積分即可.
【拓展】如果做變速直線運動的物體的運動速度與時間的函式關係為：v=v(t)，其在區間［a，b］上的運動路程可分以下三種情況求解：
(1)當t∈［a，b］，v(t)≥0時，路程，此時路程與位移相等.
(2)當t∈［a，b］，v(t)<0時，路程.
(3)當t∈［a，c］，v(t)≥0，t∈［c，b］，v(t)<0時，
路程.【知識遷移】（2-3個小題）
1.判一判(正確的打「√」，錯誤的打「×」)
(1)速度是路程與時間的函式關係的導數.( )
(2)乙個物體在2≤t≤4時，運動速度為v(t)=t2-4t，則它在這段時間內行駛的路程為.( )
(3)一物體在力f(x)作用下沿f(x)相同的方向從x=0運動到x=10，則該力對物體做的功為.( )
答案：(1)√ (2)× (3)√
2.做一做(請把正確的答案寫在橫線上)
(1)一物體在變力f(x)=2x2-1作用下沿直線由x=1運動到x=3，則力f(x)所做的功等於________.
(2)一列車沿直線軌道前進，剎車後列車速度v(t)=27-0.9t，則列車從剎車到停車所前進的路程為________.
(3)做變速直線運動的物體速度是v(t)=5-t2(單位：m/s)，則該物體在第1s到3s間運動的位移為________m.
【答案】
3.質點直線運動瞬時速度為v(t)=-3sint，則t1=3s至t2=5s時間內的位移是精確到0.01)
【解析】x=v(t)dt=(-3sint)dt
=3cost=3(cos5-cos3)≈3.82.
答案：3.82
課上互動研討案
【課堂檢測】（2-3小題，有客觀、主觀題）
1.設物體以速度v(t)=3t2+t(m/s)作直線運動，則它在0～4s內所走的路程為( )
a.70mb.72mc.75md.80m
【解析】選
2.已知彈簧拉長0.02m需要98n的力，則把彈簧拉長0.1m所做的功為( )
a.24.5 jb.23.5 jc.22.5 jd.25.0 j
【解析】選a.設f(x)=kx，k==4900.
所以f(x)=
3.已知質點的速度v=10t，則從t=t1到t=t2質點的平均速度為
【解析】依題意，質點從t=t1到t=t2的路程為
s=10tdt=5t2=5-5，
所以質點的平均速度為=5(t1+t2).
答案：5(t1+t2)
【課上互動研討】
**一：求變速直線運動的路程
例1.一質點在直線上從時刻開始以速度運動，求點在時的位置及經過的路程.
**二：求變力做功
例2.由胡克定律知，把彈簧拉長所需要的力與彈簧的伸長量成正比，現知的力能使乙個彈簧伸長，試求要把彈簧拉伸所做的功.
（注：每課時**兩個問題，不能照搬教材內容；**應該是針對本節知識中易錯、易混、易漏問題展開.）
【當堂訓練】（2-3題，有客觀、主觀題）
（使用說明：a、b類學生全完成，c類學生完成前2題）
1.物理以速度做直線運動，它在和t=3這段時間內的位移是_______.
【答案】27
2.物理以速度做直線運動，則它在和這段時間的路程為_______；則它在第2秒內所走過的路程為_______.
【答案】
3.做直線運動的質點在任意位置處，所受的力，則質點沿著與相同的方向，從點處運動到點處，力所做的功是
【答案】
解析 w＝f(x)dx＝＝(1＋e)－1＝e.
【小結與反饋】
1.解決變速直線運動位移和路程問題
(1)用定積分解決變速直線運動的位移和路程問題時，將物理問題轉化為數學問題是關鍵．
(2)路程是位移的絕對值之和，因此在求路程時，要先判斷速度在區間內是否恆正，若符號不定，應求出使速度恆正或恆負的區間，然後分別計算，否則會出現計算失誤．
2.解決變力作功注意以下兩個方面：
(1)首先要將變力用其方向上的位移表示出來，這是關鍵的一步．
(2)根據變力作功的公式將其轉化為求定積分的問題．
課後拓展提公升案
姓名_________小組得分
（使用說明：a類學生完成1-8，b類學生完成1-7，c類學生完成1-6）
1．如圖是乙個質點做直線運動的v—t圖象，則質點在前6 s內的位移為________．
[答案] 9m
[解析] 直線oa方程為y＝x，直線ab方程為y＝－x＋9，故質點在前6 s內的位移為xdx＋(－x＋9)dx＝x2|＋(－x2＋9x)|＝6＋3＝9.
2.一物體以速度v＝(3t2＋2t)m/s做直線運動，則它在t＝0s到t＝3s時間段內的位移是( )
a．31m b．36m
c．38m d．40m
[答案] b
[解析] s＝(3t2＋2t)dt＝(t3＋t2)＝33＋32＝36(m)，故應選b.
3．一物體在力f(x)＝4x－1(單位：n)的作用下，沿著與力f相同的方向，從x＝1運動到x＝3處(單位：m)，則力f(x)所做的功為( )
a．8j b．10j
c．12j d．14j
[答案] d
[解析] 由變力做功公式有：w＝(4x－1)dx＝(2x2－x)＝14(j)，故應選d.
4．若某產品一天內的產量(單位：百件)是時間t的函式，若已知產量的變化率為a＝，那麼從3小時到6小時期間內的產量為( )
a. b．3－
c．6＋3 d．6－3
[答案] d
[解析] dt＝＝6－3，故應選d.
5．一物體沿直線以速度v＝m/s運動，該物體運動開始後10s內所經過的路程是________．
[答案] (11－1)
[解析] s＝∫dt＝(1＋t) ＝(11－1)．
6.以初速度40m/s豎直向上拋一物體，ts時刻的速度v=40-10t2，求此物體達到最高時的高度.
【解析】v＝0時物體達到最高，此時40－10t2＝0，則t＝2 s.
又∵v0＝40 m/s，∴t0＝0 s.∴h＝(40－10t2)dt＝＝(m)．
7．有一橫截面的面積為4 cm2的水管控制往外流水，開啟水管後t秒末的流速為v(t)＝6t－t2(單位：cm/s)(0≤t≤6)．則t＝0到t＝6這段時間內流出的水量為________．
答案 144 cm3
解析由題意可得t＝0到t＝6這段時間內流出的水量
v＝4(6t－t2)dt＝4＝144 (cm3)．故t＝0到t＝6這段時間內流出的水量為144 cm3.
8．a、b兩站相距7.2 km，一輛電車從a站開往b站，電車開出t s後到達途中c點，這一段的速度為1.2t m/s，到c點的速度為24 m/s，從c點到b站前的d點以等速行駛，從d點開始剎車，經t s後，速度為(24－1.
2t) m/s，在b站恰好停車，試求：
(1)a，c間的距離；
(2)b，d間的距離．
解 (1)設a到c的時間為t1 s，則1.2 t1＝24，解得t1＝20，則ac＝∫1.2tdt＝0.6t2，
即a，c間的距離為240 m.
(2)設d到b的時間為t2 s，則24－1.2t2＝0，
解得t2＝20，則
bd＝∫(24－1.2t)dt＝(24t－0.6t2)＝240(m)．
即b、d間的距離為240 m．
定積分在幾何上的應用教案 2
關於旋轉體體積公式的推導，其實在第二冊 下 關於體積公式的推導過程中已經滲透了定積分的思想方法 教學中，可通過對球的體積公式的推導及麴邊梯形面積公式的推導作一簡單的回顧，採用模擬的方法，遵循 有限 無限 有限 連續 離散 連續 精確 近似 精確 的原則，化曲為直，化整為零，變未知為已知 關於旋轉體體...
定積分在數學計算中的若干方法
渭南師範學院 本科畢業 題目 定積分在數學計算中的若干方法 學院 數學與資訊科學學院 專業班級 數學與應用數學專業2009級2班 畢業年份2013年 姓名範鑫 學號090741059 指導教師周煥芹 職稱教授 渭南師範學院教務處制 目錄本科畢業 任務書1 本科畢業 開題報告3 本科畢業 登記表5 本...
定積分在幾何學上的應用 比賽課教案
教學題目 選修2 2 1.7.1定積分在幾何中的應用 教學目標 一 知識與技能 1.讓學生深刻理解定積分的幾何意義以及微積分的基本定理 2.通過本節課的 學生能夠應用定積分解決不太規則的平面圖形的面積，能夠初步掌握應用定積分解決實際問題的基本思想和方法 3 初步掌握利用定積分求曲邊梯形的幾種常見題型...